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1、复变函数与积分变换,第一章 复数与复变函数,第二章 解析函数,第三章 复变函数的积分,第四章 级数,第五章 留数,第六章 保角映射,第七章 Fourier变换,第八章 Laplace变换,第一章 复数与复变函数,复数及其代数运算,复数的表示,复数的乘幂与方根,复平面点集与区域,复变函数,复变函数的极限与连续,i为虚数单位，,复数：形为 z=x+i y的数称为复数。,为实数，,1）实部Rez=x；虚部Imz=y2）复数无大小3）复数相等：设 则：,4）复数、实数、虚数的关系,复平面,一对有序实数（x，y）,平面上一点P，向量,复数 z=x+i y,x,y,z=x+i y,O,实轴、虚轴、复平面,
2、Z 平面、w 平面,复数的 模,复数的 幅角,1）z=0的辐角不定2）主辐角3）辐角4)辐角有无穷多个,复数的三角形式与指数形式,利用极坐标来表示复数z，,则复数 z 可表示为：,三角式：,指数式：,复数的四则运算,规定：,b)按上述定义容易验证 加法交换律、结合律 乘法交换律、结合律和分配律 均成立。,几何意义：平面上一矢量与一复数z构成一一对应，复 数的加减与矢量的加减一致。,x,y,O,加法运算,x,y,O,减法运算,复数乘法,设,定理：,x,y,O,指数形式表示,推广至有限个复数的乘法,除法运算,或者,利用复数的三角形式或指数形式作乘除法比较方便。,例：已知正三角形的两个顶点为,求三角
3、形的另一个顶点。,x,y,O,c)共轭复数：,互为共轭复数,容易验证,1）,2）,3）,复数的乘幂,n个相同复数z的乘积称为z的n次幂,复数的方根,设,为已知复数，n为正整数，则称满足方程,的所有w值为z的n次方根，并且记为,设,则,即,当k0，1，2，n1时，得到n个相异的根：,例：,即,复平面点集与区域,（1）邻域,（2）去心邻域,（3）内点,点z是点集E的内点,存在z的某个 邻域含于E内，即,（4）外点,点z是点集E的外点,存在z的某个 邻域不含E内的点,（5）边界点,点z 既非 E 的内点，又非 E 的外点,边界点的任一邻域无论多小，都既含有E的内点，又同时含有E的外点。,（6）开集,
4、点集E中的点全是内点,（7）闭集,开集的余集,空集和整个复平面既是开集，又是闭集。,（8）连通集,E中任意两点可以用一条全在E中的折线连接起来。,（9）区域,非空的连通开集,（10）有界区域,如果存在正数M，使得对于一切E中的点z，有,（11）简单曲线、光滑曲线,点集,称为z平面上的一条有向曲线。,则称 E为有界区域。,简单曲线：,简单闭曲线：,光滑曲线：,（12）单连通区域,设D为复平面上的区域，若在D内的任意简单闭曲线的内部仍属于D，则称D为单连通区域，否则称多连通区域。,没有交叉点。,（方向）,平面图形的复数表示,求平面图形的复数形式的方程（或不等式）；也可以由给定的复数形式的方程（或不
5、等式）来确定所表示的平面图形。,例：,Z平面上以原点为中心、R为半径的圆周方程为,Z平面上以 为中心、R为半径的圆周方程为,（1）连接z1 和z2两点的线段的参数方程为,（2）过两点 z1 和z2的直线L的参数方程为,（3）z1、z2，z3 三点共线得充要条件为,例：,考察下列方程（或不等式）在平面上所描绘的几何图形。,（1）,该方程表示到点2i和2距离相等的点的轨迹，所以方程表示的曲线就是连接点2i 和2的线段的垂直平分线，它的方程为y=x。,（2）,设 z=x+iy,（3）,表示实轴方向与由点i 到 z 的向量之间交角,的主值，因此满足方程的点的全体是自 i 点出发且与实轴,正向夹角为45
6、度的一条半射线。（不包括 i点）,（4）,例：指出不等式,中点z的轨迹所在范围。,解：,因为,所以,于是有,它表示在圆,外且属于左半平面的所有点的集合,复 变 函 数,设 D 是复平面内的一个集合，对于 D 中的每一个z，按照一定的规律，在另一个复平面有一个或多个复数w的值与之对应，则称w为定义在 D 上的复变函数，记做,单值函数 f(z):,对于D中的每个z，有且仅有一个w与之对应。,多值函数 f(z):,对于D中的每个z，有两个或两个以上 w 与之对应。,我们主要考虑单值函数,注：定义集合D所在的复平面称作z平面，函数值集合 所在的复平面称作w平面,映射,f(z)是单射（或一对一映射）,对
7、于任意,f(z)是满射,f(z)是双射,f(z)既是单射，又是满射。,象、原象,例：,一个复变函数等价于两个二元实函数,复变函数的几何意义,复变函数的极限与连续,函数的极限,定义：设函数w=f(z)定义在z0的去心邻域,如果有一确定的数A存在，对于任意给定的,相应地必有一正数,使得当 时有,那么称A为f(z)当z 趋向z0时的极限，记作,几何意义：当变点z一旦进入z0的充分小的去心邻域时，它的,象点 f(z)就落入A的预先给定的小邻域内。,注意：z趋于z0的方式是任意的,定理一,定理二,关于极限的计算，有下面的定理。,例,证明函数,当z趋于0时的极限不存在。,解法一,令z=x+iy,则,所以极限不存在。,解法2,利用复数的三角表示式,当z沿着不同的射线,趋于零时，f(z)趋于不同的值。,如,极限不存在。,函数的连续,如果,那么f(z)在z0处连续。,如果 f(z)在D内各点都连续，那么 f(z)在 D 内连续。,定理：f(z)在z0处连续的充分必要条件是 u(x,y),v(x,y)在（x0，y0）处连续。,连续函数的四则运算、复合运算都成立。,有界区域上的连续函数的最值定理。,例：,例：,研究函数 f(z)=arg z 在复平面上的连续性,因为,故在原点不连续。,不连续，理由是分别从上半平面与下半平面趋于负实轴时，极限值不等。,其余地方均连续。,
