二面角教师版汇总.doc

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1、二面角教师版一、 基本观点(一).求二面角的主要方法：（1） 定义法：找（作）二面角的平面角；【先证】解三角形求出角。 【后算】（2） 公式法：设二面角的度数为，则多用于求无棱二面角。(二) 求作二面角的平面角求作二面的平面角是解决二面角问题的关键，也是难点，通过前面教学及习题涉及到的作法有下面三种：1.定义法：利用二面角的平面角定义，在二面角棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线、两射线所成角就是二面角的平面角.2.三垂线法：利用三垂线定理及逆定理通过证明线线垂直，找到二面角的平面角，关键在找面的垂线.3.垂面法：作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的

2、角为二面角的平面角. 二.求二面角的大小的基本方法为先证后算,即先由有关立几结论找出二面角的平面角(大多数题是用三垂线法去找),然后借助于解三角形求出平面角.例题解析 1: 设P是二面角l内一点，P到面、的距离PA、PB分别为8和5，且AB7，求这个二面角的大小。解：作ACl于c，连结BCPA，l PAl又ACl，ACPAAl平面PAC lPCPB，l PBl 又PBPCP l平面PBC平面PAC与平面PBC重合，且lBCACB就是所求的二面角PAB中，PA8，PB5，AB7 P600ACB1200 2. 在三棱锥SABC中，SAB=SAC=ACB=90，且AC=BC=5，SB=5.（如图92

3、1）（）证明：SCBC；（）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；（）证明：SAB=SAC=90， SAAB，SAAC.又ABAC=A， SA平面ABC.由于ACB=90，即BCAC， 由三垂线定理，得SCBC.（）解：BCAC，SCBCSCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角.在RtSCB中，BC=5，SB=5. 得SC=10在RtSAC中AC=5，SC=10，cosSCA=SCA=60，即侧面SBC与底面ABC所成的二面角的大小为60. 3.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点。（1）求证AM/平面BDE；（2）求二面角

4、A-DF-B的大小；（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60。解: ()记AC与BD的交点为O,连接OE, O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，四边形AOEM是平行四边形，AMOE。平面BDE， 平面BDE，AM平面BDE。()在平面AFD中过A作ASDF于S，连结BS，ABAF， ABAD， AB平面ADF，AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂线定理得BSDF。BSA是二面角ADFB的平面角。在RtASB中，二面角ADFB的大小为60。（）设CP=t（0t2）,作PQAB于Q，则PQAD，PQAB，PQAF，PQ平面ABF，平面ABF，PQQF。在RtPQF中

5、，FPQ=60，PF=2PQ。PAQ为等腰直角三角形，又PAF为直角三角形，所以t=1或t=3(舍去)即点P是AC的中点。 4.如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知AB=2，AA1=，M为棱A1A上的点，若A1C平面MB1D1。 （）确定点M的位置； （）求二面角D1MB1B的大小。 解：（）连结A1D，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧面ADD1A1为矩形，A1C平面MB1D1，A1CD1M， 因此A1C在平面AD1上的射影A1DD1M，A1MD1D1A1D， A1M=因此M是A1A的中点。（）引A1EB1M于E，连结D1E，则A1E是D1E在平面BA1上的射影，由三垂线定

6、理可知D1EB1M， A1ED1是二面角D1MB1B的平面角的补角，由（）知，A1M=，则 二面角D1MB1B等于 5. 如图所示，和都是等腰直角三角形，且它们所在的平面互相垂直， （I）求异面直线AD、BC所成的角。 （II）设P是线段AB上的动点，问P、B两点间的距离多少时,与所在平面成的二面角?； 解：（I） 异面直线AD、BC所成角为。4分 （II）过点P作于E，过点E作于F，连结PF。 。 设，则在中， 在中，CDEAB 在中， 6.四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，（）证明：；（）设与平面所成的角为，求二面角的大小的余弦值解：（1）取中点，连接交于点，18题图又面面，面，即，面，（2

