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1、考研数学春季强化班高数讲义第一章 函数 极限 连续一函数1 函数的概念（定义、定义域、对应法则、值域）2 函数的性态1）单调性 定义：单调增： 单调不减： 判定：（1）定义： (2）导数：设在区间上可导，则 a) 单调不减； b) 单调增；2)奇偶性 定义：偶函数 奇函数 判定：(1）定义： (2）设可导，则：a)是奇函数 是偶函数； b)是偶函数 是奇函数； (3）连续的奇函数其原函数都是偶函数；连续的偶函数其原函数之一是奇函数。3)周期性 定义： 判定：(1)定义； (2）可导的周期函数其导函数为周期函数； (3）周期函数的原函数不一定是周期函数； 4)有界性 定义：若则称在上有界。 判定
2、：（1）定义： （2）在上连续在上有界； （3）在上连续，且存在在上有界； （4）在区间（有限）上有界在上有界；3复合函数与反函数 (函数分解成简单函数的复合,分段函数的复合)4基本的初等函数与初等函数基本初等函数: 常数，幂函数 ,指数,对数,三角,反三角。了解它们定义域,性质,图形.初等函数:由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个解析式表示的函数. 题型一 复合函数例1设的定义域为，则的定义域为 (A) (B) (C) (D) 例2已知且求及其定义域。 例3设, 试求. ( ) 题型二 函数性态例1 函数在下列哪个区间内有界。 (A) (B) (0,1) (C) (
3、D) (2,3) 例2 以下四个命题中正确的是 （A）若在内连续，则在内有界； （B）若在内连续，则在内有界； （C）若在内有界，则在内有界； （D）若在内有界，则在内有界。例3 设是恒大于零的可导函数，且时，有 （A） （B）（C） （D）例4 设函数则存在，使得 （A）内单调增加； （B）内单调减少；（C）对任意的； （D）对任意的。注：1) 在的某邻域内单调增； 2） 当时，；当时，。二极限1极限概念1）数列极限: ：,当时.2）函数极限:（1）自变量趋于无穷大时函数的极限 ： ,当时. 和的定义与类似。 （2）自变量趋于有限值时函数的极限： ,当时。右极限：.左极限：.几个值得注意的极
4、限：，2。极限性质1）有界性： 收敛数列必有界；2）有理运算性质： 若.那么: ； 两个常用的结论：1）存在， 2) 3）保号性： 设（1） 如果,则存在,当时，.（2） 如果当时,那么.4）函数值与极限值之间的关系：. 其中 3。极限存在准则 1）夹逼准则： 若存在，当时，且则 2）单调有界准则：单调有界数列必有极限。4。无穷小量1）无穷小量的概念: 若，称为无穷小量(或).2) 无穷小的比较: 设.（1）高阶： 若； 记为（2）同阶： 若；（3）等价： 若；记为（4）无穷小的阶: 若，称是的阶无穷小.5。无穷大量1) 无穷大量的概念: 若，称为时的无穷大量。2）无穷大量与无界变量的关系：
5、无穷大量无界变量3）无穷大量与无穷小量的关系： 无穷大量的倒数是无穷小量；非零的无穷小量的倒数是无穷大量。 题型一 求极限方法1. 利用有理运算法则求极限例1 例2 解1：原式例3.设 ，求 解： 方法2. 利用基本极限求极限 常用的基本极限, , , , 例.； 方法3.利用等价无穷小代换求极限1.常用等价无穷小 当时,， 2。等价无穷小代换一般只能用在乘、除关系，而不能用在加、减关系。例1.求极限 .解:原式=例2. 。解1.罗必达法则（繁）解2.原式 注：利用拉格朗日中值定理。例3. 若 ， 求 例4. ； 方法4. 洛必达法则： 若 1） 2）和在的某去心邻域内可导，且 3）存在（或）
