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1、圓錐曲線的切線與光學性質,割線 L,P,Q,切線,P,Q,割線 L,圓錐曲線與直線關係,1.切線與割線的意義：,(1)當直線 L 與曲線 交於 P、Q 兩相異點時，,L 就不再是割線，此時稱直線 L 為曲線 的切線，P 為切點。,割線 L 繞 P 點旋轉，當 Q 點一旦與 P 點重合，,(2)固定 P 點，當 Q 點在曲線 上移動逼近 P 點時，,此時稱 L 為 的一條割線。,本段結束,2.圓錐曲線與直線關係的判別：,已知圓錐曲線的方程式為 f(x,y)=0 及一直線 L：ax+by+c=0，,(3)當 D0 時，圓錐曲線與直線 L 沒有交點。,(2)當 D=0 時，圓錐曲線與直線 L 相切於
2、一點(L 為切線)。,(1)當 D0 時，圓錐曲線與直線 L 相交於相異兩點(L 為割線)。,可得 x 的一元二次方程式 px2+qx+r=0，令其判別式 D=q24pr，,解聯立方程組,則：,本段結束,P,橢圓的切線,P,拋物線的切線,P,雙曲線的切線,3.圓錐曲線的切線：,(1)當直線與橢圓相交於一點時，,(2)當直線與拋物線相交於一點時，若此直線不與軸平行，,則此直線必為切線，此時，拋物線落在直線的同一側。,(3)當直線與雙曲線相交於一點時，若此直線不與漸近線平行，,則此直線必為切線，此時，雙曲線的兩支分別落在直線的兩側。,此直線必為切線。,To be continued,P,與拋物線軸
3、平行的直線,軸,L,P,與雙曲線之漸近線平行的直線,漸近線,L,注意：交於一點(如下圖所示),(切線 有重根 判別式 D=0),不一定為切線。,切線 交於一點。,本段結束,切線的性質：,過圓或橢圓上任意一點都有唯一一條切線，任意與圓或橢圓恰有一交點的直線都是圓或橢圓的切線。圓錐曲線的切線與曲線恰有一交點，但一曲線的切線與曲線，不一定只有一交點。反之，與曲線恰有一交點的直線也不一定是切線。(3)平行拋物線的對稱軸的直線與拋物線都恰有一交點，平行雙曲線的漸近線的直線與雙曲線都恰有一交點，但它們都不是切線。,本段結束,圓錐曲線切線的基本求法,也可考慮根與係數兩根之和,也可假設已知斜率利用公式,圓錐曲
4、線的切線方程式,圓錐曲線的切線方程式,1.已知切點的切線方程式：,在坐標平面上，軸是水平線及鉛直線的圓錐曲線(圓、拋物線、,Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0，其中 A、C 不皆為 0。,二次曲線：Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0 上,一已知點 P(x0,y0)為切點的切線方程式為,(見P.63-65),2.範例：求過點(2,2)且與拋物線 x2+xy8=0 相切的直線方程式。,整理得切線方程式為 5xy12=0。,解：切點P(x0,y0)=(2,2)，,橢圓、雙曲線)方程式皆可表為,Lets do an exercise!,馬上練習：,(2)求過點(3,1)且與雙曲線 4x2y28x2y9
5、=0,Ans：(1)3x+2y12=0。(2)4xy11=0。,整理得切線方程式為 4xy11=0。,(2)切點 P(x0,y0)=(3,1)，,整理得切線方程式為 3x+2y12=0。,解：(1)切點 P(x0,y0)=(2,3)，,相切的直線方程式。,To be continued(2),圓錐曲線的切線方程式,圓、橢圓與雙曲線可用來推導切線公式,以 x 集項整理得(B+Am2)x2+(2Amk)x+(Ak2AB)=0，,3.已知斜率的切線方程式：,證明：設切線 L：y=mx+k，,代入 Bx2+Ay2AB=0，,因為相切 x 有重根,(4A2m24AB4A2m2)k2+4AB(B+Am2)
6、=0。,得 k2=Am2+B，,To be continued,得 Bx2+A(mx+k)2AB=0，,(2Amk)24(B+Am2)(Ak2AB)=0，,注意：,設斜率為 m 的切線為 y=mx+k，代入拋物線方程式，,利用相切 判別式 D=0，即可求得 k。,本段結束,拋物線已知斜率之切線,即 x+y3=0 或 x+y+3=0。,4.範例：,解：,y=x3，,且 m=1,Lets do an exercise!,馬上練習：,Ans：x2y+4=0 或 x2y4=0。,解：,即 x2y+4=0 或 x2y4=0。,x2y=k,2x+y+12=0,5.範例：,解：設切線 L：x2y=k，,即