7、）在面内过点作的垂线，垂足为，面，则即为所求二面角的平面角，则， 7: 如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD=60，N是PB中点，截面DAN交PC于M.线面角（）求PB与平面ABCD所成角的大小；（）求证：PB平面ADMN；三垂线定理的应用（）求以AD为棱，PAD与ADMN为面的二面角的大小.解：（I）取AD中点O，连结PO，BO.PAD是正三角形，所以POAD，又因为平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD，BO为PB在平面ABCD上的射影，所以PBO为PB与平面ABCD所成的角由已知ABD为等边三角形，所以PO=B

8、O=，所以PB与平面ABCD所成的角为45. （）ABD是正三角形，所以ADBO，所以ADPB，又，PA=AB=2，N为PB中点，所以ANPB，所以PB平面ADMN. （）连结ON，因为PB平面ADMN，所以ON为PO在平面ADMN上的射影，因为ADPO，所以ADNO，故PON为所求二面角的平面角.因为POB为等腰直角三角形，N为斜边中点，所以PON=45，即所求二面角的大小为45 8.如图：在二面角中，、，、，为矩形，且，、依次是、的中点，求二面角的大小.解：连结PDABCD为矩形ADDC, 即 又PA,PD,PAD为二面角的平面角，又PAAD，PA=ADPAD是等腰直角三角形，PDA=45

9、0，即二面角的平面角为450。9. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AD上移动. （1）证明：D1EA1D； （2）AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为.20解法（一）（1）证明：AE平面AA1DD1，A1DAD1，A1DD1E（2）过D作DHCE于H，连D1H、DE，则D1HCE， DHD1为二面角D1ECD的平面角.设AE=x，则BE=2xDE=1 在三角形DEC中利用面积相等来表示三垂线法：10.如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为a，侧棱长为a，若经过AB1且与BC1平行的平面交上底面于DB1（1）试确定点D的位置，并证明你

10、的结论；（2）求二面角A1AB1D的大小解：（1）D为A1C1的中点（D也可以是A1B1C1的边A1C1中线上任一点）连结A1B与AB1交于E，则E为A1B的中点，DE为平面ABB1A1D与平面A1BC1的交线，BC1平面AB1D，BC1DE，D为A1C1的中点（2）过D作DFA1B1于F，由正三棱柱的性质，AA1DF，DF平面ABB1A1，连结EF，DE，在正三角形A1B1C1中，D是A1C1的中点，B1DA1B1a，又在直角三角形AA1D中，ADa，ADB1DDEAB1，可得EFAB1，则DEF为二面角A1AB1D的平面角（10分）可求得DFa，B1FEB1AA1，得EFa，DEF，即为所

11、求11.如图，在底面是直角梯形的四棱锥ABCD中，面ABCD，SAAB，求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值解：延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱 6分，面ABCD，得面SEB面EBC，EB是交线.又，面SEB，故SB是SC在面SEB上的射影，CS，所以是所求二面角的平面角 10分即所求二面角的正切值为 12. 已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，点E是SC上任意一点.（）求证：平面EBD平面SAC；点到平面的距离用等体积法（）设SA=4，AB=2，求点A到平面SBD的距离；（）当的值为多少时，二面角B-SC-D的大小为120。（点到直线

12、的距离，B到SC的距离，在三角形SBC中利用面积等计算，再根据BD与BM的等量关系列等式）解法一：证明（）：ABCD是正方形，BDAC, SA底面ABCD，BD面ABCD，SABD，SAAC=A，BD面SAC，又BD面EBD，平面EBD平面SAC4分解（）：由（）知，BD面SAC，又BD面SBD，平面SBD平面SAC，设ACBD=O，则平面SBD平面SAC=SO，过A作AFSO交SO于点F,则AF面SBD，所以线段AF的长就是点A到平面SBD的距离.ABCD是正方形，AB=2，AO=，又SA=4，SAO是Rt，SO=，SOAF=SAAO，AF=，点A到平面SBD的距离为13. 如图，在四棱锥中