6、； 则 例1. 例2. 例3. 例4 例5 方法5 泰勒公式泰勒公式：（皮亚诺余项） 设在处阶可导,那么 其中 。例1.若 ，则等于（A） 0； （B）6； （C）36； （D）解1 解2 则 例2 ； 解： ； 例3已知其中二阶可导，求及 解： ，方法6 利用夹逼准则求极限例1.求 例2 求极限其中。 例3 设 求 方法7 利用单调有界准则求极限(先证明极限存在,再求出极限)例1. 设证明：数列极限存在并求此极限。 例2.设 ，求极限。 例3. 设数列满足。 1）证明存在，并求该极限； 2）计算 方法8 利用定积分的定义求极限例1. 求 . 例2求； 例3. 求 题型二 已知极限确定参数例1
7、. 若 求 .解:由于分式极限存在，分母趋于零，则分子趋于零，从而 由罗必达法则知：， 则 。例2. 若 求.解：原式 例3. 若 求.原式例4. 设,求及. (题型三 无穷小量阶的比较例1.当时,与是等价无穷小,则=由 例2.若时,是的几阶无穷小由 即是的9阶无穷小.例3.已知时,与等价无穷小,求. 解1 对极限用洛比达法则。解2 ；三连续1。 连续的定义: 若,称在处连续,左右连续定义: 若称在左连续若称在右连续连续左连续且右连续2。间断点及其类型1）第一类间断点: 左,右极限均存在的间断点可去间断点:左极限=右极限的间断点跳跃间断点:左极限右极限的间断点2）第二类间断点: 左,右极限中至
8、少有一个不存在的间断点无穷间断点: 时,振荡间断点: 时,振荡 3。连续函数的性质1） 连续函数的和，差，积，商（分母不为零）及复合仍连续性；2） 初等函数在其定义区间内处处连续；3） 闭区间上连续函数的性质 （1）有界性：若在上连续,则在上有界。（2）最值性:若在连续, 则在上必有最大值和最小值。（3）介值性:若在连续, 则在上可取到介于它在 上最小值与最大值之间的一切值.(4）零点定理:若在连续,且,则必，使。题型一：求间断点并判定类型例1. 讨论下列函数 的连续性并指出间断点的类型;例2. 求函数 的间断点并指出其类型。解： 函数在处没定义，这些点都是间断点。 为无穷间断点；时，故为可去
9、间断点；时，为可去间断点；时, ， 为跳跃间断点。例3 求极限，记此极限为，求函数的间断点并指出类型. 例4. 求函数的间断点并指出其类型。 （可去；跳跃）题型二 介值定理、最值定理及零点定理的证明题例1设在内非负连续，且，证明存在使.例2. 在连续,非负,求证: .其中.证: 令 使即例3. 在连续, 求证: 使证：令 相加得: 反证: 若无根,不妨设,那么4个相加同矛盾，故必有一根，即使 。例4设在上连续，且,试证存在 使.证： 令， 则 由极限的保号性知，存在当时，取则从而有第二章 一元函数微分学一。导数与微分1。导数定义： =； 左导数：； 右导数：； 可导 左右导数都存在且相等2。微
10、分定义： 若，则称在处可微。 3。导数与微分的几何意义: (会求曲线的切线和法线方程).4。连续,可导,可微之间的关系5。求导法则1。有理运算法则：2。复合函数求导法：3。隐函数求导法：4。反函数的导数：5。参数方程求导法：6。对数求导法：7。高阶导数：题型一可导性的讨论（导数定义）例1. 设函数在处连续，下列命题错误的是 （A）若. （B）若. （C）若存在.（D）若存在。例2 设，则在点可导的充要条件为 A) 存在 B) 存在 C) 存在 D) 存在 例3. 函数不可导的点的个数是 （A）3. （B）2. （C）1. （D）0.例4设在点处可导，则函数在点处不可导的充分条件是 A) 且 B
11、) 且 C) 且 D) 且例5.设函数 （A）处处可导 （B）恰有一个不可导点（C）恰有两个不可导点 （D）至少有三个不可导点 例6. 设在上二阶可导,， 1) 确定使在上连续.2) 证明对以上确定的,在上有连续一阶导数.题型二 复合函数导数定理：设在处可导，在对应点处可导，则复合函数在处可导，且 例1.设则 。 例2.已知,则 ( )例3.设 函数可导，求的导数。 题型三 隐函数的导数例1 设由所确定.试求.例2 设函数由所确定,试求 ( )例3 设可导函数由方程所确定，其中可导函数，且，求. （）题型四 参数方程的导数 公式： ； 方法： 一阶导数代公式，二阶导数利用；例1设,又，求. 例
