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1、现代数学概论,第一章 现代数学的开始（1900-1918）,一、19世纪末年的世界数学二、世纪之交的法国数学领袖庞加莱三、光辉的一页希尔伯特的23个数学问题四、积分学的革命勒贝格和他的积分论五、逻辑主义、直觉主义、形式主义：数学哲学大论战六、爱因斯坦相对论和黎曼几何量子力学七、英国分析学派八、传奇的印度数学家拉马努金九、数理统计的形成十、代数、拓扑、泛函：新的数学支柱学科,第二章 格丁根学派的黄金时期（1918-1933）,十一、苏联数学学派的形成十二、波兰学派的崛起十三、格丁根学派的兴衰十四、总揽全局的大家外尔十五、才冠群雄的女数学家艾米诺特十六、年轻人的事业：布尔巴基学派的成长十七、拓扑学
2、的发展，从欧洲到美国十八、代数几何：意大利学派，扎里斯基十九、远东的数学：中国和日本,第五章、1980年代以来的一些数学人物和事件（1980-2000）,46、数学问题和数学猜想47、人类智慧的象征：证明费马达定理,第一章 现代数学的开始（1900-1918）一、19世纪末年的世界数学,17世纪的英国资产阶级革命，把查理一世国王送上断头台，牛顿（1642-1727）的微积分思想随即诞生在英伦三岛上。资本主义生产方式带来了18世纪法国大革命，数学的中心也移到了法国。拉格朗日（1749-1827）、拉普拉斯（1749-1827）、勒让德（1752-1833）、蒙日（1746-1818）都是一代数学
3、权威。1794年诞生的法国综合技术学校，成为19世纪初的世界数学中心。傅立叶（1768-1830）的调和分析，柯西（1789-1857）的分析学是其中的代表。他们的影响一直持续到今天。进入19世纪中叶，德国的德丁根大学崛起，数学王子高斯（1777-1855）称雄世界。只活了40岁的黎曼（1826-1866）为人类留下了无数的数学珍品。法国、德国在数学上争雄的局面贯穿了整个19世纪。清代学者有“江山代有人才出，各领风骚数百年”的诗句。在近代数学史上，领先数百年是不可能的，夺取几十年的霸主地位已经很不容易了。人们经常提到19世纪上半叶的数学思想革命。伽罗瓦（1811-1832）的群论，罗巴切夫斯基
4、（1792-1856）的非欧几何学，柯西的复变函数论，为人们打开了全新的天地。如果说在此以前的数学还或多或少依赖于物理学和工程学，那么这时的数学已经完全独立出来，数学的研究对象更加抽象化了，数学的意境充满了文化创造精神。继复数获得广泛承认之后，1853年哈密顿（1805-1865）发现四元数。“数学是人类思想的自由创造”的观念开始传播，纯粹数学和应用数学的分野逐渐显露。,另一方面，数学在认识世界的征程中不断取得伟大成就。1846年，英国的亚当斯（1819-1892）和法国的乐威耶（1811-1877）分别独立地用数学方法计算出海王星的轨道，预测了这颗行星的发现。高斯在大地测量中发展了微分几何学
5、。傅立叶分析推动了热力学以及震动理论。更重要的是英国强大的应用数学传统继续大放异彩。哈密顿的最小作用原理给力学以新的面貌，而麦克斯韦（1831-1879）于1864年发表的电磁学方程，更是人类运用数学研究自然归律的又一里程碑。进入19世纪后期，德国的国家实力陡增。在1870-1871年的普（德）法战争中，巴黎陷落，拿破仑三世被俘。在数学上，德国提出了明确的目标，要谋求世界领先地位。执行这一使命的是克莱因（1849-1925）。克莱因出身于德国中产阶级家庭，1865年进入波恩大学，受到著名学者普吕克（1801-1869）的影响，开始研究几何学。1869年来到格丁根大学工作，并周游欧洲诸国。187
6、2年，到埃尔朗根大学就任正教授，并在大学评议会上发表新近几何学研究的比较考察的演讲，用运动群下的不变量来对几何学进行分类，这就是著名的埃尔朗根纲领。这一几何学上划时代的工作，在此后的50年内一直处于几何研究的中心地位。,1886年春，克莱因就任格丁根大学教授。虽然继续从事数学研究，但更多进行行政组织、数学教育、国际交流等方面的活动。他的目标是把格丁根大学建成世界第一流的数学中心。10年之后，努力开始成功。1895年初，大数学家希尔伯特（1862-1943）来到格丁根，克莱因本人则被授予枢密顾问官职务，格丁根大学的学术地位陡然升高。1902年，闵克夫斯基（1864-1909）也来到这里，这三驾马