13、，侧面底面ABCD，PA=PD=2，底面ABCD是直角梯形，其中，（）求直线PC与平面PAD所成的角；（）求二面角A-PB-C的大小。I）取AD中点O，连结OP、OC，又OC=AB=，CPO=45，即直线PC与平面PAD所成的角为45。6分 （II）由（I）知，OPAD，则OP平面ABCD，又BCOC，ABOA，BCPC，ABPA，BC=AB，PB=PB，RtPCBPAB。作CEPB，垂足为E，连结AE，则AEPB，AEC为二面角APBC的平面角。9分在RtPCB中，故二面角APBC的大小为120。12分14. 已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,ABDC,底面ABCD,且PA=AD=DC

14、=AB=1,M是PB的中点.（）证明：面PAD面PCD；（）求AC与PB所成角的余弦值；（）求面AMC与面BMC所成二面角的余弦.(等体积法求点B到ACM的距离，利用解三角形求出B到CM的距离）本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力.满分12分.方案一：（）证明：PA面ABCD,CDAD,得：CDPD.因而,CD与面PAD内两条相交直线AD,PD都垂直,CD面PAD.又CD面PCD,面PAD面PCD.（）解：过点B作BE/CA,且BE=CA,则PBE是AC与PB所成的角.连结AE,可知AC=CB=BE=AE=,又AB

15、=2,所以四边形ACBE为正方形. 由PA面ABCD得PEB=90在RtPEB中BE=,PB=, （）解：作ANCM,垂足为N,连结BN.在RtPAB中,AM=MB,又AC=CB,AMCBMC,BNCM,故ANB为所求二面角的平面角.CBAC,得CBPC,在RtPCB中,CM=MB,所以CM=AM.在等腰三角形AMC中,ANMC=,. AB=2,故所求的二面角的余弦值为15. 如图, 已知在三棱柱中，三个侧棱都是矩形，点为的中点 ， () 求证;() 求证;() 求异面直线与所成角的余弦值（图形的补全法） 16如图，已知正方形ABCD和正方形ABEF所在平面成600的二面角，求直线BD与平面A

16、BEF所成角的正弦值。AFEBDC ABCDA1D1C1B117如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，求：（1）面A1ABB1与面ABCD所成角的大小；（2）二面角C1BDC的正切值（3）二面角（射影法）18过正方形ABCD的顶点A作PA平面ABCD，设PA=AB=a，(1)求二面角的大小;(2)求二面角C-PD-A三垂线定理，点到平面的距离是关键19. 如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD60，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA.(1) 证明： BE平面PAB；(2) 求二面角ABEP的大小（3）PB与面PAC的角（等体积法求点到平面的距离） 2

17、0 如图,在底面为直角梯形的四棱锥,BC=6 (1) 求证:(2) 求二面角的大小.（3）求二面角B-PC-A的大小21如图，直二面角DABE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF平面ACE.（）求证AE平面BCE；（）求二面角BACE的大小；（三垂线定理）（）求点D到平面ACE的距离.（等体积法）ABCDP 22.如图，在四棱锥中，底面是矩形已知，（）证明平面；（）求异面直线与所成的角的大小； （）求二面角的正切值 25如图三棱锥 P-ABC中，PC平面ABC，PC = ，D是 BC的中点，且ADC是边长为 2的正三角形，求二面角 P-ABC的大小。DPCA

18、B解：由已知条件，D是BC的中点 CD =BD =2 又ADC是正三角形 AD =CD =BD =2 D是ABC之外心又在BC上 ABC是以BAC为直角的三角形， ABAC， 又 PC面ABC PAAB (三垂线定理) PAC即为二面角 P-AB-C之平面角， 易求 PAC =3026.如图在三棱锥 S-ABC中，SA底面ABC，ABBC，DE 垂直平分SC，且分别交 AC、SC于D、E，又SA =AB，BS =BC， 求以BD为棱，BDE与BDC为面的二面角的度数。（距离法球二面角）EDBASC解： BS =BC，又DE垂直平分SC BESC，SC面BDE BDSC，又SA面ABC SABD

