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1、例谈习题课教学设计的有效性-两节线性规划问题复习课的教学设计的比较 东莞实验中学 段伟数学课程标准提出了一种全新的数学课程理念：人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。这一提法使我们深刻地体会到：数学教学的有效性在课堂上是多么的重要。而事实上，在新课改的推动下，各个地区，学校，乃至很多教师都在想方设法的进行教学有效性的尝试和探索。但是目前高中数学教学中却普遍存在着一个非常突出的问题：那就是在形式繁多、热闹非凡的课堂教学中，我们的学生却并没有真正得到有效的发展。仔细想想，这个问题出现在学生，根源还在老师，我们的数学课堂教学过分注重结果，而忽视过程，过分注重知识
2、的传授，而忽视思维的培养，过分强调教学任务完成，而忽视了学生是否接受。对于不同类型内容的课堂教学和教学过程各个环节中是否体现了有效性，从而使学生的能力得到有效的发展和提高，大家探讨谈论的很多，这里想谈及的是关于习题课教学的有效性问题。基于科目的特点，习题课的设计教学在各个阶段的数学教学中都占有着很大的比重，甚至我曾经听到有文科老师说：“数学讲什么，不就是讲几道题吗？”当然，他对于数学教学的这种认识是片面和狭隘的，但也可以看出习题和习题课的教学在数学教学中所不可替代，不可忽视，而且应当予以重视的必要性。那么怎样才能设计一节有效甚至高效的习题课呢？我觉得首先应当从习题的选择做起，也就是要精选典型题
3、目。1.习题的选择应当易于形成变式，强化教学目标，突破重难点例题的选择要注意有示范性和针对性，可以很好的体现和突出本节课的教学目标，能够便于老师及时有效的突破教学的重点，难点，达到以习题为载体，提高能力的作用。下面我就以两节线性规划问题复习课为例，首先谈谈“题”的选择和整合。线性规划问题的复习是在复习了不等式、直线方程的基础上，利用不等式和直线方程的有关知识展开的，它是对二元一次不等式的深化和再认识、再理解，主要的知识目标是利用数形结合和转化的思想方法求解简单二元函数的最值问题，而重难点是用图解法准确求得线性规划问题的最优解，基于这些，教师甲选择了以下例题和练习来进行教学：例（2009天津卷理
4、）设变量x，y满足约束条件：，求目标函数z=2x+3y的最小值.练习1（2009上海卷文）已知实数x、y满足，求目标函数z=x-2y的最小值.练习2（2008福建理8）若实数x、y满足，求的取值范围.练习3.（2006重庆文16）已知变量x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+y（其中a0）仅在点（3，0）处取得最大值，求a的取值范围.练习4（2008陕西卷10）已知实数满足如果目标函数的最小值为，求实数的取值.我们可以看出该教师在备课选题这个环节还是进行了一定的准备的，所选的线性规划问题都是近几年的高考原题，基本的想法是通过多个例子让学生体会不同目标函数的求解方法。这种做法在阶段性的复习，特
5、别是高三复习阶段被一些老师普遍采用，原因是高考原题本身就是紧紧围绕“课标”和“大纲”的，而且具有时效性和权威性。在教师甲所选择的题目中，例题是用来回顾解答线性规划问题的思想和步骤的，而几个练习则是让学生用来巩固方法，突破重点，难点的，这几个题目基本囊括了性规划问题在高考考察中常见到的类型。通过观察我们发现，以上题目都是在给定线行约束条件后，求解目标函数的最值，而重点难点其实是对目标函数的几何意义的理解和利用“图解法”寻找最优解。作为线行规划问题的解答，利用约束条件画出可行域是解答的第一步，这一步需要谨慎细心，可行域需要画的力求精确，那么，对于一般的学生而言，这一步就会需要比较多的时间，要想在短
