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1、解直角三角形应用专题练习一解答题（共21小题）1在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30，再往雕塑方向前进4米至B处，测得仰角为45问：该雕塑有多高？（测角仪高度忽略不计，结果不取近似值）2如图，一艘海轮位于灯塔C的北偏东45方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东30方向上的B处，求此时船距灯塔的距离（参考数据：1.414，1.732，结果取整数）32018年4月12日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用直升机航拍技术全程直播如图，在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园A处的俯角为3
2、0，B处的俯角为45，如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、B、D在同一条直线上，则A、B两点间的距离为多少米？（结果保留根号）4小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为EAB=60，EAC=30，且D，B，C在同一水平线上已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD（精确到0.01米参考数据：1.414，1.732）5我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰，如图所示，其中山脚A、C两地海拔高度约为1000米，山顶B处的海拔高度约为1400米，由B处望山脚A处的俯角为30，由B处望山脚C处的俯角为
3、45，若在A、C两地间打通一隧道，求隧道最短为多少米（结果取整数，参考数据1.732）6随着航母编队的成立，我国海军日益强大2018年4月12日，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻，如图，我军巡逻舰在某海域航行到A处时，该舰在观测点P的南偏东45的方向上，且与观测点P的距离PA为400海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后，到达位于观测点P的北偏东30方向上的B处，问此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多少海里？（参考数据：1.414，1.732，结果精确到1海里）7由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务如图，航母由西向
4、东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37方向如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长（参考数据：sin700.94，cos700.34，tan702.75，sin370.6，cos370.80，tan370.75）8如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C经测量，C位于A的北偏东60的方向上，C位于B的北偏东30的方向上，且AB=10km（1）求景点B与C的距离；（2）为了方便游客到景点C游玩，景区管委会准备由景点C向公路l修一条
5、距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长（结果保留根号）9为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点A处，测得凉亭P在北偏东60的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45的方向上，如图所示求凉亭P到公路l的距离（结果保留整数，参考数据：1.414，1.732）10如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48，测得底部C处的俯角为58，求甲、乙建筑物的高度AB和DC（结果取整数）参考数据：tan48lll，tan581.6011小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传
6、“中国南亚博览会”的竖直标语牌CD她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42，测得隧道底端B处的俯角为30（B，C，D在同一条直线上），AB=10m，隧道高6.5m（即BC=65m），求标语牌CD的长（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin420.67，cos420.74，tan420.90，1.73）12如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45，然后沿着坡度为=1：的坡面AD走了200米达到D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60，求山高BC（结果保留根号）13如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角DCE=30，楼高AB=60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为6
7、0，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45，其中点A，C，E在同一直线上（1）求坡底C点到大楼距离AC的值；（2）求斜坡CD的长度14某次台风袭击了我国西南部海域如图，台风来临前，我国海上搜救中心A接到一渔船遇险的报警，于是令位于A的正南方向180海里的救援队B立即施救已知渔船所处位置C在A的南偏东34方向，在B的南偏东63方向，此时离台风来到C处还有12小时，如果救援船每小时行驶20海里，试问能否在台风来到之前赶到C处对其施救？15如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点A到航线l的距离为2km点B位于点A北偏东60方向且与A相距10km现有一艘轮船从位于点B南偏西76方向的C处，正沿该航线