7、车，终于把格丁根大学建成20世纪初期的世界数学中心。其中，克莱因是当然的领袖。克莱因晚年关注应用数学和数学教育，开创了世界第一流数学家关心中小学数学教育改革的先例，影响深远。19世纪后期，除了学术地位不断上升的格丁根大学之外，柏林大学是当然的数学中心。先是狄利克雷（1805-1859）在该校工作了27年，赢得了很高的数学声誉。1854年，他去格丁格大学接替去世的高斯。柏林大学的数学教席，则由库默尔（1810-18930)、魏尔斯特拉斯（1815-1897）和克罗内克（1823-1891）三位名家先后承担。库摩尔长期担任柏林大学的校长，以“理想数”的工作成为现代代数数论的先躯。克罗内克在代数学、
8、数论、椭圆函数论方面成就卓著，并有非常广泛的社会和学术联系，被称为德国数学的无冕之王。不过，对后世影响更大的是魏尔斯特拉斯。,魏尔斯特拉斯出身于一个政府官员家庭，父亲叫他到波恩大学攻读法学博士学位。由于不喜欢，他未毕业就离开了。后来在一所神学哲学院读数学，通过中学教师资格的考试以后，曾任中学教师达15年之久，期间他发表椭圆函数论的重要文章，被破格授予哥尼斯堡大学名誉博士学位。1856年到柏林皇家综合工科学校任数学教授，次年到柏林大学任副教授，1864年升任教授。1873年出任柏林大学校长，成为左右德国数学界的一位领袖人物。这种声誉，不仅因为他是校长、教授、许多论文的作者，更主要的是他的学术风格
9、。魏尔斯特拉斯是19世纪末分析严格化进程的代表人物，反映了那个时代和20世纪整个数学严谨性的潮流。他首先给出了严密的实数理论，第一个明确使用-语言，引进有界集、无界集、集的内点、外点、极限点、连通性等概念，特别是运用一致收敛的概念得出极限交换的定理。这一切，对今天的数学系大学生而言，似乎是理所当然的事。-语言的精髓已经渗入现代数学的每一根血管，牵动每一根神经。追根溯源，魏尔斯特拉斯做出了高于一切的贡献。希尔伯特认为：“魏尔斯特拉斯以其酷爱批判的精神和深邃的洞察力，为数学分析建立了坚实的基础。通过澄清极小、极大、函数、导数等概念，他排除了在微积分中仍然在出现的各种错误提法，扫清了关于无穷大、无穷
10、小等的各种混乱观念，决定性地克服了源于无穷大、无穷小朦胧思想的困难今天，分析学能达到这样的和谐、可靠和完美的程度本质上应归功于魏尔斯特拉斯的科学活动。”另一位为数学分析严密化作出重要贡献的德国数学家是戴德金（1831-1916）。他以有理数的“分割”定义实数，对实数的连续性给出了严密而直观的叙述。同时，戴德金也奠定了的代数数论的系统理论。不过，戴德金只是不伦瑞克大学的一名教授，在社会影响上自然不及魏尔斯特拉斯了。,魏尔斯特拉斯出身于一个政府官员家庭，父亲叫他到波恩大学攻读法学博士学位。由于不喜欢，他未毕业就离开了。后来在一所神学哲学院读数学，通过中学教师资格的考试以后，曾任中学教师达15年之久
11、，期间他发表椭圆函数论的重要文章，被破格授予哥尼斯堡大学名誉博士学位。1856年到柏林皇家综合工科学校任数学教授，次年到柏林大学任副教授，1864年升任教授。1873年出任柏林大学校长，成为左右德国数学界的一位领袖人物。这种声誉，不仅因为他是校长、教授、许多论文的作者，更主要的是他的学术风格。魏尔斯特拉斯是19世纪末分析严格化进程的代表人物，反映了那个时代和20世纪整个数学严谨性的潮流。他首先给出了严密的实数理论，第一个明确使用-语言，引进有界集、无界集、集的内点、外点、极限点、连通性等概念，特别是运用一致收敛的概念得出极限交换的定理。这一切，对今天的数学系大学生而言，似乎是理所当然的事。-语
12、言的精髓已经渗入现代数学的每一根血管，牵动每一根神经。追根溯源，魏尔斯特拉斯做出了高于一切的贡献。希尔伯特认为：“魏尔斯特拉斯以其酷爱批判的精神和深邃的洞察力，为数学分析建立了坚实的基础。通过澄清极小、极大、函数、导数等概念，他排除了在微积分中仍然在出现的各种错误提法，扫清了关于无穷大、无穷小等的各种混乱观念，决定性地克服了源于无穷大、无穷小朦胧思想的困难今天，分析学能达到这样的和谐、可靠和完美的程度本质上应归功于魏尔斯特拉斯的科学活动。”另一位为数学分析严密化作出重要贡献的德国数学家是戴德金（1831-1916）。他以有理数的“分割”定义实数，对实数的连续性给出了严密而直观的叙述。同时，戴德
13、金也奠定了的代数数论的系统理论。不过，戴德金只是不伦瑞克大学的一名教授，在社会影响上自然不及魏尔斯特拉斯了。,1926年，希尔伯特称赞康托尔的超限数理论是“数学精神最令人惊羡的花朵，人类理智活动最精美的成果”。苏联的柯尔莫哥洛夫（1903-1987）则说：“康托尔的不朽功绩，在他敢于向无穷大冒险挺进，他对似是而非的论点、流行的成见、哲学的教条等作了长期的不懈的斗争。因此，他成为一门学科的创造者，而这门学科已成为整个数学的基础。”在德国学派影响之下，挪威数学家索福斯李（1842-1899）创立了李群和李代数理论。20世纪，几乎所有的数学学科都和李群发生联系。李曾在莱比锡大学任教授，对欧洲各国的数
