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1、第23讲最值问题一内容概述求最大值与最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，有时还需要局部调整或者枚举各种可能情形和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小典型问题兴趣篇13个连续奇数相乘，所得乘积的个位数字最小可能是多少?答案：3分析：乘积的个位数字是由这三个奇数的个位数字决定的。个位数字可能是：1、3、5、7、9。通过试验个位是7、9、1的三个连续奇数相乘满足条件，791=63个位最小是3.2. 用1、2、4可以组成6个没有重复数字的三位数，这些三位数中相差最小的两个数之差是多少?答案：9分析：要使两个数差最小百位数字相同十位与个位数字相近。满足条件的是412和421.差是421-
2、412=9.3. 用24根长l厘米的火柴棒围成一个矩形，这个矩形的面积最大是多少?如果用22根火柴棒呢?答案：36平方厘米；30平方厘米。分析：（1）矩形的周长是24厘米。长和宽的和：242=12（厘米）和为定值的两数的乘积随两数之差的增大而减少。和是12的两数差为0是积最大。这两个数相等都是6.即长和宽相等面积是66=36（平方厘米）。（2）周长是22厘米。长和宽的和是222=11（厘米）和是11差是0时，这样的两个数不是整数。差是1时两数分别为6和5.积是30.4三个自然数的和是19，它们的乘积最大可能是多少?答案：252分析：和一定差越小积越大。193=61，6+6+6=18再加1得19
3、，三个数分别是6、6、7时积最大。最大是667=252.5(1)请将l、2、3、4填人算式“口口口口”的方格中要使得算式结果最大，应该怎么填?(2)请将1、2、3、4、5、6填人算式“口口口口口口”的方格中要求5、6分别填在百位，4、3分别填在十位，1、2分别填在个位，并使得算式结果最大应该怎么填?答案：（1）4132 （2）542631分析：（1）要使积最大，两个数应尽量大所以4、3分别在十位， 1、2在个位。有两种情况A：4132=12+240+130+4030=1312B：4231=12+140+230+4030=1302比较发现区别在划横线部分，当一个数十位上的数字与另一个数个位上的数
4、字较大的与较大的相乘，较小与较小的数字相乘时积最大。最大是4132（2）与（1）同理当十位上4与百位上的6相乘，十位上3与百位上5相乘；个位2与百位上6相乘，个位1与百位5相乘时积最大。其中一个数百位是6十位是3个位是1即631。另一个是542.6. 在图23-1的中间圆圈内填一个数，计算每一条线段两端的数之差(大减小)，然后把这3个差数相加，所得的和最小是多少?答案：7分析：当中间数是7时和最小，和最小是7。7. 在所有包含3个相同数码的四位数中，与1389之差(大减小)最小的一个是多少?答案：1411分析：与1389之差(大减小)尽量与1389相近。所以千位是1，百位是3或4，十位和个位是
5、1.即可能是1311或1411.通过计算与1389之差(大减小)差最小的是1411.8. 把1、2、3、4、5、6填人算式“”的空格中，要求前一个三位数比后一个三位数大这个减法算式的结果最大可能是多少?最小可能是多少?答案：最大：531 最小：47分析：满足结果最大，被减数应尽量大，减数应尽量小。被减数最大是654，减数最小是123。结果最小，两数应接近。被减数是412，减数是365时结果最小。9. 一个自然数是由数字8、9组成的，它的任意相邻两位都可以看成一个两位数，并且这些相邻数字组成的两位数都不相等请问：满足条件的自然数最大是多少?答案：99889分析：由8和9组成的两位数可能是88、8
6、9、99、984种情况。.要使数最大数的位数尽量大，相邻数字组成的两位数出现以上4种情况。满足条件的数由高位到低位排列可称为第1位、第2位、第3位第1位第2位组成的数最大是99，第2位第3位组成的数最大是98第3位第4位组成的数是88，第,4位第5位组成的数是89. 满足条件的自然数最大是99889.10. 有7个盘子排成一排，依次编号为1，2，3，7每个盘子中都放有若干玻璃球，一共放了80个其中1号盘里放了18个玻璃球，并且任意编号相邻的3个盘子里放的玻璃球组成的数之和都相等请问：第6个盘子中最多可能放了多少个玻璃球?答案：12分析：任意编号相邻的3个盘子里放的玻璃球组成的数之和都相等。1、