8、自西向东航行，5分钟后该轮船行至点A的正北方向的D处（1）求观测点B到航线l的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h）参考数据：1.73，sin760.97，cos760.24，tan764.01）16如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，AB=4km有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60的方向，从B测得小船在北偏东45的方向（1）求点P到海岸线的距离；（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点C处，此时，从B测得小船在北偏西15的方向求点C与点B之间的距离（上述两小题的结果都保留根号）17为缓解交通压力，市郊某地正在修建地铁站，拟
9、同步修建地下停车库如图是停车库坡道入口的设计图，其中MN是水平线，MNAD，ADDE，CFAB，垂足分别为D，F，坡道AB的坡度=1：3，AD=9米，点C在DE上，CD=0.5米，CD是限高标志牌的高度（标志牌上写有：限高 米）如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：1.41，1.73，3.16）18如图所示，在坡角为30的山坡上有一竖立的旗杆AB，其正前方矗立一墙，当阳光与水平线成45角时，测得旗杆AB落在坡上的影子BD的长为8米，落在墙上的影子CD的长为6米，求旗杆AB的高（结果保留根号）19为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通
10、道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面AD与通道BC平行），通道水平宽度BC为8米，BCD=135，通道斜面CD 的长为6米，通道斜面AB的坡度i=1：（1）求通道斜面AB的长为 米；（2）为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面CD的坡度变缓，修改后的通道斜面DE的坡角为30，求此时BE的长（结果保留根号）20如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22时办公楼在建筑物的墙上留下高1米的影子CE，而当光线与地面夹角是45时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有20米的距离（B，F，C在一条直线上）（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出
11、A，E之间的距离（精确到1米）（参考数据：sin22，cos22，tan22）21如图，我市某中学数学兴趣小组决定测量一下本校教学楼AB的高度，他们在楼梯底部C处测得ACB=60，DCE=30；沿楼梯向上走到D处测得ADF=45，D到地面BE的距离DE为3米求教学楼AB的高度（站果精确列1米，参考数据：1.4，1.7）解直角三角形应用答案一解答题（共21小题）1在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30，再往雕塑方向前进4米至B处，测得仰角为45问：该雕塑有多高？（测角仪高度忽略不计，结果不取近似值）【解答】解：如图，过点C作
12、CDAB，交AB延长线于点D，设CD=x米，CBD=45，BDC=90，BD=CD=x米，A=30，AD=AB+BD=4+x，tanA=，即=，解得：x=2+2，答：该雕塑的高度为（2+2）米2如图，一艘海轮位于灯塔C的北偏东45方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东30方向上的B处，求此时船距灯塔的距离（参考数据：1.414，1.732，结果取整数）【解答】解：过C作CDAB，在RtACD中，A=45，ACD为等腰直角三角形，AD=CD=AC=50海里，在RtBCD中，B=30，BC=2CD=100海里，根据勾股定理得：BD=50海里，则AB=AD
13、+BD=50+50193海里，则此时船锯灯塔的距离为193海里32018年4月12日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用直升机航拍技术全程直播如图，在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园A处的俯角为30，B处的俯角为45，如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、B、D在同一条直线上，则A、B两点间的距离为多少米？（结果保留根号）【解答】解：ECAD，A=30，CBD=45，CD=200，CDAB于点D在RtACD中，CDA=90，tanA=，AD=，在RtBCD中，CDB=90，CBD=45DB=CD=200，AB=ADDB=200200，答：A、B两点间的距离为200200米4小亮在
14、某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为EAB=60，EAC=30，且D，B，C在同一水平线上已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD（精确到0.01米参考数据：1.414，1.732）【解答】解：EAB=60，EAC=30，CAD=60，BAD=30，CD=ADtanCAD=AD，BD=ADtanBAD=AD，BC=CDBD=AD=30，AD=1525.985我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰，如图所示，其中山脚A、C两地海拔高度约为1000米，山顶B处的海拔高度约为1400米，由B处望山脚A处的俯角为3
15、0，由B处望山脚C处的俯角为45，若在A、C两地间打通一隧道，求隧道最短为多少米（结果取整数，参考数据1.732）【解答】解：如图，作BDAC于D，由题意可得：BD=14001000=400（米），BAC=30，BCA=45，在RtABD中，即，AD=400（米），在RtBCD中，即，CD=400（米），AC=AD+CD=400+4001092.81093（米），答：隧道最短为1093米6随着航母编队的成立，我国海军日益强大2018年4月12日，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻，如图，我军巡逻舰在某海域航行到A处时，该舰在观测点P的南偏东45的方向上，且与观测点