19、，BD面SAC BDDE，且BDDC 则 EDC就是所要求的平面角 设 SA =AB =a， 则 BC =SB =a 且 AC = 易证 SACDEC CDE =SAC =6027. 如图：ABCD是矩形，AB =8，BC =4，AC 与 BD 相交于O点，P是平面 ABCD外一点，PO面ABCD，PO =4，M 是 PC 的中点，求二面角 M-BD-C 大小。解：取OC之中点N，则 MNPOSRNMOBDPAC PO面ABCD MN面ABCD 且 MN =PO/2 =2， 过 N 作 NRBD 于 R，连MR， 则 MRN即为二面角 M-BD-C的平面角过 C 作 CEBD于S DBAEC

20、28.如图ABC与BCD所在平面垂直，且AB =BC =BD，ABC =DBC =，求二面角 A-BD-C的余弦值。解：过 A作 AECB的延长线于E， 连结 DE， 面ABC面BCD AE面BCD E点即为点A在面BCD内的射影 EBD为ABD在面BCD内的射影 设 AB =a 则AE =DE =ABsin60= AD = ， sinABD = 又 考虑到我们求的是二面角 A-BD-E，而二面角 A-BD-C与A-BD-C互补 二面角 A-BD-C的余弦值为。 29已知正方体 AC，M、N分别是BB，DD的中点，求截面 AMCN与面ABCD，CCDD所成的角。DBDACBACMN由于AMCN

21、在面ABCD上的射影即 则平行四边形DMCN是四边形AMCN在CCDD上的射影， 30.如图 AC面BCD，BD面ACD，若AC =CD =1，ABC =30，求二面角的大小。（等体积法求点D到ABC的距离）BFEACD解：作DFAB于F，CEAB于E， 在RtABC中， ， 同理 即所求角的大小为。31 三棱锥 A-BCD中，BAC =BCD =90，DBC =30，AB =AC =，AD =4，求二面角 A-BC-D 的度数。DOABC解：由已知条件BAC =90，AB =AC， 设BC的中点设为O，则OA =OC =BC = 解之得： 32. 如图，四面体ABCD的棱BD长为2，其余各棱

22、的长均是，求：二面角ABDC、ABCD、BACD的大小.解析：(1)取BD的中点O，连AO、OC.在ABD中，ABAD，BD2，ABD是等腰直角三角形，AOBD，同理OCBD.AOC是二面角ABDC的平面角又AOOC1，AC，AOC90.即二面角ABDC为直二面角.(2)二面角ABDC是直二面角，AOBD，AO平面BCD.ABC在平面BCD内的射影是BOC.SOCB,SABC,cos.即二面角ABCD的大小是arccos.(3)取AC的中点E，连BE、DE.ABBC，ADDC，BDAC，DEAC，BED就是二面角的平面角.在BDE中，BEDE，由余弦定理，得cos-二面角BACD的大小是-ar

23、ccos.33. 如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为a的菱形，A60，PC平面ABCD，PCa,E是PA的中点.(1)求证平面BDE平面ABCD.(2)求点E到平面PBC的距离.(3)求二面角AEBD的平面角大小.解析：(1)设O是AC，BD的交点，连结EO.ABCD是菱形，O是AC、BD的中点，E是PA的中点，EOPC，又PC平面ABCD，EO平面ABCD，EO平面BDE，平面BDE平面ABCD.(2)EOPC，PC平面PBC，EO平面PBC，于是点O到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离.作OFBC于F，EO平面ABCD，EOPC，PC平面PBC，平面PBC平面ABCD，于是OF