14、学产生了很大的影响。自牛顿以来，英国数学一向偏重应用，19世纪仍然保持这一传统。但在19世纪的下半叶，纯粹数学出现了两颗明珠：西尔维斯特（1814-1897）和凯莱（1821-1895）。他们两人都是攻读数学出身，于19世纪50年代进入法学界，担任过多年的律师，并因志趣相投成为终身好友。此后又双双回到数学研究，共同发展代数不变量理论，特别是线性代数中的行列式和矩阵理论，这些工作在20世纪变得十分重要而普及。包括哈密顿在内的四元素工作在内，他们在代数上的贡献，形成了英国纯粹数学的一次高潮。值得一提的是西尔维斯特是美国纯粹数学的奠基人之一，他在美国约翰霍普金斯大学任教授多年，创办了美国第一份数学杂
15、志：美国数学杂志。凯莱也曾到该校讲学。19世纪的俄国，开始有了自己的数学研究。罗巴切夫斯基的工作自然引起国际瞩目，切比雪夫（1821-1894）在概率论上的研究也别开生面，但在整体实力上无法和西欧各国相比。至于东方的印度、日本和中国，数学水平落后于西方大约200年，现代数学研究则是20世纪的事了。19世纪下半叶，能和德国数学抗衡的只有以庞加莱为代表的法国数学。,二、世纪之交的法国数学领袖庞加莱,19世纪前期的法国，柯西是无可争辩的数学领袖。1857年柯西去世后，世界数学中心渐渐向德国转移。数学天平逐渐向德国倾斜是和19世纪末的德国社会经济发展相关的。然而，在世纪之交，世界数学界仍然是法德争雄的
16、格局。法国数学仍然有许多骄人的成绩，埃尔米特（1822-1901）、若二档（1838-1922）以及达布（1842-1917）等是主要的代表人物。待到庞加莱（1854-1912）出现在法国数坛，就很快成为世界性的领袖人物。巴黎高等师范学校和巴黎综合工科学校仍然是世界数学家的摇篮。埃尔米特毕业于巴黎综合工科学校，1862年进入该校任讲师，1867年升任教授。他的早年工作涉及椭圆弧数论，以后的著名工作是一证明了e的超越性，这使他享有分析学家的声誉，但就他对后世的影响而言，还是关于复二次型的工作最为重要。在物理学、几何学、算子理论中，埃尔米特成为复共轭、复对称的代名词。若尔当也是巴黎综合工科学校的学
17、生，一直以工程师的身份做数学研究，同时在巴黎综合工科学校和法兰西学院任教。1881年成为法兰西科学院院士。他作为代数学家，首先关注伽罗瓦的群伦，成为第一个在伽罗瓦基础上做系统研究的数学家，也是使伽罗瓦理论通俗化的先驱。他在群和群表示理论上的开创性工作，是日后代数发展的起点。1870年，克莱因和索福斯李一起来到巴黎，和若尔当一起研究三位空间中所有运动群的确定，显然这是连续群研究的先声。今天，若尔当的名字更多地和分析学中的若尔当曲线、矩阵轮中的若尔当标准型、积分论中的若尔当容量联系在一起。,达布则是在巴黎综合工科学校完成学业，并在该校任教的数学家。他的主要工作领域是微分几何。他详细研究曲面理论、曲
18、线坐标、曲线和曲面的变形等基本问题。他所著的曲面通论教程是一部研究力学、变分法、偏微分方程、极值原理等学科的工具书，他对这些学科之间的内部联系有着非常深入而透彻的理解，成为一时的经典。同样，达布的影响不限于几何。他在积分理论中研究黎曼可积的充要条件，给出的现在称为上和、下和、上积分、下积分、达布和等概念，已经成为一种经典的理论。综合以上介绍，我们可以感觉到19世纪末期法国数学的气息：更着重于经典问题的深入刻画，注意几何、分析上的严密化，解决一些悬而未决的问题。相对于德国学派的工作，如克莱因的埃尔朗根纲领、康托尔的集合论、索福斯李的连续群论、库墨尔的代数数论等新方向、新思想的开拓，法国数学的发展
19、似乎过分拘谨了。但是庞加莱的出现，使法国数学出现了新的转机。庞加莱诞生于法国的南锡（这是法国科学精英的荟萃之地），家族显赫。父亲是一位生理学家，叔父是国家官员。堂弟雷蒙庞加莱曾出任总理兼外交部长，1913-1920年间，是法兰西第三共和国的第九任总统。庞加莱15岁进入巴黎综合工科学校，打算做一名工程师，但有空就研究数学。1878年，他向法兰西科学院提交微分方程一般解的理论，次年即获得科学博士学位。1880年，庞加莱成为巴黎大学教授，讲解力学和实验物理课程。此后的几十年，他一直在巴黎度过。庞加莱一身写了约500篇论文和30部著作，这还不包括他所写的畅销科普作品和哲学名著。由于他的杰出成就，庞加莱