16、P的距离PA为400海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后，到达位于观测点P的北偏东30方向上的B处，问此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多少海里？（参考数据：1.414，1.732，结果精确到1海里）【解答】解：在APC中，ACP=90，APC=45，则AC=PCAP=400海里，由勾股定理知，AP2=AC2+PC2=2PC2，即4002=2PC2，故PC=200海里又在直角BPC中，PCB=90，BPC=60，PB=2PC=400565.6（海里）答：此时巡逻舰与观测点P的距离PB约为565.6海里7由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务如图，
17、航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37方向如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长（参考数据：sin700.94，cos700.34，tan702.75，sin370.6，cos370.80，tan370.75）【解答】解：由题意得：ACD=70，BCD=37，AC=80海里，在直角三角形ACD中，CD=ACcosACD=27.2海里，在直角三角形BCD中，BD=CDtanBCD=20.4海里答：还需航行的距离BD的长为20.4海里8如图，某市郊外景区内一条笔直的公路
18、l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C经测量，C位于A的北偏东60的方向上，C位于B的北偏东30的方向上，且AB=10km（1）求景点B与C的距离；（2）为了方便游客到景点C游玩，景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长（结果保留根号）【解答】解：（1）如图，由题意得CAB=30，ABC=90+30=120，C=180CABABC=30，CAB=C=30，BC=AB=10km，即景点B、C相距的路程为10km（2）过点C作CEAB于点E，BC=10km，C位于B的北偏东30的方向上，CBE=60，在RtCBE中，CE=km9为了
19、计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点A处，测得凉亭P在北偏东60的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45的方向上，如图所示求凉亭P到公路l的距离（结果保留整数，参考数据：1.414，1.732）【解答】解：作PDAB于D设BD=x，则AD=x+200EAP=60，PAB=9060=30在RtBPD中，FBP=45，PBD=BPD=45，PD=DB=x在RtAPD中，PAB=30，CD=tan30AD，即DB=CD=tan30AD=x=（200+x），解得：x273.2，CD=273答：凉亭P到公路l的距离为273m
20、10如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48，测得底部C处的俯角为58，求甲、乙建筑物的高度AB和DC（结果取整数）参考数据：tan48lll，tan581.60【解答】解：如图作AECD交CD的延长线于E则四边形ABCE是矩形，AE=BC=78，AB=CE，在RtACE中，EC=AEtan58125（m）在RtAED中，DE=AEtan48，CD=ECDE=AEtan58AEtan48=781.6781.1138（m），答：甲、乙建筑物的高度AB为125m，DC为38m11小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国南亚博览会”的竖直标语牌CD
21、她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42，测得隧道底端B处的俯角为30（B，C，D在同一条直线上），AB=10m，隧道高6.5m（即BC=65m），求标语牌CD的长（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin420.67，cos420.74，tan420.90，1.73）【解答】解：如图作AEBD于E在RtAEB中，EAB=30，AB=10m，BE=AB=5（m），AE=5（m），在RtADE中，DE=AEtan42=7.79（m），BD=DE+BE=12.79（m），CD=BDBC=12.796.56.3（m），答：标语牌CD的长为6.3m12如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得
22、山顶B的仰角45，然后沿着坡度为=1：的坡面AD走了200米达到D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60，求山高BC（结果保留根号）【解答】解：作DFAC于FDF：AF=1：，AD=200米，tanDAF=，DAF=30，DF=AD=200=100，DEC=BCA=DFC=90，四边形DECF是矩形，EC=BF=100（米），BAC=45，BCAC，ABC=45，BDE=60，DEBC，DBE=90BDE=9060=30，ABD=ABCDBE=4530=15，BAD=BAC1=4530=15，ABD=BAD，AD=BD=200米，在RtBDE中，sinBDE=，BE=BDsinBDE=200=1
23、00，BC=BE+EC=100+100（米）13如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角DCE=30，楼高AB=60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45，其中点A，C，E在同一直线上（1）求坡底C点到大楼距离AC的值；（2）求斜坡CD的长度【解答】解：（1）在直角ABC中，BAC=90，BCA=60，AB=60米，则AC=20（米）答：坡底C点到大楼距离AC的值是20米（2）设CD=2x，则DE=x，CE=x，在RtABC中，ABC=30，则BC=60（米），在RtBDF中，BDF=45，BF=DF，60x=20+x，x=4060，CD=2x=801
24、20，CD的长为（80120）米14某次台风袭击了我国西南部海域如图，台风来临前，我国海上搜救中心A接到一渔船遇险的报警，于是令位于A的正南方向180海里的救援队B立即施救已知渔船所处位置C在A的南偏东34方向，在B的南偏东63方向，此时离台风来到C处还有12小时，如果救援船每小时行驶20海里，试问能否在台风来到之前赶到C处对其施救？【解答】解：过点C作CDAB延长线于点D，DAC=34，DBC=63，设BD=x，则tan63=，故CD=BDtan63=xtan63，tan34=，解得：x94.3，故cos63=，解得：BC207.7，207.72010.4（小时），答：如果救援船每小时行驶2
