《第二章非平衡统计物理基础课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二章非平衡统计物理基础课件.ppt（18页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、非平衡统计物理基础,噪声与随机动力学,蒙特卡罗方法讲义,第二部分,天体和宇宙中的层次,引言,?,宏观世界的层次性,热力学体系、化学、,原子分子,生命物质,基本粒子,?,?,?,?,生物,生物界,宏观各种运动间存在很多内在联系,宏观运动规律与微观运动间有密切联系,统计物理学是联系微观与宏观的纽带,宏观体系的基本属性：耗散性（阻尼，非平衡，不可,逆性），突变现象（相变，尤其是非平衡相变），有,限时间,随机性,?,自然界的两类过程,?,确定性过程：已知系统初始时刻的状态，就可以完全确定以,后时刻的状态。,?,随机过程：不可预知的因素会对过程的结果起决定的作用,(,骰子,),，过程是完全偶然的，无法预
2、先确定的。,?,随机过程中可能出现的事件叫随机事件。,?,随机性的动力学根源：随机力（噪声）,?,噪声的作用：扰动，阻尼，耗散；巨涨落（决定演化方向），,隧穿，随机共振，马达输运。,?,概率，演化，期望，,耗散系统（布朗系统）,?,耗散系统模型具有广泛的运用；,?,耗散系统的动力学描述是布朗运动，这种描述便于数值模拟；,?,耗散系统是动力学复杂性与统计简单性的结合。,系统,系统,热浴,系统与热浴的相互作用仅提供给系统阻尼和随机力，而不再有其他影响。,对热浴中的粒子,建立随机动力学方程，,即朗之万方程,(,LE,),研究布朗系统的,两种等价的理论,从马尔科夫过程的主方程,出发，得到关于分布函数,
3、随机演化的二阶偏微分方,程，即,Fokker-Planck,方,程（,FPE,）。,系统加热浴模型,随机动力学,系统加热浴的总哈密顿,量写成,H,?,H,s,?,H,r,?,H,I,其中,P,H,s,?,?,V,(,Q,),2,M,假设热浴（环境）由,N,个谐振子组成，为简单,起见，采用可分离的,系统坐标和环境坐标双,线性耦合的形式：,2,?,p,2,1,?,?,?,c,2,?,?,?,?,?,H,r,?,H,I,?,?,?,m,?,?,?,?,q,?,?,Q,?,2,?,2,m,2,m,?,?,?,?,1,?,?,?,?,?,?,?,?,N,2,为得到系统演化的动力,学方程，应用正则方程,，
4、可得,P,?,?,?,H,Q,?,?,?,?,?,P,M,1,?,N,?,H,?,?,?,?,P,?,?,V,(,Q,),?,?,c,?,q,?,?,?,Q,?,?,1,?,p,?,?,H,?,?,q,?,?,?,?,?,p,?,m,?,?,2,?,?,H,2,?,p,?,?,?,?,?,?,m,?,?,?,q,?,?,c,?,Q,(,t,),?,?,q,?,?,?,?,?,?,m,?,?,?,q,?,?,c,?,Q,(,t,),m,?,q,2,sin,?,?,(,t,?,s,),q,?,(,t,),?,q,?,(,0,),cos,?,?,t,?,sin,?,?,t,?,?,c,?,Q,(,s
5、,),d,s,2,0,?,?,m,?,?,?,t,?,?,(,0,),q,c,?,?,?,(,s,),d,s,?,?,q,?,(,0,),cos,?,?,t,?,sin,?,?,t,?,?,Q,(,0,),cos,?,t,?,cos,?,(,t,?,s,),Q,?,?,2,?,?,?,0,?,?,?,m,?,?,?,?,?,?,(,0,),q,t,将,q,?,(,t,),代入方程,(,1,),，即可得系统演化的动,力学方程,c,?,?,?,?,?,V,(,Q,),?,M,Q,?,2,?,?,1,m,?,?,?,N,N,2,?,t,0,?,(,s,),d,s,cos,?,?,(,t,?,s,),
6、Q,?,?,?,?,c,?,q,?,(,0,),?,?,c,?,?,?,q,?,(,0,),?,Q,(,0,),?,cos,?,?,t,?,sin,?,?,t,?,2,m,?,?,?,?,?,?,?,1,?,?,?,?,?,c,?,Q,(,0,),?,q,?,(,0,),?,q,?,(,0,),?,2,m,?,?,?,?,2,N,?,c,?,1,令,?,?,(,t,?,s,),?,cos,?,?,(,t,?,s,),?,2,M,m,?,?,?,1,?,?,?,N,?,?,?,?,?,(,0,),q,sin,?,?,t,?,?,?,(,t,),?,?,c,?,?,q,?,(,0,),cos,?,
7、?,t,?,?,?,?,1,?,?,?,?,最后整理得到：,外部势场,阻尼核函数,随机力,即噪声,Noise,t,?,V,(,Q,),?,?,?,?,?,(,s,),d,s,?,?,(,t,),M,Q,?,M,?,?,(,t,?,s,),Q,0,?,Q,该项表明了系统演化对历史的记忆,因此是耗散的、不可逆的,阻尼和噪声具有同一起源,热浴分子对系统的随,机作用（碰撞）,即描述随机耗散系统的动力学方程,广义朗之万方程,General Langevin Equation(GLE),处于热浴中的系统,涨落,耗散,满足怎样的关系？,噪声,同一起源,阻尼,涨落耗散定理,随机动力学是物理学对复杂系统介于微观