24、平面PBC，OF的长等于O到平面PBC的距离.由条件可知，OB,OFa，则点E到平面PBC的距离为a.(3)过O作OGEB于G，连接AG OEAC，BDAC AC平面BDEAGEB(三垂线定理) AGO是二面角AEBD的平面角OEPCa,OBa EBa.OGa 又AOa.tanAGOAGOarctan.34. 如图，已知正方体ABCD的棱长为1，E、F分别在棱AB、BC上，G在对角线BD1上，且AE，BF，D1GGB12，求平面EFG与底面ABCD所成的二面角的大小.解析：设G在底面ABCD上的射影为H，HBD，GH作HMEF于M，连GM，由三垂线定理知GMEF，则GMH就是平面BFG与底面A

25、BCD所成的二面角的平面角，tan.下面求HM的值.建立如图所示的直角坐标系，据题设可知.H(，)、E(，0)、F(1，)直线EF的方程为，即 4x-6y-10.由点到直线的距离公式可得HM，tg，arctg.说明 运用解析法来求HM的值是本例的巧妙所在.35. 如图，设ABCA1B1C1是直三棱柱，E、F分别为AB、A1B1的中点，且AB2AA12a,ACBCa.(1)求证：AFA1C(2)求二面角CAFB的大小分析 本小题考查空间几何垂直的概念和二面角的度量等知识.解 (1)ACBC，E为AB中点，CEAB又ABCA1B1C1为直棱柱，CE面AA1BB连结EF，由于AB2AA1AA1FE为

26、正方形AFA1E，从而AFA1C(2)设AF与A1E交于O，连结CO，由于AFA1E，知AF面CEA1COE即为二面角CAFB的平面角AB2AA12a,ACBCaCEa,OEa,tanCOE2.二面角CAFB的大小是arctan2.36如图是长方体，AB=2，求二平面与所成二面角的大小解析：平面ABCD平面，平面与平面的交线l为过点且平行于AC的直线直线l就是二平面与所成二面角的棱又平面，过作AHl于H，连结AH则为二面角的平面角可求得因此所求角的大小为或37. 在正方体中，且，.求：平面AKM与ABCD所成角的大小解析：由于BCMK是梯形，则MK与CB相交于EA、E确定的直线为l，过C作CF

27、l于F，连结MF，因为MC平面ABCD，CFl，故MFlMFC是二面角M-l-C的平面角设正方体棱长为a，则，在ECM中，由BKCM可得，故因此所求角的大小为或38. 如图，将边长为a的正三角形ABC按它的高AD为折痕折成一个二面角（1）若二面角是直二面角，求的长；（2）求与平面所成的角；（3）若二面角的平面角为120，求二面角的平面角的正切值解析：（1）若，AC=a，（2），ADDC，AD平面为与平面所成的角，在Rt中，于是（3）取的中点E，连结AE、DE，AED为二面角的平面角，在RtAED中，39如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，点M在侧棱上，=60（I）证明：M在侧棱的中点（II）求二

28、面角的大小。FG证（I）略 解（II）：利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点，则点为AM的中点，过F点在平面ASM内作，GF交AS于G，连结AC，ADCADS，AS-AC，且M是SC的中点，AMSC， GFAM，GFAS，又为AM的中点，GF是AMS的中位线，点G是AS的中点。则即为所求二面角. ，则，又，是等边三角形，G在中，二面角的大小为 F40（2008山东）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点.（）证明：AEPD; （）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角EAFC的余弦值.分析：第1题

29、容易发现，可通过证AEAD后推出AE平面APD，使命题获证，而第2题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱AF上找到可计算二面角的平面角的顶点S，和两边SE与SC，进而计算二面角的余弦值。（答案：二面角的余弦值为）二、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如（例2）过二面角B-FC-C中半平面BFC上的一已知点B作另一半平面FC1C的垂

30、线，得垂足O；再过该垂足O作棱FC1的垂线，得垂足P，连结起点与终点得斜线段PB，便形成了三垂线定理的基本构图（斜线PB、垂线BO、射影OP）。再解直角三角形求二面角的度数。41(2009山东卷理) 如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。（1） 证明：直线EE/平面FCC；（2） 求二面角B-FC-C的余弦值。 证（1）略E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P 解（2）因为AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,BC