25、0海里，能在台风来到之前赶到C处对其施救15如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点A到航线l的距离为2km点B位于点A北偏东60方向且与A相距10km现有一艘轮船从位于点B南偏西76方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5分钟后该轮船行至点A的正北方向的D处（1）求观测点B到航线l的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h）参考数据：1.73，sin760.97，cos760.24，tan764.01）【解答】解：（1）设AB与l交于点O在RtAOD中，OAD=60，AD=2（km），OA=4（km）AB=10（km），OB=ABOA=6（km）在RtBOE中，OBE=OAD
26、=60，BE=OBcos60=3（km）答：观测点B到航线l的距离为3km（2）在RtAOD中，OD=ADtan60=2（km），在RtBOE中，OE=BEtan60=3（km），DE=OD+OE=5（km）在RtCBE中，CBE=76，BE=3（km），CE=BEtanCBE=3tan76CD=CEDE=3tan7653.38（km）5（min）=h，v=12CD=123.3840.6（km/h）答：该轮船航行的速度约为40.6km/h16如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，AB=4km有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60的方向，从B测得小船在北偏东45的方
27、向（1）求点P到海岸线的距离；（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点C处，此时，从B测得小船在北偏西15的方向求点C与点B之间的距离（上述两小题的结果都保留根号）【解答】解：（1）如图，过点P作PDAB于点D设PD=xkm在RtPBD中，BDP=90，PBD=9045=45，BD=PD=xkm在RtPAD中，ADP=90，PAD=9060=30，AD=PD=xkmBD+AD=AB，x+x=4，x=2 2，点P到海岸线l的距离为（2 2）km；（2）如图，过点B作BFAC于点F根据题意得：ABC=105，在RtABF中，AFB=90，BAF=30，BF=AB=2km在ABC中，
28、C=180BACABC=45在RtBCF中，BFC=90，C=45，BC=BF=2 km，点C与点B之间的距离大约为2km17为缓解交通压力，市郊某地正在修建地铁站，拟同步修建地下停车库如图是停车库坡道入口的设计图，其中MN是水平线，MNAD，ADDE，CFAB，垂足分别为D，F，坡道AB的坡度=1：3，AD=9米，点C在DE上，CD=0.5米，CD是限高标志牌的高度（标志牌上写有：限高2.4米）如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：1.41，1.73，3.16）【解答】解：据题意得tanB=，MNAD，A=B，tanA=，DEAD
29、，在RtADE中，tanA=，AD=9，DE=3，又DC=0.5，CE=2.5，CFAB，FCE+2=90，DEAD，A+CEF=90，A=FCE，tanFCE=在RtCEF中，CE2=EF2+CF2设EF=x，CF=3x（x0），CE=2.5，代入得（）2=x2+（3x）2解得x=（如果前面没有“设x0”，则此处应“x=，舍负”），CF=3x=2.4，该停车库限高2.4米故答案为2.418如图所示，在坡角为30的山坡上有一竖立的旗杆AB，其正前方矗立一墙，当阳光与水平线成45角时，测得旗杆AB落在坡上的影子BD的长为8米，落在墙上的影子CD的长为6米，求旗杆AB的高（结果保留根号）【解答】解
30、：过点C作CEAB于E，过点B作BFCD于F，在RtBFD中，DBF=30，sinDBF=，cosDBF=，BD=8m，DF=4m，BF=4m，ABCD，CEAB，BFCD，四边形BFCE为矩形，BF=CE=4m，CF=BE=CDDF=2m，在RtACE中，ACE=45，AE=CE=4m，AB=4+2答：旗杆AB的高为（4+2）m19为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面AD与通道BC平行），通道水平宽度BC为8米，BCD=135，通道斜面CD 的长为6米，通道斜面AB的坡度i=1：（1）求通道斜面AB的长为3米；（2）为增加市民行走的舒适度，拟将设计图
31、中的通道斜面CD的坡度变缓，修改后的通道斜面DE的坡角为30，求此时BE的长（结果保留根号）【解答】解：（1）过点A作ANCB于点N，过点D作DMBC于点M，BCD=135，DCM=45在RtCMD中，CMD=90，CD=6，DM=CM=CD=3，AN=DM=3，通道斜面AB的坡度i=1：，tanABN=，BN=AN=6，AB=3即通道斜面AB的长约为3米；故答案为：3；（2）在RtMED中，EMD=90，DEM=30，DM=3，EM=DM=3，EC=EMCM=33，BE=BCEC=8（33）=8+33即此时BE的长约为（8+33）米20如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹
32、角是22时办公楼在建筑物的墙上留下高1米的影子CE，而当光线与地面夹角是45时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有20米的距离（B，F，C在一条直线上）（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离（精确到1米）（参考数据：sin22，cos22，tan22）【解答】解：（1）过点E作EMAB于点M，设AB=x，在RtABF中，AFB=45，BF=AB=x，BC=BF+FC=x+20在RtAEM中，AEM=22，AM=ABCE=x1，tan22=，即=，解得，x=15办公楼AB的高度为15米；（2）在RtAME中，cos22=，AE=37米A，E之间的距
33、离为37米21如图，我市某中学数学兴趣小组决定测量一下本校教学楼AB的高度，他们在楼梯底部C处测得ACB=60，DCE=30；沿楼梯向上走到D处测得ADF=45，D到地面BE的距离DE为3米求教学楼AB的高度（站果精确列1米，参考数据：1.4，1.7）【解答】解：如图，在RtDCE中，DCE=30、DE=3，CD=2DE=6，ACB=60，ACD=180DCEACB=90，CDF=DCE=30，在RtDCF中，DF=4，设AG=x，ADF=45，DG=AG=x，FG=DGDF=x4，在RtAFG中，AFG=ACB=60，tanAFG=，即=，解得：x=6+6，即AG=6+6，AB=AG+BG=6+6+3=9+619（米），答：教学楼AB的高度约为19米