7、2、3号盘与2、3、4号盘玻璃球一样多。所以1号和4号盘都有18个。依次往后推7号盘也有18个。前6盘有80-18=62个，相邻的3盘有622=31个。4、5、6这3个盘，4号盘有18个要使第6个盘子中最多5号应最少最少有1个，第6个盘最多有31-18-1=12个。拓展篇1.3个连续自然数相乘，所得乘积的个位数字最大可能是多少?答案：6分析：只需考虑3个自然数的个位。个位上有0-9 十种可能。通过试验得3个连续自然数个位是1、2、3满足条件。2. (1)在五位数12435的某一位数字后面再插入一个同样的数字(例如：可以在2的后面插入2得到122435)，这样得到的六位数最大可能是多少?(2)在
8、七位数9876789的某一位数字后面再插入一个同样的数字，这样得到的八位数最小是多少?答案：最大124435 最小98766789分析：（1）使结果最大所插数字应尽量大且数位尽量靠前。试验得出最大是124435.（2）使结果最小，所插数字应尽量小且数位尽量靠后。试验得出最小是98766789.3有9个同学要进行象棋比赛他们准备分成两组，不同组的人相互之间只比赛一场，同组的人之间不比赛他们一共最多能比赛多少场?答案：20分析：两组比赛的场数是两组人数的乘积。两组人数的和是9要使乘积最大两组人数应相近。4+5=9，两组人数分别是4和5时比赛场数最多，一共比赛45=20场。43个互不相同的自然数之和
9、是17，它们的乘积最大可能是多少?答案：168分析：三个数和一定，差越小积越大。6+6+5=17但有相同的数，再做调整得7+6+4=17.积是764=168。5请将2、3、4、5、6、8填人算式“口口口口口口”的方格中要使得算式结果最大，应该怎么填?答案：842653分析：百位最大填8和6，十位填4和5，个位填2和3。当一个数十位上的5与另一个数百位上的8相乘，一个数个位上的3与另一个数百位上的8相乘时积最大。所以两个三位数分别是842和653。6请将6、7、8、9填人算式“口口+口口”的方格中要使得算式结果最大，应该怎么填?答案：78+96分析:两数乘积与所加的两位数应尽量大。98+76=1
10、48， 87+96=152比较发现最大填78+96。7在图23-2的中间圆圈内填一个数，计算每一条线段两端的数之差(大减小)，然后把这5个差数相加，所得的和最小是多少?答案：19分析：当中间数是19时和最小，和最小是 19.8如果7个互不相同的自然数之和为100，那么其中最小的数最大可能是多少?最大的数最小可能是多少?答案：11；18分析：7个互不相同的自然数最小分别是0、1、2、3、4、5、6这7个数的和是21.100-21=79以上7个数分别加上相同的数也得到7个不同的数。797=112，7个自然数都加上11，得11-17，7个数。余数2可加到最大的两个数中。所以最小是11最大是18。9一
11、个多位数的各位数字互不相同，而且各位数字之和为23这样的多位数最小可能是多少?最大可能是多少?答案：最小689 最大8543210分析：要使最小，位数应尽量少。23可最少拆成3个不同的一位数的和。即23=6+8+9.所以最小是689.要使最大，位数应尽量多。6个互不相同的自然数最小是0+1+2+3+4+5+6=21，23-21=2，0+1+2+3+4+5+8=23.最大是8543210。11如图23-3，这是一个正方体的展开图将它折成一个正方体后，相交于同一顶点的3个面上的数之和最大是多少?答案：13分析：1-6个数中3个数的和从大到小分析最大的三个数是6+5+4=15，从图中看出6、5、4不
12、相交于同一顶点。再次6、5、3也不想交与同一顶点。6、4、3相交与同一顶点。6+4+3=13.12如图23-4，在一个正方体方块的左下角A点处有一只蚂蚁，它要沿着正方体的表面爬行至右上角的B点，去搬运一块食物为了使得这个蚂蚁所走的路线长度最短，它应该怎么爬行?它可以选择的最短路线一共有几条?答案：6分析: A、B没在同一平面上，不可以连接，蚂蚁只能从表面爬过去, A、B所在的两个面展开就在同一平面上了。直接连接A、B就是最短路线。展开A、B所在的两个面有6种情况（正面和上面、正面和右面、下面和后面、下面和右面、左面和上面、左面和后面）。所以最短路线有6条。超越篇1一个两位数除以它的各位数字之和
13、，余数最大是多少?答案：151、 分析： 首先，由于余数除数。所以余数要最大，那么除数就要尽量大。而除数最大是18。（1） 除数为18，这个两位数只能为99，9918余9；（2） 除数为17，这个两位数只能为98、89，9817余13，8917余4；（3） 除数为16，这个两位数只能为97、79、88,9716余1,7916余15、8816余8.（4） 除数15时，余数小于15.所以余数最大为15.24个小朋友，每人的体重都是整数千克，而且其中任意3人体重之和都大于99千克这4个小朋友体重之和最小是多少千克?答案：134千克。分析：不妨设这四人的体重为A、B、C、D，且ABCD,都是整数。由于