7、x2y+2=0 或 x2y8=0。,x2y+2=0,x2y8=0,6.範例：求斜率為 3 且與拋物線 y=x2+5x+3 相切,的直線方程式，及其切點。,解：設所求 y=3x+k，代入 y=x2+5x+3，,相切 判別式 D=0,得切線為 y=3x+19。,故切點為(4,7)。,x28x+(k3)=0,k=19。,x=4。,且 x28x+(193)=0,Lets do an exercise!,馬上練習：設拋物線 y=2x23x+1，求斜率為 5,的切線方程式，及其切點。,Ans：切線y=5x7，切點(2,3)。,解：設所求 y=5x+k，代入 y=2x23x+1，,相切 判別式 D=0,得切
8、線為 y=5x7。,故切點為(2,3)。,且 2x28x+(1+7)=0,x=2。,P,P,P,P,P,7.曲線外已知點的切線方程式：,(1)過拋物線外一點 P，有兩條切線。,(2)過橢圓外一點 P，有兩條切線。,(3)過雙曲線外一點 P，切線有三種情形：,當 P 點為中心時，過點 P 的任意直線都不是切線,當 P 點不是中心且落在漸近線上時,當 P 點不在漸近線上且不在雙曲線內部時,沒有切線。,只有一條切線。,有兩條切線。,本段結束,8.範例：,解：點 P(1,4)在橢圓外，故有兩條切線。,故所求切線為 x+y3=0 或 5xy+9=0。,To be continued 注意,(1,4),注
9、意：可設過(1,4)的切線其切點為(x0,y0)，,得切線為 x+y3=0 或 5xy+9=0。,(x0,y0),Lets do an exercise!,馬上練習：求過點(1,3)且與雙曲線 4x2y2=4 相切的直線方程式。,Ans：13x6y+5=0，x=1。,又點(1,3)非中心且不在漸近線 2xy=0 上,故所求切線為 13x6y+5=0 或 x=1(鉛直線)。,兩條切線。,解：,點(1,3)不在雙曲線上，,9.範例：求過點(2,0)且與拋物線 y=x22x+4 相切的直線方程式。,解：點(2,0)不在拋物線上，,相切 判別式 D=0,解得 m=2 或 6。,故所求切線為 2x+y4
10、=0 或 6xy12=0。,設切線方程式為 y=m(x2)，代入 y=x22x+4，,Lets do an exercise!,馬上練習：求過點(4,1)且與拋物線 2x=y2 相切的直線方程式。,Ans：x+4y+8=0，x2y+2=0。,解：點(4,1)不在拋物線上，設切線 y+1=m(x+4)，,故所求切線為 x+4y+8=0 或 x2y+2=0。,相切 判別式 D=0，,F,平行軸的光線反射後必過焦點,軸,F,焦點射出的光線反射後必平行軸,軸,射到拋物線上經反射後，都會與軸平行。,圓錐曲線的光學性質,1.拋物線的的光學性質：,由拋物線焦點 F 射出的光線，,反之，與軸平行的入射光，,射
11、到拋物線上經反射後，都會通過焦點 F。,To be continued,P,H,A,切線,1,F,準線 L,Q,2,3,M,故 1=2。,證明：設點 P為拋物線上任一點,注意：準線 L上任一點 A 與焦點 F,且此時 2=3，,又 QHA 為直角,所以 Q 點不在拋物線上，,1=3(對頂角相等)，,本段結束,P,Q,軸,F,(7,4),遇到拋物線：y2=4x 上一點 P，,經反射後通過 上的點 Q，求 Q 的坐標。,解：光線碰到 上的點 P(4,4)後，,反射必過 y2=4x 的焦點 F(1,0)，,2.範例：一光線經過點(7,4)沿水平方向前進，,Lets do an exercise!,P
12、,Q,軸,F,(4,6),馬上練習：一光線經過點(4,6)沿鉛直方向前進，,遇到拋物線：x2=16y 上一點 P，,經反射後通過 上的點 Q，求 Q 的坐標。,Ans：(16,16),解：光線碰到 上的點 P(4,1)後，,反射必過 x2=16y 的焦點 F(0,4)，,P,Q,軸,F,(4,6),馬上練習：一光線經過點(4,6)沿鉛直方向前進，,遇到拋物線：x2=16y 上一點 P，,經反射後通過 上的點 Q，求 Q 的坐標。,Ans：(16,16),解：光線碰到 上的點 P(4,1)後，,反射必過 x2=16y 的焦點 F(0,4)，,P,Q,軸,F,準線,R,S,O,A,F2,F1,P,