12、2设由所确定,求。 ( )题型五 对数求导法 对数求导法适用于幂指函数、连乘、连除、开方、乘方等。例1.设,求.例2. 设，求题型六 高阶导数常用方法： 1）代公式； 2）求一阶、二阶，归纳阶导数； 3）利用泰勒级数； 常用公式： 1) 2) 3） 例1.设,求 例2. 设,求 ( 例3. 设，求. 例4.求函数在处的阶导数。 例5. 设，求. （法一：莱布尼兹公式。法二：幂级数）二。微分中值定理罗尔定理： 设在连续,在内可导，且,那么至少，使.拉格朗日定理： 设在连续,在可导,那么至少存在一个,使.柯西定理：设在上连续, 在内可导，且,那么至少存在一个，使 .泰勒定理：（拉格朗日余项）设在区
13、间I上阶可导,，那么,至少存在一个使 其中 ， 在与之间.有关中值定理的证明题：题型一 证明存在一个点例1.设在上连续,在内可导,，与同号。 求证:使.例2. 设在上连续,在内可导且.求证:使.例3.设 在上连续,在内可导，且.求证:使.例4。设在上连续,在(0,1)内可导,且.试证 1) 存在,使.2) 对任意实数，存在,使。例5设在上二阶可导,且.求证: 1) 使.2) 使.例6. 设函数在上二阶可导,且,.试证1) 在内.2) 在内至少有一点,使.例7.设在上连续,且.求证:，使.例8. 设在上连续,在内可导,且.求证:，使.例9.设在上连续,.求证:，使. 题型二 证明存在两个点例1设
14、在上连续, 内可导,且同号，试证存在.使.例2设在上连续，在内可导，且，证明存在,使得.例3设在上连续,在内可导,且,试证存在使。例4 设在上连续，在内可导，且.证明：1) 存在，使得. 2) 存在两个不同的点,使得. 例5设在上连续，在内可导，且，试证对任意给定的正数在内一定存在互不相同的使题型三 泰勒公式的证明题例1 设在上二阶可导,.求证:，使.例2 设在上三阶可导,.求证:，使.例3 设在上有二阶连续导数，且，,证明：.三。导数应用1。极值与最值1）极值的必要条件： 极值点 驻点 2) 极值的充分条件： （1）若，在两侧变号，则在处取得极值；若，在两侧不变号，则在处无极值； （2）若，
15、则在处取得极值。当时极小，当时极大。 （3）若，则：当为偶数时在处有极值；时极小，时极大。当为奇数时在处无极值；3）最值：（1）求连续函数在上的最值； （2）应用题。3。曲线的凹向与拐点 （1）凹向：若在区间上，则曲线在上是凹（凸）的。 （2）拐点：（一个必要条件，三个充分条件）4。 渐近线 (水平,垂直,斜渐近线).1）若或，或）那么是的水平渐近线.2) 若,那么是的垂直渐近线.3) 若 (或)那么是的斜渐近线.5。曲率与曲率半径: 曲率.曲率半径 题型一 极值与最值：例1.设 在点连续，且，试讨论在点的极值.解： 由于,由极限的保号性知，在的某去心邻域内 , 当为奇数时：时；时， 不是极值
16、点. 当为偶数时：无论, 是的极小值点.例2 设有二阶连续导数，且.则A) 是的极大值B) 是的极小值C) 是曲线的拐点D) 不是的极值，也不是曲线的拐点 例3. 设二阶导数连续,且.试问1) 若是极值点时,是极小值点还时极大值点？2) 若是极值点时,是极大值点还是极小值点?解：1） 是极值点, 则 ， 故是极小值点.2) 由于是极值点，则，且,是极小值点.例4. 设二阶可导，且,试讨论 在点的极值.解：由知，,即为驻点.且原式 时,为极小值点; 时,为极大值点.题型二 方程的根 1。存在性： 方法1：零点定理； 方法2：罗尔定理； 2。根的个数： 方法1：单调性； 方法2：罗尔定理推论； 罗