20、几乎赢得了法国政府所能给予科学家的一切荣誉。33岁那年，他成为法兰西科学院院士，1906年任法兰西科学院院长，1908年，当选为法兰西语文学院院士。由于他的通俗文章的文笔非常优美，甚至获得了法国作家中的最高荣誉法国文学会会员。,数学史家评论说，庞加莱是一位科学的征服者，而不是殖民者。确实，他从不在自己开拓的领域内长期停留，而是继续大踏步前进，去征服更新的科学领域。以下是一张由庞加莱开创的新领域的清单：1、自守函数论。自守函数是通常三角函数、椭圆函数的推广。它的引入，使得微分方程、代数几何、代数数论找到了新的立足点。2、整函数的“亏数”理论。他第一个研究整函数的“亏数”和函数值增长的关系，为以后
21、的整函数和亚函数理论打开了道路。3、有理数域上的代数几何学。1901年的一篇论文开创了代数方程有理数解的研究，成为代数数论的一项原发性工作。4、微分方程的定性理论。这门崭新学科研究微分方程解在奇点附近的性态，根据极限环的情况可以判断解的稳定性。5、动力系统理论。开创动力系统理论研究，完成了现在称为“庞加莱回归定理”的工作。6、三体问题。在三体中两个物体的质量比另一个小得多的情况下，得到三体问题的周期解。引进渐进展开的方法，得出严格的天体力学计算方法。7、组合拓扑学，即“位置分析”。庞加莱引入流形的三角剖分，单纯形、复合形、关联系数矩阵等一系列新工具，以及贝蒂数、挠系数、同调群等一系列新概念，证
22、明了流形的同调对偶定理。这是同调论的开端。此外，又定义流形的同伦群、现称为庞加莱群。在20世纪获得长足发展的代数拓扑学完全是按照庞加莱的思想发展的。8、对狭义相对论的发展有独到见解。,除了这些开拓新领域的工作外，庞加莱还有许多原创性的成果，如对复变函数论、李群、李代数、狄利克雷问题、拉普拉斯算子特征值问题等的研究都有关键性的推进。庞加莱的远见是令人钦佩的。他能够理解索福斯李的工作，并投入很高的研究热情。1899年用新的方法证明了索福斯李的第三基本定理，引入李代数的包络代数概念。此外庞加莱也是最先认识埃里嘉当（1869-1951）工作重要性的人。在世纪之交时，拓扑学、李群、李代数以及嘉当的几何工
23、作还是冷门，少人问津，更为大多数以研究函数论等传统分析为主的法国数学家所轻视。但是，进入20世纪之后，这些学科都大放异彩，成为数学发展的核心部分。庞加莱还有一批重要的哲学著作，如科学与假设（1902）、科学的价值（1905）、科学与方法（1909）。他是约定主义的代表人物，认为科学公理是为了人们的表述方便而共同约定的。约定可以选择，但要有实验事实为依据你，避免出现矛盾。在数学基础上持直觉主义观点，反对罗素的逻辑主义、希尔伯特的形式主义，不承认实无限，只认可潜无限。庞加莱主要是一个数学家，但或许在物理学和哲学上的工作更为一般人所知。关于他的哲学思想，曾说他是“一位伟大的物理学家，渺小的哲学家”。
24、尽管庞加莱获得了最高的学术荣誉，也受到科学界的高度赞扬，但是一些传统的数学家并不完全支持他。分形几何的创始人芒德布罗在1994年的一篇文章中引用别人的信件评价庞加莱不修饰证明和不发表严格的证明。作为直觉主义者的庞加莱，在发布论著时也许没有达到当时某些数学家所要求的严密性，但是，历史证明庞加莱是对的。如果为了追求不十分必要的严密性，而把重要的拓扑思想丢弃，那对数学的进展将是多大的损失！,三、光辉的一页希尔伯特的23个数学问题,巴黎圣母院的钟声迎来了20世纪。1900年，人们都把眼光放在未来：无产阶级正在组织沸腾的革命，科学家憧憬着惊人的突破，艺术家在追逐时代的潮流。这一年的8月6日，国际数学家代
25、表大会在巴黎召开。年方38岁的德国数学家大卫希尔伯特（1862-1943）走上讲台，向到会者，也向国际数学家大会提出23个数学问题，这就是著名的希尔伯特演说。这一演说，成为数学史上重要的里程碑，为20世纪的数学发展揭开了光辉的一页。科学发展的每一个时代都有自己的问题。希尔伯特站在当时数学发展的最前沿，高瞻远瞩地用23个数学问题，预示20世纪数学发展的进程。现在，时光已经过去了一百年，着23个问题约有一半已获得解决。百年来，人们把解决希尔伯特问题，哪怕是其中一部分，都看成是至高无上的荣誉。据统计，从1936年到1974年，被誉为数学诺贝尔奖的菲尔兹国际数学奖的20名获奖人中，至少有12人的工作于
26、希尔伯特问题有关。1976年美国数学会组织评论1940年以来的美国十大数学成就，就有三项是希尔伯特问题（1）、（5）、（10）等三个问题的解决。重要的问题历来是推动科学前进的杠杆之一，但一位科学家如此自觉、如此集中地提出一整批问题，并且如此持久地影响一门学科的发展，在科学史上确是罕见的。希尔伯特1862年出生于德国的歌尼斯堡（现为俄罗斯的加里宁格勒）。1884年获得歌尼斯堡大学博士学位。1895年担任著名的格丁根大学教授，直到1943年去世。他最初的研究领域是代数不变量和代数数论。1900年前后致力于数学基础元数学。后来又转到分析方面，在积分方程、变分法、泛函分析、理论物理等许多领域作出了杰出