6、短40分中的课堂上把5道题目都处理完，难度太大。而且对于画出二元一次不等式（组）所表示的可行域，其实是前一节课的主要内容，放在这一节课显然使得对于时间的利用不是很有效。那么怎样才能既减少题目的信息量，又能达到突出重点，多去处理几个不同几何意义的目标函数呢？其实通过对题目进行变式设计可以有效的解决这一问题。对于同样的知识内容，我们看看教师乙对题目的选择和设计：问题1：怎样画出不等式3x+5y25在平面直角坐标系中所表示的平面区域？问题2：怎样画出不等式组在平面直角坐标系中所表示的平面区域？例. 若x,y满足条件,求：z=2x+y的最大值和最小值.若x,y满足条件,变式1：设z=2x-y，求z的最
7、大值和最小值；变式2：设，求z的最大值和最小值；变式3：设，求z的最大值和最小值；变式4.设z=ax+y（a0），若目标函数z 仅在点（5，2）处取到最大值，求a的取值范围；变式5.设z=ax+y（a0），若使目标函数z取得最大值的最优解有无数个，求a的值；问题：如果变式4和变式5中没有条件（a0），则结果怎样？变式6：已知实数x,y满足 ，如果目标函数z=x-y的最小值为-1，求实数m的值.我们可以看到，上述问题从回顾“二元一次不等式（组）表示平面区域”的方法入手，自然流畅的画出了线性约束条件所表示的可行域，后面承接的所有变式题目都在同一个约束条件下展开，避免学生重复审题，重复画图，做无用功
8、浪费时间。而由于有了足够的时间，所以该教师可以对不同几何意义的目标函数进行透彻有效的讲解，并且可以进行有效的组织活动。通过上面两个例子的比较，我们可以发现，两位老师对于同一个知识点的认识和把握基本是一致的，但很明显，教师乙的这组变式题目在实施时肯定会行之有效，究其原因是因为教师甲只是进行了必要的教学目标把握和题目的筛选，而乙在此基础上还进行了有效的题目整合。而对于整合后的题目是否具有有效性，我觉得还应该从学生的角度考虑，也就是说是否符合学生认知的规律。2.习题的设置应当符合递进性原则所谓习题设置的递进性原则，也就是数学的教与学两个方面都要符合循序渐进的事物认知规律。必须要遵从两个序列：一是学生
9、认知能力的发展序列，二是数学知识发展的逻辑序列。简而言之，就是由低到高，由易到难，由静到动，由具体到抽象，由特殊到一般。从上述甲乙两位老师给出题目的顺序可以看出他们都注意到了这两点。但对于教师甲所给出的问题，由于约束条件的变化，使之看起来并不明显，而且较难实施。对于教师乙给出的变式设计，由于约束条件不变，学生对于问题的思考会百分百的聚集在目标函数的比较上。例题本身的目标函数z=2x+y和变式1的z=2x-y变化在于截距符号的变化，那么自然会引起学生对于截距大小和最值大小的思考讨论。而通过小结，有了变式1至3具体目标函数的最优解都在可行域的端点和边界取到作为铺垫，那么对于变式4和5的带参数目标函
10、数最优解的讨论就很容易过渡到端点和边界上来。而有了变式1至5对于给定约束条件下具体可行域的分析作为前提，那么对于变式6这种“变动”可行域的分析思考对于学生就触手可及了。3.习题课的教学要充分发挥学生的主体作用数学课堂教学不是一种简单的知识传授与记忆的过程，也不应该是教师展示自己才华的过程。符合新课改精神的上课应该是“体现自主、创设合作、引导探究、注重过程”的教学，是让学生真正的在进行学习的过程，是一种有效教学。而这种主体参与原则往往在概念课的教学中用的较多，因为概念课便于创设情境，产生问题，易于开展合作探究，而习题课还是保守的采用讲授为主的讲解方式。比如在教师甲的教学过程中，当例题讲解完之后，
11、所有的练习是通过课件同时搬出的，然后请了3名学生上黑板板书，其余学生自己完成练习，然后评讲。这种学生活动看似是全员参与的，其实效果并不好。一是上黑板的学生在相同的时间内只解决了一个问题，二是其余学生的解答是有快有慢的，当评讲时有部分学生并没有完成练习，三是因为题目的设置和画可行域的重复性，很多学生在解决到练习3时已经情绪比较浮躁，书写画图极不规范。这种活动并没有确实的关注到每一个学生，最大限度的发挥他们的主动性。而教师乙的变式教学由于题目的整合，在教学过程中却发挥了意想不到的效果。当讲解板书完例题后，教师乙请一位学生结合可行域画图分析变式1: z=2x+y即y=-2x+z这种截距为负的情况，其