17、尔定理推论：若在区间上，则方程在上最多个实根。例1. 设为任意实数,求证方程在内必有实根.例2. 试讨论方程的实根个数.例3. 试证方程有且仅有三个实根.例4. 试确定方程的实根个数.例5。设当时,方程有且仅有一个解,试求的取值范围.（或时有唯一解)解：将原方程变形得 令例6设在0,1上可微,且当时,.试证在(0,1)内有且仅有一个,使.例7 设 求证: 在有且仅有一根. 题型三 不等式证明证明不等式常用的五种方法：1）单调性； 2）最大最小值； 3）拉格朗日中值定理； 4）泰勒公式； 5）凹凸性；例1.求证: 证1: 令，令，分为及，在上,且；在上，,且.故在上。证2：令 ，则 在上单调减，
18、例2.求证: 证：只要证令 且且即.例3.比较的大小.解： 取对数，等价于比较与的大小，也等价于比较与的大小，只要考察在上的单调性， 则 例4设，且，证明：.（泰勒，最值，中值）例5试证。题型四 渐近线(水平,垂直,斜)例1曲线的斜渐近线方程为 . 例2曲线的渐近线有 （A）1. （B）2. （C）3. （D）4. 例3求曲线 的渐近线。解：由于，则无水平渐近线；由于，则无垂直渐近线；是时的斜渐近线.同理 是时的斜渐近线. 第三章 一元函数积分学一。不定积分1两个概念: 1）原函数： 2）不定积分：2基本积分公式：1) 2)3) 4) 5) 6) 3三种主要积分法 1）第一类换元法（凑微分法）
19、 若2）第二类换元法： 3）分部积分法 “适用两类不同函数相乘”，4三类常见可积函数积分1）有理函数积分 （1）部分分式法（一般方法）； （2）简单方法（凑微分绛幂）； 2) 三角有理式积分 （1）万能代换（一般方法） 令 （2）简单方法 （三角变形，换元，分部）3) 简单无理函数积分 令 例一 基本题例1.解1： 解2： 例2.解：例3.解1：令 解2：例4.解： （令） = 则 例5例6. 例7.解1：解2：解3：例8.例9.解1：解2：解3：令例10例11.解1：解2： 例12.解：1）若2) 若3）若 例13。 解：令 原式= 例二 变花样例1.若 求例2.若为的一个原函数， 求解：例
20、3.设为的原函数，且求,.解:由 由例4设求。 ( )例5. 求不定积分 解。连续,原函数必连续, 在连续. 令 则故 二.定积分1。定义：2。可积性：1）必要条件：有界；2）充分条件:连续或仅有有限个第一类间断点； 3。计算： 1） 2）换元法3）分部积分法 4）利用奇偶性，周期性5）利用公式4变上限积分：1) 连续性：设上可积，则在上连续。2）可导性：设上连续，则在上可导且变上限求导的三个类型：3）奇偶性：i）若为奇函数，则为偶函数。 ii）若为偶函数，则为奇函数。例1（06年数二）：设是奇函数，除外处处连续，是第一类间断点，则是： .(A)连续的奇函数; (B)在间断的奇函数;(C)连续
21、的偶函数; (D)在间断的偶函数. 例2(01年,数3，4)设其中则在区间（0,2）内 （A）无界 （B）递减 （C）不连续 （D）连续例3（99年数一至四，05年数一二） 设是连续函数，是的原函数，则（A） 是奇函数 必是偶函数；（B） 是偶函数 必是奇函数；（C） 是周期函数 必是周期函数；（D） 是单调增函数 必是单调增函数.5。性质：1)不等式：i) 若 则 ii) 若在上连续，则 iii) 2)中值定理： i） 若在上连续，则ii） 若在上连续，不变号，则 例（96年数四）设在上连续，在内可导，且。求证：在内至少存在一点，使例 题例一 基本题例1. 例2. 例3.例4. 例5. 例6