27、贡献。,希尔伯特1900年发表的重要演说，曾做过仔细的准备。1899年，第二届国际数学会议的筹备机构邀请希尔伯特在会上作主要发言。希尔伯特接受了邀请，并计划在这世纪交替之际作一个相称的发言。当时他有两个想法：或者作一个为纯粹数学辩护的演讲，或者讨论一下新世纪发展的方向。经过一番斟酌，希尔伯特决意选择第二个想法，提出一批急需解决的重大数学问题。希尔伯特指出，历史上通过提出问题会导致整门新学科的诞生。他举了三个典型例子。第一，伯努利最速降落线问题是现代数学分支变分法的起源。第二，费马问题，它看上去“非常特殊，似乎不十分重要”，却大大推动了代数数论的进展，现代代数数论中的核心概念“理想数”正是为了解
28、决费马问题提出的。第三，三体问题，它对现代天体力学起到了关键性作用。这三个问题，既有纯粹从数学本身提出的，也有从基本自然现象提出的。希尔伯特提出的问题后来也确实形成了许多新的数学分支，达到了预期目的。对希尔伯特来说，在国际数学家会议上报告自己的成果，远比提出新问题要容易得多。当时，希尔伯特正当科学创造活动的盛年，业已作出了许多世所公认的成绩。人们本来以为他会拿出优异的数学论文来回答国际数学界，却没有想到他竟会选择如此困难的题目来作演讲。如果从1899年底开始考虑选题算起，希尔伯特为了提出这23个题目整整花了8个月的时间。,希尔伯特的演说获得了极大的成功。各国的数学杂志纷纷转载了他的演说稿，大批
29、数学家投入到解决希尔伯特问题的激流中去。问题（3）当年就被希尔伯特的学生德恩（1878-1952）所解决。迄今为止，已完满解决的希尔伯特问题约占一半，有几个问题比较笼统，难以判定解决与否，大约还有三分之一的问题悬而未决，有的有了部分进展，有的则差得很远。1975年，在美国的伊利诺斯大学召开了一次国际数学会议，邀请世界著名数学家参加，专门研究希尔伯特问题的进展。会后出版的论文集详细地介绍了各个问题的进展。大数学家外尔（1885-1955）在悼念希尔伯特时说过：“希尔伯特就像穿杂色衣服的风笛手，他那甜蜜的笛声诱惑了如此众多的老鼠，跟着他跳进了数学的深河。”对有志于此的人们来说，这23个问题正是这样
30、一种甜蜜的笛声，我们至今似乎仍然能够听到他的召唤。值得高兴的是，中国数学家在问题（8）和问题（16）上曾经作出过一些贡献。附：希尔伯特的23个问题解决情况（1）康托尔的连续统基数问题 1874年，康托尔猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。1938年，侨居美国的奥地利数学家哥德尔（1906-1978）证明连续统假设和 ZF 集合公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科恩（1934-）证明连续统假设和 ZF 公理是彼此独立的。因此，连续统假设不能用世所公认的ZF 公理证明其对错。希尔伯特问题（1）在这一意义上已获解决。,（2）算术公理的无矛盾性 欧式几何的无矛盾性
31、可归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。哥德尔在1931年发表不完备性定理加以否定。1936年根芩（1909-1945）在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的无矛盾性。（3）两个等地等高四面体的相等问题 问题的意思是：存在两个等地等高四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此相等。德恩证明确实存在着这样的两个四面体。（4）两点间以直线为距离最短线问题 此问题提得过于一般。1973年，苏联数学家波格列洛夫（1919-）在对称距离情况下给出一种解决此限制的条件。1973年波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。（5）一个连续变换群的李
