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1、在发明中学习 线性代数概念引入 之四:矩阵运算,李尚志 中国科学技术大学,1.线性函数,例 1 在平面上建立直角坐标系.将平面上每个点P绕原点向逆时针方向旋转角到点P.写出点P的坐标(x,y)与点P的坐标(x,y)之间的函数关系式.,矩阵乘法,(2)将x轴绕原点向逆时针方向旋转角得到直线 l.平面上任一点P关于直线 l的对称点为 P.写出点P的坐标(x,y)与点P的坐标(x,y)之间的函数关系式.,在旋转变换的表达式 中,x是x,y的线性函数(一次齐次函数)可以表示成 可以直接写 f1=(cos,-sin).类似地有,一般地,任意一个n元线性函数 可以由它的一次项系数组成的行向量(a1,an)
2、来表示,称为这个线性函数 f 的坐标.可直接写 f=(a1,an)n 个自变量看成一个整体 X,写成列向量 函数 f 在自变量 X 上的作用可以看作行 f 与列 X 相乘:,2.线性映射的矩阵f:自变量 因变量旋转轴对称,一般地,考虑映射 f:X=Y=如果每个 yi 都是 x1,xn 的一个线性函数决定,则映射 f:X Y由 m 个行向量 fi 决定.f 称为线性映射.写成看作矩阵 A=与列 X 相乘的结果.,3.线性映射的合成:Y=Z=,是X的m个线性函数 f1,fn 的线,Z=CX=BAX,C=BA的第i行元素分别乘A的各行相加得到.,性组合,仍是X 的线性函数,其坐标,的坐标(即A的各行
3、)的相应的线性组合,4.利用分块运算理解矩阵乘法 1、AB=A(B1,B2,Bk),A 依次乘 B 的各列。例.对可逆方阵 A，解矩阵方程 AX=B.将 X,B 按列分块,A(X1,Xk)=(B1,Bk)即(AX1,AXk)=(B1,Bk),AXj=Bj(j=1,2,k)相当于同时解 k 个有公共系数矩阵A的线性方程.同时对k个增广矩阵(A Bj)做同样的初等行变换。可以合并到一起作初等行变换:(A B)(I X），X=A-1B。2、A=(A1,An)=x1A1+xnAn.,3、行变换:B AB列变换:B BAA：施工方案，B：被施工的材料,例.,5.初等变换与初等矩阵解。B AB 与 I AI 经过相同的行变换。,谢谢,