22、. ； 例7. 例8. ； 例9. 例10。已知连续，的值. （1）例11设,求. 例二 综合题例1.求 例2设连续,且,则 . 例3.求极限 （0）例4.设, 则_ （A）A) 为正常数 B) 为负常数 C) 为0 D) 不是常数例5.试证:在上最大值不超过. 例6。设是区间上的单调、可导函数，且满足.其中是的反函数，求.例7。设函数在内连续，且对所有满足条件，求 例8.若,求. 例9设连续,. 令1) 试证曲线在上是凹的.2) 当为何值时,取得最小值. 3) 若的最小值可表示为,试求. ( )例三 积分不等式证明积分不等式常用的方法：1）变量代换； 2）积分中值定理 ； 3）变上限积分；4
23、）柯希积分不等式； ；例1. 求证:.例2. 设在上连续,非负，单调减。求证:例3. 设在上连续，单调增。求证:例4. 设上可导,且.求证:. 例5。设在上有连续导数,求证:证明： 故 例6. 设在上有连续导数,且,求证: 证明： ;. 三、广义积分1)无限区间；（1） . （2） （3） 若和都收敛，则称收敛。常用结论： ， 2)无界函数：设为的无界点， =常用结论： 例1. ( ) 例2. ( )例3. ( )例4.求证: ,并求其值.解： 令得左端=右端，原式 例5下列广义积分发散的是 A) B) C) D) 例6. (05，4)下列结论中正确的是 （A）都收敛 （B）都发散.（C）发散
24、，收敛 ；（D）收敛，发散。四、定积分应用 一。几何应用;1.平面域的面积：（直角；极坐标；参数方程）2体积： 1）已知横截面面积的体积 2）旋转体的体积 ； 。3.曲线弧长（数三，数四不要求） 1） 2） 3） 4.旋转体侧面积（数三，数四不要求） 二物理应用（数三，数四不要求）1.压力； 2.变力做功； 3.引力。例1设求曲线与轴所围图形的面积.例2.设平面图形由与所确定,求图形,绕旋转一周所得旋转体的体积 解1。解2。 = 例3 设星形线求1）它所用的面积； 2）它的周长； 3）它绕轴旋转而成旋转体的体积和表面积.解：1）面积 2）弧长： 3）体积： 旋转体表面积 例4一容器由绕轴旋转而
25、成,其容积为,其中盛满水,水的比重为,现将水从容器中抽出,问需作多少功?解：五、导数在经济学中的应用（1）经济学中常见的函数需求函数： ； 中为某产品的需求量，其价格.需求函数的反函数称为价格函数，也常称为需求函数.供给函数： ； 其中为某产品的供给量，为价格.成本函数：成本是生产产品的总投入，它由固定成本（常量）和可变成本两部分组成，其中表示产量.即称为平均成本，记为或：.收益（入）函数：收益是产品售出后所得的收入，是销售量与销售单价之积.即收益函数为.利润函数：利润是收益扣除成本后的余额，由总收益减去总成本组成.即利润函数为 （：销售量）.(2)边际函数与边际分析边际函数的有关概念：设可导
26、，则在经济学中称为边际函数，称为在处的边际值. 经济学中常用的边际分析：（a）边际成本：设成本函数为是产量），则边际成本函数为；（b）边际收益：设收益函数为是产量），则边际成本函数为；（c）边际利润：设利润函数为是销售量），则边际利润函数为；（3）弹性函数与弹性分析弹性函数的有关概念：设可导，则称为函数当从变到时的相对弹性，称为函数的弹性函数，记为，即它在经济学上解释为函数在处的相对变化率.经济学中常用的弹性分析：（a）需求的价格弹性：设需求函数为价格），则需求对价格的弹性为由于是单调减少函数，故，从而.其经济学中的解释为：当价格为时，若提价（或降价）1%，则需求量将减少（或增加）.需要注意的
27、是，很多试题中规定需求对价格的弹性，此时应该有公式.（b）供给的价格弹性：设供给函数 为价格），则供给对价格的弹性为.由于供给函数单调增加，故，从而其经济学中的解释为：当价格为时，若提价（或降价），则供给量将增加（或减少）.例1 设商品的需求函数为，其中分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性的绝对值大于1，则商品价格的取值范围是 .解:分析 先按定义写出弹性函数，令，反求出的范围. 由于，所以令，解得又由，即，得，所以的取值范围为（10，20.注： 填是错误的，原因是是需求函数，应有.例2一商家销售某种商品的价格满足关系（万元/吨），为销售量（单位：吨），商品的成本函数是（万元）.（）若每销一