14、A+B+C99，所 以 A+B+C100.所以C34.从而DC34.所以A+B+C+D100+D100+34=134. 3将1至30依次写成一排：1232930，形成一个多位数从这个多位数中划掉45个数字，剩下的数最大是多少?如果要求剩下的数首位不为0，这个数最小是多少?答案：最大998930 最小100120分析：1至30共51个字码。所以去掉45个还余下6个字码。要最大，则高位尽量大998930， 要最小，高位尽量小100120.4用1、2、3、4、6、7、8、9这8个数字组成2个四位数，使这2个数的差最小(大减小)，这个差最小是多少?答案：139分析：如图易知：要让两数之差尽量小，A只能
15、比E大1，且FGH要尽量大，最大为987.而BCD要尽量小，且由6-4=2知，BCD为126.最后得：4126-3987=139.5将2至8这7个自然数填入算式“口口口口一口口口”的方格中如果算式的计算结果为整数，那么这个结果最大是多少，最小是多少?答案：最大6452 最小827分析：要让M尽量大，易知要尽量大，G尽量小。且影响更大，应优先满足。这时他们最大为8576=6460，这时G最小为324=8。6460-8=6452.要让M尽量小，易知要尽量小，G尽量大。且影响更大，优先满足。这时他们最小为2435=840，这时G最大为786=13.840-13=827.6如图23-5，一只木箱的长、
16、宽、高分别为5厘米、3厘米、4厘米有一只甲虫从A点出发，沿棱爬行，每条棱只允许爬一次甲虫最多能爬行多少厘米?如果要求甲虫最后回到A点，那么它最多能爬行多少厘米?答案：39厘米，34厘米分析：这是一个一笔画问题，且每个点的度数为3，都是奇数。（1） 8个点至少要去掉3条线。这时候尽量去掉长度短的线，即去掉3条长度为3的线。这时去掉BC、FG、EH即可。路线为A-B-F-E-A-D-H-G-C-D,共54+44+31=39厘米。（2） 若而从A出发，最后要回到A点，那么8个点要去掉4条线。这时候尽量去掉长度短的线，很明显去掉4条长度为3的线是不行的。假如去掉3条长度为3的线，这时从四边形ABEF的
17、某个点到DCHG后就没线回来了。所以最多去掉2条长度为3的线。去掉BC、FG、HD、AE即可。这时的路线为A-B-F-E-H-G-C-D-A,共54+42+32=34厘米。7如图23-6，黑板上写有一个三位数减三位数的算式，其中首位已经确定接下来，甲每次报一个数字，乙就把它放入四个方框中的一个，甲要使得差尽量大，乙要使得差尽量小，如果两人都使用最佳的策略，那么最后的差是多少?答案：140分析：甲要使得A-C尽量大，而乙要使得尽量小。所以开始甲只能报4或者5，若甲第一个数报6、7、8、9，那么乙只要把这个数填在C出即可，这时A-C9-6=3. 若甲第一个数报0、1、2、3，那么乙只要把这个数填在
18、A出即可，这时A-C3-0=3.并且，甲报完4（5）后，只能一直报0（9）。否则，随便你报一个另外的数m，乙把m填到C（A），这时A-C就小于4了。所以这个值最大为299-159=140，或者240-100=140.并且，若甲第一个数报5，而乙填到B或D处，这时甲只需继续报5即可，直到乙把C处填5为止。8 一栋大楼共33层，电梯停在第1层，现在有32个人分别要去第2层、第3层第33层，他们可以选择坐电梯或者走楼梯有一天电梯坏了，电梯只能在某一层停，每个人可以选择走楼梯上楼或乘电梯到这一层再走楼梯每个人上一层楼梯会有3份不满意，下一层楼梯会有1份不满意请问：电梯停在哪一层，才能使得所有人不满意的
19、总份数最小?答案:316份分析：假设电梯停在了A层，那么往上的楼层都要爬。且不高于B层的人都是从1层往上走，此时(B-1)3（A-B）,即4（B-1）（A-1）。这时，若电梯往下停一楼，则从A到33楼，会增加3（33-A+1）份不满意度，从B+1到A-1楼，会减少A-B-1份不满意度。而A-1为4的倍数时，B楼也会由从下往上变成从上往下，从而减少1份不满意。所以，若电梯直接到33楼时，这时2到9楼的往上爬，最少有（1+2+8）3+（1+2+23）=384份不满意。然后我们再考虑往下移动。（3） 停在32楼，则B=8，这时9楼由24份不满变成23份，不满意数为384-（24-23）-23+3=363份（4） 停在31楼，则不满意数为363-23+6=346份（5） 停在30楼，则不满意数为346-22+9=333份（6） 停在29楼，则不满意数为333-21+12=324份（7） 停在28楼，则B=7，这时第8楼由21份不满意变成20份，不满意数为324-（21-20）-20+15=318份（8） 停在27楼，则不满意数为327-20+18=316份（9） 当停的楼层不高于26层时，不满意度减少的份上将不大于19，而增加的不满意份数将不小于21份。所以电梯应停在27层，这时不满意度为316份.