12、余学生补充点评，不但锻炼了学生分析问题的能力，还锻炼了学生阐述表示，质疑问难的能力。在小结完变式1，提醒学生理解目标函数后，教师随即提问还有哪些代数式有明显的几何意义，学生马上给出了斜率公式和距离公式，此时解决变式2和3已经水到渠成。而在这个过程中，学生并不是被动接受知识，进行单一的模仿，复制，演练，而是主动思考探究，突破了对目标函数几何意义理解这个重难点。4.习题课的教学要关注课件使用的有效性目前的现代化技术手段已广泛运用到学科的课堂教学中，并在课堂教学中展现出它独有的魅力。特别是那些比较抽象的、难理解的数学内容以及教学的重难点，通过多媒体课件的展示，既具体形象，又直观易懂，还能起到突出、强
13、调的作用。再配上那悦耳的音乐和美丽的动画，不但能充分调动学生多种感官的参与，而且能激发学生的学习兴趣，对提高课堂教学效果起到了事半功倍的作用。但是，我们也不难看到另外一种现象，只要是公开课，无论什么课型都整齐划一地使用多媒体课件，至于哪些环节使用课件对教学有益则成了次要问题，好象没有使用多媒体课件的课就不是一节好课似的。课件变成了幻灯片和电子黑板，教师上课可以一个字都不要板书，成了课件的讲解员，甚至有些上课的老师不熟悉信息技术，一旦操作不当，就束手无策，方寸大乱，这样的教学效果可想而知，这种教师把自己的命运交到了课件手里的现象不得不引起我们的反思。我们一定要记住：多媒体只是教学的辅助手段，而非
14、最终目的。对于课件的使用，甲乙两位老师都没有过度依赖。不论是例题解答的过程，还是练习，变式题目的分析过程，两位老师都很好的注意了黑板板书和课件展示的结合。都用课件展示题目，可行域和解答步骤都在黑板上完成，然后用课件展示突破难点。比如教师乙在解决变式4和变式5的过程中，先在黑板上结合可行域画图分析，再用课件展示动态情景（图1，图2），让学生加深理解“最优解通常在可行域的端点和边界取到，导致目标函数取哪一个最优解的因素是目标函数的斜率”。这样充分发挥了课件的动态特点，突破了知识难点。 （图1） （图2）5.习题课的教学要注意数学思想方法的渗透数学问题的解决过程实际上就是以概念为载体，以数学思想为指
15、导，运用数学方法探究答案的过程。我们经常会发现，有些学生教师讲过的题目会做，但对题目稍做改变，就无从下手，其实还是数学的方法思想没有领会，能力没有提高，还停留在记忆模仿阶段。作为数学思想，能力的提高，本身也是教学有效性的一个评价原则。教学有没有效益，并不是指教师有没有教完内容或教得认真不认真，而是指学生有没有学到什么或学生学得好不好。从长远来看，学生的能力有无进步或发展是教学有没有效益的唯一指标。所以，在习题课的教学中，也要注意数学思想方法的渗透。作为线性规划问题，本身就是利用“图解法”解题，是“数形结合”思想最好的体现，所以不管是截距型的目标函数，还是斜率，距离型的目标函数，都不能脱离图形来
16、单一的分析解答。而当设计到参数问题后，比方说变式4与5中，去掉（a0）的条件，就必须利用分类讨论的思想来解决，变式6中对于在x+ym的影响下，可行域是否存在也必须分类讨论：当m=2时，可行域只有一点(图3)，当m2时，才形成封闭的可行域（图5）,这些都体现了分类讨论思想。 （图3） （图4） （图5） 课堂教学有效的方法和途径很多，影响习题课教学有效性的因素也很多。本文通过两个教学设计的对比，结合个人的教学经验和认识，探究了习题课的课堂教学有效性问题。总的来说，一堂高效的习题课，要重视形式，讲究效果；要重视设计，讲究效率；要重视内容，讲究效益。只有真心的以学生为基点，以能力的提高为目标，相信一切对于有效性教学的探究，均会有所收获。
