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1、 本科生毕业设计（论文） 正交矩阵与其应用 (The orthogonal matrix and its applicalion)学 院： 专 业： 学 号： 学生姓名： 指导教师： 二一 年 六 月摘 要 正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复数的矩阵这导致了归一要求。要看出与内积的联系，考虑在n维实数内积空间中的关于正交基写出的向量。的长度的平方是。如果矩阵形式为 的线性变换保持了向量长度，所以有限维线性等距同构，比如旋转、反射和它们的组合，都产生正交矩阵。反过来也成立:正交
2、矩阵蕴涵了正交变换。但是，线性代数包括了在既不是有限维的也不是同样维度的空间之间的正交变换，它们没有等价的正交矩阵。有多种原由使正交矩阵对理论和实践是重要的。正交矩阵形成了一个群，即指示为的正交群，它和它的子群广泛的用在数学和物理科学中。使得它在不同的领域都有着广泛的作用,也推动了其它学科的发展。 本文从以下主要例举了正交矩阵的三大应用:正交矩阵在线性代数中的应用、正交矩阵在化学中的应用、正交矩阵在物理中的应用。 关键词: 正交矩阵;酉矩阵;正交群;正交变换AbstractThe orthogonal matrix and its applicalion Orthogonal matrix i
3、s a real specialization of the unitary matrix, it is always normal matrix. Although we here consider only real matrices, this definition can be used from any domain in its matrix elements. Orthogonal matrix , after all, the inner product of the natural leads, and the complex matrix that led to the n
4、ormalization requirements. To see the link with the inner product, consider the n-dimensional real inner product space to write on the orthogonal basis vector . the length of the square is . If the matrix form of linear transformation maintained vector length, then Therefore finite-dimensional linea
5、r isometry, such as rotation, reflection, and their combination, have generated orthogonal matrix. In turn, set up: orthogonal matrix implies the orthogonal transformation. However, linear algebra, including finite-dimensional in neither the same nor is the dimension of the space between the orthogo
6、nal transformation, they are not equivalent orthogonal matrix. There are many Reasons to orthogonal matrix theory and practice is important. orthogonal matrices form a group that is directed to the orthogonal group,which is indicated ,it and its subgroups widely used in mathematics and physical scie
7、nce. Making it in different areas have broad effect, also contributed to the development of other disciplines This article cites the following main three orthogonal matrix applications :orthogonal matrix in linear algebra, orthogonal matrix the application of chemistry, orthogonal matrix the applica