31、F为正三角形,取CF的中点O,则OBCF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1平面ABCD,所以CC1BO,所以OB平面CC1F,过O在平面CC1F内作OPC1F,垂足为P,连接BP,则OPB为二面角B-FC-C的一个平面角, 在BCF为正三角形中,在RtCC1F中, OPFCC1F, 在RtOPF中,所以二面角B-FC-C的余弦值为.42（2008天津）如图，在四棱锥中，底面是矩形已知（）证明平面；（）求异面直线与所成的角的大小；（）求二面角的大小分析：本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题，在证明AD平面PAB后，容易发现平面PAB平面ABCD，点P 就是二面角P-BD-A的半平

32、面上的一个点，于是可过点P作棱BD的垂线，再作平面ABCD的垂线，于是可形成三垂ABCEDP线定理中的斜线与射影内容，从而可得本解法。（答案：二面角的大小为）三补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决43（2008湖南）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD60，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA2. （）证明：平面PBE平面PAB;（）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.分析：本题

33、的平面PAD和平面PBE没有明确的交线，依本法显然要补充完整（延长AD、BE相交于点F，连结PF.）再在完整图形中的PF.上找一个适合的点形成二面角的平面角解之。（）证略解: （）延长AD、BE相交于点F，连结PF.ABCEDPFGH过点A作AHPB于H，由（）知平面PBE平面PAB,所以AH平面PBE.在RtABF中，因为BAF60，所以，AF=2AB=2=AP.在等腰RtPAF中，取PF的中点G，连接AG.则AGPF.连结HG，由三垂线定理的逆定理得，PFHG.所以AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）.在等腰RtPAF中， 在RtPAB中， ACBB1C1A1L所以，在

34、RtAHG中， 故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是44已知斜三棱柱ABCA1B1C1的棱长都是a，侧棱与底面成600的角，侧面BCC1B1底面ABC。（1）求证：AC1BC；（2）求平面AB1C1与平面 ABC所成的二面角（锐角）的大小。提示：本题需要补棱，可过A点作CB的平行线L（答案：所成的二面角为45O）四、射影面积法（）ACBP凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos）求出二面角的大小。45（2008北京理）如图，在三棱锥中，（）求证：；（）求二面角的大小；分析：本题要求二面角BAPC的大小，如果利用射影面积

35、法解题，不难想到在平面ABP与平面ACP中建立一对原图形与射影图形并分别求出S原与S射于是得到下面解法。解：（）证略（），ACBEP又，又，即，且，平面取中点连结，是在平面内的射影，ACE是ABE在平面ACP内的射影，A1D1B1C1EDBCA图5于是可求得：，则，设二面角的大小为，则二面角的大小为46： 如图5，E为正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成锐角的余弦值.分析 平面AB1E与底面A1B1C1D1交线即二面角的棱没有给出，要找到二面角的平面角，则必须先作两个平面的交线，这给解题带来一定的难度。考虑到三角形AB1E在平面A1B1C1D

36、1上的射影是三角形A1B1C1，从而求得两个三角形的面积即可求得二面角的大小。（答案：所求二面角的余弦值为cos=）.五、向量法47：如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD (I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II) 证明平面AMD平面CDE；求二面角A-CD-E的余弦值。 现在我们用向量法解答：如图所示，建立空间直角坐标系，以点为坐标原点。设依题意得 （I） 所以异面直线与所成的角的大小为.（II）证明： ， （III） 又由题设，平面的一个法向量为48、如图，在直三棱柱中，平面侧面.（）求证：；（）若直线与平面所成的角为,二面角的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明.分析：由已知条件可知：平面ABB1 A1平面BCC1 B1平面ABC于是很容易想到以B 点为空间坐标原点建立坐标系，并将相关线段写成用坐标表示的向量，先求出二面角的两个半平面的法向量，再利用两向量夹角公式求解。（答案：，且）