28、吨商品，政府要征税（万元），求该商家获最大利润时的销售量；（）为何值时，政府税收总额最大？解： ()依题意,商品销售总收入为，总税收额为，利润函数为令，得驻点又，故当时，利润为最大值，即使利润最大的销售量为（）将代入，得令，得又，故是的极大值点，亦即最大值点.所以，当税率为2时，政府税收总额最大.例3设某商品的需求函数为，收益函数为，其中为商品价格，为需求量（产品的产量），是单调减函数.如果当价格为，对应产量为时，边际收益收益对价格的边际效应需求对价格的弹性为，求和.解 依定义，需求函数对价格的弹性为所以 由题设知 ，所以有. 又 由题设知 所以有 例4 设某商品需求量是价格的单调减少函数：，
29、其需求弹性（）设为总收益函数，证明；（）求时总收益对价格的弹性，并说明其经济意义.解：（）由于，所以（） 所以 .其经济意义是：当价格为6（单位）时，若价格上涨，则总收益将增加.例5 设某商品的需求函数为，其中价格为需求量.（）求需求量对价格的弹性；（）推导（其中为收益），并用弹性说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.解：（） （）由，得又由，得.当时，于是，故当时，降低价格反而使收益增加.四、积分学在经济中的应用总成本函数，总收益函数等，统称总函数.用微分法对总函数求导数可得边际函数、边际成本、边际收益等；已知边际成本、边际收益等边际函数，用积分法对边际函数积分可得总函数，即总成
30、本、总收益等.用不定积分表示总函数用（固定成本）确定积分常数；用确定积分常数用定积分表示总函数 （表示固定成本），由个单位变化到个单位，总成本的改变量、总收益的改变量分别为例 设某商品从时刻0到时刻的销售量为.欲在时将数量为的该商品销售完，试求：（）时的商品剩余量，并确定的值；（）在时间段上的平均剩余量.提示 本题是一道经济应用题，主要考查剩余量及平均值的概念.时的商品剩余量商品总量时刻时的销售商品量.由于时该商品销完，故可确定的值.解 （）在时刻商品的剩余量为 由，得，因此（）依题意，在上的平均值为 因此在时间段上的平均剩余量为 第四章 常微分方程一、五类一阶方程：1）可分离变量2）齐次 ，
31、 令 。3）线性 通解： 4）伯努利 ， 令 5）全微分 a) 判定: b) 解法: 1) 偏积分 2) 凑微分 3) 线积分二、 三类可降阶方程: 1) 2) 令3) 令三、高阶线性方程: 1) 变系数: 非齐次 齐次解的结构: a) 齐次通解,其中为齐次两线性无关特解 b) 非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解 c) 非齐次特解I 非齐次特解II = 齐次特解 2)常系数: a) 齐次 特征方程 设是特征方程两个根1）不等实根：， ；2）相等实根：， ；3）共轭复根：， ； b) 非齐次： 令 等于作为特征方程根的重数.令 3） 欧拉方程 令， 四、 差分方程1。一阶常系数线性齐次差分方程 （1）通解为 2。一阶常系数线性非齐次差分方程 （2）通解为 一阶常系数线性差分方程的特解形式表的形式取待定特解的条件试取特解的形式为待定常数为非零常数且为不同时为零的常数为待定常数例1 差分方程的通解为 .解： 原方程的一般形式为 ，其对应的齐次差分方程为 其通解为 （为任意常数）. 因为是的一次多项式，且，故设原方程的特解为，代入原方程，得即 比较系数知，故，从而原差分方程的通解为例2 差分方程的通解为 .解： 原方程对应的齐次差分方程为其通解为 （为任意常数）.因为，且，故设原方程的特解为代入原方程，得 即 比