8、tion of physics.Key words: orthogonal matrix; unitary matrix; orthogonal group; orthogonal transformation目 录1.引言12. 正交矩阵的定义与其基本性 12.1正交矩阵的定义与判定 22.2正交矩阵的性质与其证明 33. 正交矩阵的应用 33.1 正交矩阵在线性代数中的应用 33.2正交矩阵在化学中的应用 83.3正交矩阵在物理学中的应用13参考文献 15致 谢 16附 录 16正交矩阵与其应用 1 引言正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义
9、可用于其元素来自任何域的矩阵。正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复数的矩阵这导致了归一要求。要看出与内积的联系，考虑在n维实数内积空间中的关于正交基写出的向量。 的长度的平方是。如果矩阵形式为 的线性变换保持了向量长度，所以有限维线性等距同构，比如旋转、反射和它们的组合，都产生正交矩阵。反过来也成立: 正交矩阵蕴涵了正交变换。但是，线性代数包括了在既不是有限维的也不是同样维度的空间之间的正交变换，它们没有等价的正交矩阵。有多种原由使正交矩阵对理论和实践是重要的。正交矩阵形成了一个群，即指示为 的正交群，它和它的子群广泛的用在数学和物理科学中。使得它在不同的领域都有着广泛的作用,也推动了其它学
10、科的发展。 本文从以下主要例举了正交矩阵的三大应用: 正交矩阵在线性代数中的应用、正交矩阵在化学中的应用、正交矩阵在物理中的应用。2 正交矩阵的基本知识2.1正交矩阵的定义与判定定义2.1：级实数矩阵满足（或,或），则称 为正交矩阵。判定2.1-1：矩阵是正交矩阵;判定2.1-2：矩阵是正交矩阵;判定2.1-3：矩阵是正交矩阵;备注：判定一个是方阵是否为正交矩阵往往用定义，即（或,或），也可以验证的行向量或列向量是否是两两正交的单位向量。当已知的正交矩阵求证其他的结论时，要用正交矩阵的定义及有关性质。2.2 正交矩阵的性质若是正交矩阵，则有以下性质：性质1： ,则可逆,且其逆也为正交矩阵;性质
11、2： ,，也是正交矩阵,即有 ；性质3： 是正交矩阵；性质4： 是正交矩阵的充分必要条件是；性质5： 若也是正交矩阵, 则,都为正交矩阵。证明: 性质1 显然, 所以也是正交矩阵。性质2 , 显然为正交矩阵。因为,当时, , 即;当时。 , 即。所以为正交矩阵。 性质3 由正交矩阵定义2.1与判定2.1-1，显然，所以也是正交矩阵。 性质 4 是正交矩阵，显然，即有 由是正交矩阵，显然是正交矩阵。性质5 由可知,故为正交矩阵。 同理推知,均为正交矩阵。正交矩阵的性质主要有以上几点, 还有例如它的特征值的模为1, 且属于不同特征值的特征向量相互正交; 如果是它的特征值, 那么也是它的特征值, 另
12、外正交矩阵可以对角化, 即存在复可逆矩阵, 使其中为的全部特征值, 即。 这些性质证明略。3 正交矩阵的应用3.1 正交矩阵在线性代数中的应用 在线性代数中我们通常用施密特方法求标准正交基，现在可以用正交矩阵中的一种特殊矩阵求标准正交基-初等旋转矩阵即Givens矩阵。 定义3.1 设向量则称n级矩阵 为Givens矩阵或初等旋转矩阵，也可记作。 Givens矩阵在向量下，有以下三个性质： 性质1 Givens矩阵是正交矩阵； 性质2 设则有； 性质3 任意矩阵右乘，只改变的第列和列元素; 任意矩阵左乘，只改变的第行和行元素。证明：性质1 由，则，故是正交矩阵。 性质2 由定义知，右乘向量,有
13、故右乘向量，只改变向量第个和个元素，其他元素不变。性质3 由性质2和矩阵乘法即可证得结论即任意矩阵右乘，只改变的第列和列元素; 任意矩阵左乘，只改变的第行和行元素。引理1 任何阶实非奇异矩阵 , 可通过左连乘初等旋转矩阵化为上三角矩阵, 且其对角线元素除最后一个外都是正的。定理1 设是阶正交矩阵 若, 则可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积, 即; 若, 则可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵, 即, 其中是初等旋转矩阵。（其中） 证明：由于是阶正交矩阵，根据引理1知存在初等旋转矩阵使这里是阶上三角阵，而且的对角线上的元素除最后一个外都是正的，所以有 （1） 由是正交矩阵和（1）式得 即