8、和宏观之间的一种描述方法。,假设初始时刻,(,t,?,0,),，热浴振子处于力学平,衡，并假设初始时刻热,浴振子,(,0,),?,q,(,0,).,与系统脱耦，即,Q,(,0,),?,0,q,?,?,(,0,),?,0,?,?,(,0,),?,0,;,则有,q,q,?,由于,t,?,0,时刻振子处于热平衡态,，根据能均分定理，可,得,1,1,1,2,2,2,(,0,),q,?,?,(,0,),?,k,B,T,q,?,?,(,0,),?,0,.,m,?,?,?,q,?,(,0,),?,m,?,q,?,2,2,2,考虑到振子之间的独立,性，应有,k,B,T,k,B,T,?,?,(,0,),q,?,
9、?,(,0,),?,q,?,(,0,),q,?,(,0,),?,?,q,?,?,.,2,?,m,?,?,?,m,?,首先来看噪声,?,(,t,),的一次矩：,?,?,(,0,),?,?,q,?,(,t,),?,?,c,?,?,q,?,(,0,),cos,?,?,t,?,sin,?,?,t,?,?,0,?,?,?,?,1,?,?,N,说明噪声是无偏统计量,；,接下来来看噪声的关联,函数：,c,?,?,(,t,),?,(,s,),?,.,?,k,B,T,?,cos,?,?,(,t,?,s,),2,?,?,1,m,?,?,?,N,2,?,?,(,t,),?,(,s,),?,Mk,B,T,?,(,t,
10、?,s,),此即广义涨落耗散定理，它给出了热浴对系统的两个（并且是所有的）作用,噪声与阻尼,之间应满足的关系，从而约束并明确了布朗运动的动力学定义。,内部噪声,热浴振子对系统的随机碰撞,噪声,三,要,素,同一起源，两者满足涨落耗散定义,阻尼,非同一起源，不受涨落耗散定义约束,外部噪声,外部输入或者外部信号控制的无规涨落,强度、谱密度、分布,包含哪些频率成分？何种频率成分占优势？各种频率成分的能量是多少？,?,?,?,?,?,?,2,?,?,(,t,),?,(,0,),cos(,?,t,),d,t,S,(,?,),?,R,?,?,(,t,),?,(,0,),exp(,i,?,t,),d,t,?,
11、?,?,0,?,?,?,?,阻尼核函数,噪声关联函数,功率谱函数,扩散的分类（爱因斯坦关系）,1,、正常扩散：,?,x,(,t,),?,x,(,0,),?,2,2,Kt,欠扩散：,0,?,?,?,1,(,?,?,0,局域化,),2,、反常扩散：,?,x,(,t,),?,x,(,0,),?,K,?,t,?,超扩散：,1,?,?,?,2,(,?,?,2,弹道扩散,),实例,液体表面花粉颗粒的随机运动,布朗微粒的运动方程为,?,?,(,t,),m,?,r,?,?,?,m,?,r,这里噪声,(,t,),满足以下条件：,(,1,),(,t,),?,0,(,2,),(t),(s),?,mk,B,T,?,(
12、,t,?,s,),(,3,),噪声的谱密度,S,(,?,),?,2,mk,B,T,?,?,2,D,D,?,mk,B,T,?,噪声的功率谱与频率,?,无关，即噪声包含了所,有的频率，,且所有频率的能量相等,，即白谱，因此称白噪,声。,注意两者之间的联系。,用,r,点乘上式，可得,d,v,1,r,?,?,?,?,r,?,v,?,r,?,(,t,),d,t,m,2,?,1,d,r,?,d,2,?,?,?,r,?,v,?,?,v,?,?,2,d,t,d,t,?,?,d,2,d,2,2,2,?,r,?,?,r,?,2,v,?,r,?,(,t,),d,t,dt,m,2,?,?,?,?,0,d,d,2,2,
13、2,2,求系综平均：,r,?,?,r,?,2,v,?,r,?,(,t,),d,t,dt,m,3,k,B,T,/,m,2,?,?,?,?,?,r,2,6,k,B,T,?,?,t,?,?,t,?,1,?,e,(,初值,r,(,0,),?,v,(,0,),?,0,),2,m,?,?,?,?,?,?,r,(,t,),?,r,(,0,),?,?,1,2,6,k,B,T,?,?,t,?,?,t,?,1,?,e,2,m,?,?,?,?,?,t,?,?,1,、当,t,?,?,(,t,?,?,1,),，将上式中的,e,展开，取到二级项,3,k,B,T,2,2,2,2,r,?,t,?,v,?,t,m,2,、当,t
14、,?,?,(,t,?,?,1,),，则有,r,2,?,1,6,k,B,T,?,t,m,?,可见，在无外部势场的条件,下，白噪声驱动下的布朗粒,子做正常扩散。,设系综分布密度函数为,?,(,r,t,),，用,j,(,r,t,),表示流密度，则有,j,(,r,t,),?,?,K,?,?,(,r,t,),K,是扩散系数，根据连续,性方程，有,?,?,(,r,t,),?,?,?,j,(,r,t,),?,t,进而得到扩散方程,?,?,(,r,t,),2,?,K,?,?,(,r,t,),?,t,r,2,?,1,4,Kt,最后解出,?,(,r,t,),?,e,，,r,(,0,),?,0,3,/,2,?,4,?,Kt,?,描述自由粒子正常扩散,分布函数演化的,Fokker-,Planck,方程（,FPE,）,?,r,(,t,),?,0,?,?,?,?,2,k,B,T,4,r,(,t,),?,4,?,?,(,r,t,),r,dr,?,6,Kt,K,?,?,?,0,m,?,?,