13、3.橢圓的光學性質：,由橢圓焦點 F2 射出的光線，,經反射後都會通過另一個焦點 F1。,射到橢圓上的點 P，,To be continued 證明,P,F2,F1,Q,A,1,2,3,2a,M,F2,F1,O,切線,1,2,O,法線,P,設點 A 為圓上任一點,證明：以 F2 為圓心，半徑為 2a(橢圓長軸長)作一圓，,注意：F2PF1 的平分線即為過 P 點的法線。,故1=2。,且此時2=3，,因此 Q 點不在橢圓上。,因此 P 點在橢圓上。,1=3(對頂角相等)，,切線,本段結束,P,F2,F1,O,切線,O,法線,D,4k,5k,4.範例：已知橢圓 的兩焦點為 F1(1,7)、F2(2
14、,2)，,且 P(5,3)在 上，試求過 P 與 相切的直線方程式。,解：,切線的斜率=3。,故所求切線為 3xy12=0。,Lets do an exercise!,切線,300,法線,B,P,F2,F1,A,300,Ans：16。,解：,馬上練習：如圖 F1、F2 為橢圓 的兩焦點，直線 L 切 於 P 點，,且F1PF2=600。設 F1、F2 對 L 的投影點分別為 A、B，,m,n,300,300,P,F2,F1,其反射光所在的直線會通過另一個焦點 F2。,5.雙曲線的光學性質：,由焦點 F1 射出的光線，,射到雙曲線上的點 P,To be continued 證明,P,F2,F1,
15、Q,A,證明：以 F2 為圓心，半徑為 2a(雙曲線貫軸長)作一圓，,設點 A 為圓上任一點,因此 P 點在雙曲線上。,因此 Q 點不在雙曲線上，,注意：F2PF1 的平分線即為過 P 點的切線。,M,故 1=2。,且此時 2=3，,1=3(對頂角相等)，,2a,切線,1,2,3,本段結束,F1、F2 為雙曲線的兩焦點，求F1AF2 的分角線方程式。,切線,A,F2,F1,6.範例：已知 A(4,3)為雙曲線 x22y2+4x+4y26=0 上一點，且,整理所求為 3x2y6=0。,切點 A(x0,y0)=(4,3)，,解：所求即為過 A 點的切線,Lets do an exercise!,P
16、,F2,F1,A(9,6),馬上練習：,故所求點 P(5,4)。,若一光線從 的焦點 F1(3,0)發射，,碰到 上的 P 點，反射後通過點A(9,6)，,Ans：P(5,4)。,解：反射線 PA 的延長線必過 F2(3,0)，,已知 P 點在第一象限，求 P 點坐標。,本節結束,M(1,2),B(x2,y2),A(x1,y1),解：設此弦交 於 A(x1,y1)，B(x2,y2)，則 x1+x2=2，y1+y2=4，,圓錐曲線的弦,1.範例(中點弦)：,求以(1,2)為中點之弦方程式。,所求為 8x+25y58=0。,Lets do an exercise!,M(4,3),B(x2,y2),
17、A(x1,y1),馬上練習：在拋物線：y2=6x 的諸弦中，,Ans：xy1=0。,求以 M(4,3)為中點之弦方程式。,解：設此弦交 於 A(x1,y1)，B(x2,y2)，則 x1+x2=8，y1+y2=6，,所求為 xy1=0。,解：將 x=12y 代入 x2+4y2=4，,2.範例：若直線 x+2y=1 與橢圓 x2+4y2=4 交於 P，Q 兩點，,設交點 P(x1,y1)，Q(x2,y2)，,得 8y24y3=0，,Lets do an exercise!,根 與 係 數&(ab)2 與(a+b)2,得 x2+ax+(b+2)=0，,將 y=0 代入 y=x2+ax+(b+2)，,
18、馬上練習：設 a、b 為實數。已知坐標平面上拋物線 y=x2+ax+b 與 x 軸,交於 P、Q 兩點，,若拋物線 y=x2+ax+(b+2),Ans：,解：將 y=0(即 x 軸)代入 y=x2+ax+b，,設交點 P(x1,0)，Q(x2,0)，,設交點 R(x3,0)，S(x4,0)，,(99學測),與 x 軸交於 R、S 兩點，,得 x2+ax+b=0，,O,L,x,y,P(x0,y0),M,P(x0,y0),L,M,L1,L2,y,10.範例：如圖，拋物線 y2=x 的圖形中有三條法線，L1、L2、L3(x軸),通過點(2,0)，試求此拋物線有三條法線通過點(a,0)的 a 的範圍。,解：設直線 L 與 y2=x 相切於 P(x0,y0),同理，過 P(x0,y0)的切線為,1,2,L3,O,x,