14、 （2） 设 =其中， 则=由上式得所以 （3） 于是由（1）（3）式得当时，；当时， 。记，是初等旋转矩阵，故定理1结论成立。引理2 设其中是阶正交矩阵， 是阶上三角阵，是零矩阵。则由上结论可得以下定理：定理2 设，则可以通过左连乘初等旋转矩阵，把 变为的形式，其中是阶上三角阵，是矩阵。证明：由引理2知，其中是阶正交矩阵，是阶上三角阵，又根据定理1知：其中是Givens矩阵。(I)当时，(II)当时， 于是有显然，是阶上三角阵，当时与除最后一行对应元素绝对相等符号相反外，其余元素对应相等。当时时，所以由(I)、(II)知本定理的结论成立。设，是欧氏空间的子空间的一组基，记是秩为的的矩阵。若满
15、足定理2的条件，则存在初等旋转矩阵，使 （4） 且所以 （5） 由（4）（5）两式知，对、做同样的旋转变换，在把化为的同时，就将化成了，而的前个列向量属于子空间。综上所述可得化欧氏空间的子空间的一组基：为一组标准正交基的方法为：（1）由已知基为列向量构成矩阵；（2）对矩阵施行初等旋转变换，化为，同时就被化为正交矩阵，这里是阶上三角阵；（3）取的前个列向量便可得的一组标准正交基。显然，上述方法是求子空间的一组标准正交基的另一种方法。下面，我们通过实例说明此方法的应用。例求以向量，为基的向量空间的一组标准正交基.解 矩阵对分块矩阵依次左乘，,= 得 =则，取，则就是由得到的的一组标准正交基.3.2
16、正交矩阵在化学中的应用 原子轨道的杂化是在一个原子中不同原子轨道的线性组合。在结构化学原子轨道杂化理论中，原子中能级相近的几个原子轨道可以相互混合，从而产生新的原子轨道。杂化过程的数学表达式为，为新的杂化轨道，为参加杂化的旧轨道，为第个杂化轨道中的第个参加杂化轨道的组合系数。在杂化过程中，轨道数是守恒的，并且杂化轨道理论有三条基本原则：（1）杂化轨道的归一性杂化轨道满足；（2）杂化轨道的正交性；（3）单位轨道贡献每个参加杂化的单位轨道，在所有的新杂化轨道中该轨道成分之和必须为一个单位，即=1。由杂化轨道原理，原子轨道的杂化，实际是由一组相互正交的单位基向量，通过线性变换转化成为另一组相互正交的
17、单位基向量。在线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵，那么原子轨道的杂化，就可以转化为求出正交矩阵，作线性替换的过程。（A）杂化轨道。以甲烷分子的结构为例，激发态碳原子的电子组态为：，这样在形成分子时，激发态碳原子的一个2原子轨道和3个原子轨道进行杂化形成4个等同的杂化轨道。设在激发态碳原子中四个能量相近的原子轨道、是一组相互正交的基向量，再通过线性变换将它们转化成另一组相互正交的基向量、，那么线性变换系数矩阵A必为正交矩阵。 = A为正交矩阵，分别是、在四个坐标轴的分量。在等性杂化中，四个基向量、在四个坐标轴上的分量是相等的，即由四个能量相近的原子轨道、进行杂化时形
18、成四个等同的杂化轨道，在四个杂化轨道上，原子轨道和成份完全相同。根据这些理论，我们来求正交矩阵A。 =(取正值)因为是等性杂化轨道。 =1=（取正值） 取符合条件的 ， 即 取 ， 可以写出四个杂化轨道的杂化轨道式为：（B）杂化轨道一个和一个原子轨道杂化形成两个杂化轨道。同样，线性变换的系数矩阵是正交矩阵。根据等性杂化理论 ， （取正值）杂化轨道式为：3.3正交矩阵在物理学中的应用任意刚体运动都对应一个正交矩阵, 三维空间一条曲线经过刚体运动, 其曲率和挠率是不变的, 称它们为运动不变量。 下面, 我们来考察曲线作刚体运动时的量。设曲线与曲线只差一个运动, 从曲线到曲线的变换为 (3.3-1)
19、其中是三阶正交矩阵, 是常数。对(3.1-1)两边求n阶导数得从而有 (3.3-2)因为A是正交矩阵, 所以也有 (3.3-3)另一方面, 由一阶, 二阶, 三阶导数, 可作成矩阵两边取行列式, 由得 现在取可类似地讨论。因为 (3.3-4) (3.3-5)(3。3-2)代入(3。3-4)的右边得 （3.3-6）因(3.3-4)与(3.3-5)右边相等, 有(3.3-5)右边与(3.3-6)式右边相等得由正交矩阵的性质2知, 且由将上面三式左右分别平方相加=+ = 写成矢函数, 即得于是我们可推得这里的分别是曲线的曲率与挠率。例 暂略参考文献：陈景良，陈向晖.特殊矩阵.第一版.清华大学出版社，
20、2001年1月.353-360程云鹏.矩阵论.第二版.西北工业大学出版社，1999年6月.94-99，196-215周公度，段连运.机构化学基础.第4版.北京大学出版社，2009年5月.79-187赵成大等物质结构.人民教育出版社. 1982.9 219-226 刘钊南.正交矩阵的作用.湘潭师范学院学报.1987 11-16 刘国志.欧氏空间子空间的标准正交基的全新方法Givens变换法.抚顺石油学院学报.1996.3.16卷1期78- 81 张焕玲等一种求欧氏空间子空间的标准正交基的新方法山东科学 1996.3.9卷1期 14-16 强元棨，程嫁夫.力学上册.第一版.中国科学技术大学出版社.2005年9月.332-533陈少白 空间曲线的刚体运动基不变量 武汉科技大学学报 2003.12.26卷4期 424-426