32、氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的 这一问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是李群？经过冯诺伊曼（1903-1957，紧群情形，1933）、庞特里亚金（1908-1988，交换群情形，1939）、谢瓦莱（1909-1984，可解群情形，1941）的努力，1952年，由格利森（1921-）、蒙哥马利（1909-1992）、齐平（1905-）共同解决，得到了完全肯定的结果。（6）物理学的公理化 希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理。首先在概率论和力学上取得成功。1933年，苏联数学家克尔莫格洛夫将概率论公理化。后来在量子力学、量子场论方面取得了很大的成功。但是物理学是否
33、能全盘公理化，很多人表示怀疑。,（7）某些数的超越性 问题要求证明：如果是代数数，是无理数的代数数，那么 一定是超越数或至少是无理数。1934年，苏联数学家盖尔丰德（1906-1968）证明这是对的。1935年，德国数学家施奈德（1911-）也独立解决了这一问题。（8）素数问题 素数是一个古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼猜想、哥德巴赫猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未能解决。哥德巴赫猜想亦未最终解决，中国陈景润（1933-1966）取得领先地位。目前孪生素数的最佳结果也属于陈景润。（9）在任意数域中证明最一般的互反律 该问题已由德国数学家阿廷（1898-1962）基本解决（1927），但
34、至今仍然在继续发展类域理论。（10）丢潘图（古希腊数学家）方程的可解性 求出一个整数系数方程的整数根，称为丢潘图方程可解。希尔伯特问，是否有一种有限步构成的一般算法判断一个丢潘图方程的可解性？1959年，美国数学家戴维斯（1928-）、普特南（1924-）、鲁宾孙（1919-1985）等取得关键性突破，1970年，苏联的马蒂塞维奇最终证明，本问题的答案是否定的，尽管结果是否定的，却由此产生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学有密切联系。（12）任意代数数系数的二次型 德国人哈塞（1898-1979）和西格尔（1896-1981）在1920年代获重要成果。1960年代，法国的韦伊（19
35、06-1998）取得了新进展。将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去，这个问题影响很广，影响到类域论、群的上同调方法、L级数以及将二次互反律推广到非交换情形的“朗兰兹计划”。无数数学家正为此奋斗。,（13）用两变量函数解一般七次方程的不可能性 七次方程 的根依赖于3个参数 这一函数能否用两量变函数表示出来？这一问题已接近解决。苏联数学家阿诺尔德（1937-）解决了连续函数的情形（1957）。1964年维图什金（1931-）又推广到连续可微函数情形。如果要求解析函数，则问题尚未解决。（14）某些完备函数系的有限性的证明 这和代数不变量问题有关。日本数学家用田雅宜（1927-）给出了
36、漂亮的反例（1959）。（15）舒伯特计数演算的严格基础 一个典型问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特（1848-1911）给出了一个直观解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学有密切联系。（16）代数曲线和代数曲面的拓扑问题 这个问题分为两部分。前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部分要讨论 的极限环的最大个数和相对位置，其中 X，Y 是x,y 的n 次多项式。苏联的彼得罗夫斯基（1901-1973）院士曾证明n=2时极限环的个数不超过3。1979年，中国的史松龄以及王明淑（1931-198
37、4）分别举出有四个极限环的反例。,（17）半正定形式的平方和表示 一个实系数n元多项式对一切数组 都恒大于或等于零，这些多项式是否都能写成平方和的形式？1927年，E.阿廷证明这是对的。（18）用全等多面体构造空间 德国数学家比伯巴赫（1866-1982）（1910）、莱因哈特（1928）作出部分解决。（19）正则变分问题的解是否一定解析 伯恩斯坦（！880-1928）和彼得罗夫斯基等得出了一些结果，接近解决。（20）一般边值问题 这一问题的进展十分迅速，已成为一个很大的数学分支，目前还在继续研究。（21）具有指定单值群的线性微分方程解的存在性证明 已由希尔伯特本人（1905）和勒尔（1927
38、-1957）、得利涅（1944-）（1970）等人解决。（22）由自守函数构成的解析函数的单值化 它涉及艰深的黎曼曲面论，1907年克贝（1882-1945）在单变量情形获重要突破，复变量情形尚未解决。（23）变分法的进一步发展 这不是一个明确的数学问题，只是谈了对变分法的看法。20世纪变分法有了长足发展。,从上面的简单介绍不难看出，希尔伯特提出的问题是相当艰深的，一般人简直连 题目都看不懂。正因为艰深，才吸引有志之士去作巨大努力。但它又不是不可接近的，因而提供了使人们终有所获的科学猎场。百年来，人们始终注视着希尔伯特问题的研究，绝不是偶然的。当然，预测不可能全部符合未来的发展。20世纪数学发
39、展的广度和深度都远远超出世纪之初的预料，像代数拓扑、抽象代数、泛函分析、多复变量函数等许多理论学科都未列入这23个问题，更不要说与应用有关的应用数学以及计算机出现发展起来的计算数学和计算机科学了。,四、积分学的革命勒贝格和他的积分论,微积分从它诞生的那天起，就专门处理光滑曲线和可导函数。通常所接触的初等函数，在其定义域内都可导，而且无限次可导。到了复变函数论，更考虑解析函数，而且能展开成由各阶导数组成的泰勒级数。就实用面的而言，假设一个函数可导是毫不过分的，至于不可导函数，似乎并无研究的必要。可是，数学作为一种意识形态，一旦从实际问题中抽象出来，便具有相对独立性。理论上的需要，逻辑上的完整的原
40、则，迫使数学家们去考虑一种病态函数。1872年7月18日，长期任中学体育教师的德国大数学家威尔斯特拉斯在柏林科学院的一次演讲中，给出了一个处处连续、但处处不可导的函数：在人们的直观想象中，连续曲线总是有切线的（除了有限个点以外）。威尔斯特拉斯构造的病态函数使人大吃一惊。1875年，法国数学家达布证明，不连续函数也可以求定积分，而且不连续的点可以有无限多个，只要它们包含在长度可以任意小的有限个区间之内就行。这又是一大类怪函数。狄利克雷在研究三角级数时，又举出了在无理点上取值0、有理点上取值1的极端病态函数，它是黎曼意义下不可积函数最简单的代表。这些病态函数的出现，破坏了18世纪古典数学的优美，人
41、们究竟该如何对待？一种批评意见很快出来了，“这是一种病态的不健康的函数”，“它是无秩序和混乱的标志”，“一种学究式的数学游戏”。用现代的语言来说就是“脱离实际的空洞的抽象理论”。其中大数学家庞加莱尤其怀疑这种新理论。但是真理并不因为权威而变得停滞不前。就在庞加莱的祖国法兰西，一位二十多岁的青年勒贝格（1875-1941），不声不响地研究各种病态函数，终于导致了一场积分的革命。,勒贝格出生于法国东北部的博伟，他在那里读中学。1894-1897年进入著名的法国巴黎高等师范学校攻读数学，受到波莱尔（1871-1956）数学数学熏陶。毕业后回到南锡，在一所公立中学教书。这时他潜心研究三角级数以及测度和
42、积分。1902年，勒贝格发表积分，长度与面积一文，第一次系统阐述他关于测度和积分的思想。同年，他在索尔本巴黎大学理学院通过博士学位。使勒贝格成名的两本专著是：论三角级数（1903）和关于积分法和原函数研究的讲义（1904）。积分革命首先从长度概念的扩充入手。众所周知，函数的定积分从分割区间为有限个子区间开始，然后将子区间的长度乘以该子区间内的某点函数值并作和。当分点加密，子区间长度趋于零时，积分和的极限就是定积分。波莱尔在19世纪就考虑：区间有长度，其他点集是否也可以有长度？直线上的开集可以表示为一列开区间之和，就以这列区间长度之和为该开集的“测度”，开集关于某区间的余集是闭集，于是闭集的测度
43、定义为区间长度减去开集测度。直线上任意一个点集E，若用开集G包起来，则认为E的测度小于的测度。这种外包的开集可以有很多，它们的测度的下确界叫做Z的外侧度。同样，用闭集F从内部填，把所有可以填进去的闭集的测度的上确界叫做的内测度。一个集合的内测度和外侧度相等，称Z有测度。这样以来，直线上一列点的测度是0，因为外包的一列区间长之和可以任意小，这只要考虑用长为 的一列区间去包，而它的长度是 由这一结论，立刻可得中的有理数全体构成的点集有测度0.,这套思想，即所谓确定面积的内填外包法，本来导源于直观的数方格子的方法，波莱尔用以确定点集的容量。勒贝格将这套想法更加一般化，构造了一种可列可加测度，使人耳目
44、一新。接着，勒贝格定义一种积分，把f(x)定义的区间 a,b分为若干个勒贝格可测集，然后同样作积分和，原来分子区间时的积分和如果不收敛，现在用分可测集的方法就可能收敛，于是按黎曼意义不可积的函数，按勒贝格意义却变得可积了，这当然是一个巨大的突破。勒贝格积分一出现就用来研究三角级数，很容易地得到了许多重要定理，改进了到那时为止的函数可展为三角级数的不充分必要条件。紧接着导数概念也得到推广，微积分中的牛顿-莱布尼兹公式也得到相应的新结论。一门微积分的延续学科实变函数论在勒贝格手中诞生了。勒贝格一开始并未得到人们的一致赞成，反对病态函数的人到处都有。当时批评病态函数最严厉的是法国数学家艾尔米特。到2
45、0世纪30年代，勒贝格积分已经成熟，并已经在概率论、谱理论、泛函空间等方面获得广泛应用。时至今日，连工程师都不得不接触这些病态函数，谈论抽象积分了。历史是一面镜子，病态函数当年曾被认为脱离实际，是“令人厌恶”的东西，日后却成为研究概率论的犀利工具。科学体系中内部矛盾所提出的理论问题，有时会成为这门学科的生长点。,五、逻辑主义、直觉主义、形式主义：数学哲学大论战,牛顿和莱布尼兹（1646-1716）创立微积分，把无限带进了数学。牛顿在微分学中把增量 看做无穷小，时而引进来，时而忽略不计，可谓“呼之即来，挥之即去”。于是贝克莱大主教称为“逝去量的鬼魂”，马克思评论略去高级无穷小 是“暴力镇压”。唯
46、心主义者和革命导师的批评都说明，微积分确实“不严格”。这一严格性的问题在19世纪末已经解决。柯西建立了严格的极限理论，引进 定义。戴德金、康托尔等又将实数理论严密化化，分析学有了可靠的基础和完整的体系。因此，庞加莱在1900年的国际会议上宣布：“现在我们可以说，完全的严格性已经达到了。”三年后，英国的罗素（1872-1970）于1902年提出了一个集合论上的悖论。这一悖论是如此清晰，数学家几乎没有驳倒的余地。正当康托尔创立的集合论开始为大家接受的时候，突然宣布集合论本身是自相矛盾的。一盆冷水浇下来，使数学家们目瞪口呆。数理逻辑学的前驱弗雷格（1848-1925）在他的论数学基础第二卷的书后写到
47、：“对一个科学家来说，没有一件事比下列事实更令人扫兴：当他工作刚刚完成的时候，突然他的一块奠基石崩塌下来。当本书的印刷快要完成时，先生给我的一封信使我陷于这样的境地。”,那么这颗重磅炮弹罗素悖论究竟怎样说的？试把集合分成两类：自己为自己元素者作为甲类（例如由图书馆构成的集合M仍然是图书馆，即），自己不是自己的元素的集合作为乙类（例如由人组成的集合N不是人，N不是N的元素）。用符号表示就是M 甲类意味着，M 乙类意味着。这样，一个集合M，要么M 甲，要么M 乙，二者必居其一且仅居其一。罗素问：乙类集合的全体也是一个集合，它属于哪一类？请看：若乙 甲，则依甲的定义应有乙 乙，这和乙 甲矛盾，不可能
48、；若乙 乙，则依甲的定义应有乙 甲，又产生矛盾。总之，陷于左右为难自相矛盾的尴尬境地。罗素震撼了数学界。号称天衣无缝、绝对正确的数学居然会出现自相矛盾，正如晴朗的天空出现了一片乌云，眼看着倾盆大雨就要来临。无独有偶，1900年的国际物理学大会上，大物理学家开尔文勋爵（1824-1907）宣称，牛顿力学和麦克斯韦的电磁学方程已经把物理学问题全部解决了。其口气与庞加莱如出一辙。然而，他也注意到迈克尔孙（1852-1931）和莫雷（1838-1923）的光速不变实验和黑体辐射现象使观点物理学处于不能自圆其说的境地。这两片乌云给物理学带来了一场暴风骤雨。等到雨过天晴，人们发现：爱因斯坦（1879-19
49、55）创立的相对论代替了牛顿力学。短短几年，物理学面目全非。罗素悖论使数学家感到“不安全”，于是努力设法消除这个怪物。逻辑主义、直觉主义、形式主义因而相继出现，一场大论战把数学推向一个新阶段。提起悖论，我们并不陌生。古希腊一个克里特岛上的人X说“我说的这句话是谎话”。这句话不能真，因为如果是真话，则X在说谎，从而这句话是假话。同时这句话也不能假，如果是假话，则不说谎，又得这句话真。横竖都不对。,中国古时民间故事也有类似的悖论。一位讼师收学徒，言明学成后打赢一场官司交一两银子，打输一场就可不交。后来弟子满师打赢官司一直不交钱。老讼师气极了，告到县里，和这位弟子打官司。这个弟子不慌不忙对讼师说：“
50、这场官司赢了当然不给你银子，反正我横竖不交钱。”一句话把老讼师气死了。这种语义悖论可以通过分析事理来加以判断真伪，或者所说的话无意义，或者所定协议不合理等等，因而可把悖论避开。然而罗素悖论都是从康托尔集合论的原理“严格”构造出来，这就不能不认真对待了。人们从罗素悖论回溯，原来“集合的集合”这句话不能随便说，“一切集合所成之集”、“一切序数所成之集”早在1894、1895年已被发现可以引起悖论，不过那时人们不大在意。进入20世纪，人们看到这一矛盾的解决和对整个数学的看法有关。哪些概念不准确，哪些提法不严格，哪些推理不能用，都得一一加以检查。而由于哲学观点不同，就产生了几大派系。,逻辑主义学派的代
