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1、本科毕业论文题目： 函数的性质及应用 学院： 数学与计算机科学学院 班级： 数学与应用数学2007级1班 姓名： 和成功 指导教师： 陈慧琴 职 称： 教 授 完成日期： 2011 年 5 月 16 日 函数的性质及应用摘要：函数是数学分析中补充的最重要的超越函数之一，在求解定积分，无穷积分和含参变量积分中有巧妙的应用.此外函数在概率统计中很多的常见分布(正态分布，Laplace分布)的概率密度函数都含有指数函数在求其数字特征时，利用函数会使计算简单有效.但是在文献1中只是简单介绍函数的基本表达式等基本性质.本文将首先介绍函数的两种等价定义，证明其等价性，然后把函数的定义推广到复平面上讨论.
2、关键词：函数；定积分；无穷积分；含参变量积分 目录一、函数的两种等价定义 1（一）定义11 定义21 推广定义2（二）证明定义1和定义2的等价性2二、函数的性质 3 （一）连续性3（二）可微性3 （三）运算性质4三、性质的应用5（一）连续性的应用5（二）函数与函数的关系的应用6（三）函数在积分运算中的应用7（四）应用函数求解含参变量无穷积分7（五）函数应用在讨论积分的敛散性中8（六）函数在概率论中的应用9四、结束语 11参考文献 11首先介绍函数在实数域中的两种等价定义，在讨论它们的定义域，然后推广到复数域.一、函数的两种等价定义（一）定义1 函数最初由Euler(1927)以无穷积分的形式所
3、定义并有Legendre所命名.设是所有异于0及负整数的实数所组成的集合，对于任一把函数定义为： ,. (1)定义2 Legendre也把第二类型Euler积分 ， (2)定义为函数，这也是最常见的函数的定义.讨论常见函数定义2的定义域，即考察一下函数的收敛区间.有如下结论：在上收敛，在上发散.因为时，是瑕点，一般把函数写成如下两个积分之和 .其中，.对于，当时，是定积分，当时，是被积函数t的瑕点.由于，时，而在时是收敛的，所以也收敛.因积分是一个无穷积分，对于任意的，有.由无穷限积分敛散性判别法知，积分当时收敛，由上述讨论可知，同时收敛的区域为，所以的定义域为.推广定义 可以在复数域内讨论函
4、数.将(2)式中的换成复数，得到 . (3)易知这样所定义的在右半平面上处处解析.特别地，当是正实数时即得到(2)式所描述的函数.因此，我们也可以把看成复数形式的函数，他是实数形函数是推广.如果把(1)式中的变量换成复数，得到的相应函数的形式为 . ()()在时，()与(3)式是恒等的.Whittaker为了将(3)式推广到左半平面，得出了如下表达式，.（二）证明定义1和定义2的等价性下面证明(1)和(2)式是恒等的. 这也是Legendre把(2)式中的广义积分定义为函数的原因.证 由(1)式无穷乘积的普通因子为.对于任一，因为级数绝对收敛，所以(1)的无穷乘积绝对收敛，所以对于每个，有确定
5、的值.(1)式中前项部分乘积有如下形状.由此即得到EulerGauss公式，x. (4)写出的类似表达式，整理得.得到重要的递推公式 . (5)利用等式将(2)式写为(x) .反复利用分部积分法，得到.所以.即证明了(2)与(4)的恒等性. 因为(1)与(4)恒等，所以当时，(1)，(2)恒等.（当然当且时，积分是发散的.不能代表(1)，(2)所确定的函数）.二、函数的性质（一）连续性 在任何闭区间上，对于函数当时有由于收敛，所以在上一致收敛；对于，当时，有，因为收敛，所以在上也一致收敛，所以在上连续. （二）可微性 用相同的方法讨论积分.它在任何闭区间上一致收敛.于是由文献1定理19.10含
6、参量反常积分的可微性.得到在上可导，由的任意性，在上存在任意阶导数，.同样可以推导出在上存在着任意阶导数 ， . （三）运算性质性质1 .（已证） 性质2 .性质3 是凸函数.证 由hlder不等式知，若，则对任意可积函数成立.令, 则. 所以得到.即 .所以 .从而是凸函数.注 性质1、2、3不仅仅是函数的必要条件，还是函数的充分条件.即若函数定义在上，如果满足(1);(2)，;(3)是凸函数, 则. 性质4 若 则.证 由定义（2）及，得.性质5 ，且是常数，函数是严格单调递增的.证 令.由中值定理知, 存在, 有.因此：.即 即是严格单调递增的.余元公式及结论 .所以.三、性质的应用函数
7、可以应用在部分积分运算中和讨论一些积分的敛散性中，在此类题目中如果能结合函数将起到事半功倍的效果.（一）连续性的应用 用函数的连续性来证明函数的连续性.函数与函数之间的关系为.由在定义域内连续,在定义域内亦连续,所以在，内连续,即是关于，的二元连续函数,而是由和复合而成的二元连续函数,应用函数与函数之间的关系知,在定义域，内连续.例1 证明 .证 应用上述关系知，.所以+.（二）函数与函数的关系的应用函数与函数的关系的及例1的结论可以在解决某些极限符号与积分符号可交换中应用.例2 设函数列，证明:.证 因为 所以 ，.对任意，构造数项级数.由于.而，所以数项级数收敛.由级数收敛的必要条件知.所
8、以当时，.从而.由文献1知，所以.由函数与函数的关系知.于是.（三）函数在积分运算中的应用 例3 求积分，.解 令，则 令, 则，所以. 评：本题应用函数的基本性质来解答，如果应用常规解法将会陷入多次引用分部积分，有可能不能求解，应用函数的办法主要是看出与函数形式上的相同点，应用之可以快速的解答.利用性质四及函数的定义可以解下来积分：例4 求.解 令，则.例5 求.解 令，则.（四）应用函数求解含参变量无穷积分例6 求无穷积分.解 方法1我们先根据含参变量积分的性质来求其结果，令，对其求导得.令u ，则 .即=，两边同时积分得，再来求常数.在中，令则=，所以. 方法2 这是一个含参变量无穷积分
9、，为参数，假设0，令 ，则，.所以.上式中第一个积分因为被积函数是偶函数，所以为，第二个积分被积函数是奇函数，所以等于零.所以，当时，可同样讨论.（五）函数应用在讨论积分的敛散性中例7 讨论积分的敛散性.解 令， 则 ，则=.由本文前面的讨论知道在上收敛.所以本题中当时该积分收敛.（六）函数在概率论中的应用我们经常在求解概率分布、数学期望、方差、密度分布函数等，回遇到数学形式比较复杂的积分，常规方法不易求得，这时想到和函数联系起来，可以有效的求解概率论中的具体问题.为此应用到函数的另一种表达法，.以及正态分布计算中常用到概率积分=.例8 设连续随机变量，证明：，.因为，所以其概率密度为，.方法
10、一 利用上述积分计算.同理可得.方法二 可以直接利用函数计算.=.应用在求随机变量的矩例9 随机变量服从Laplace分布，其概率密度为=，求，为正整数.解 .对进行讨论，当为奇数时，为奇函数; 当为偶数时，为偶函数，易知为绝对收敛的.所以当为奇数时，当为偶数时，有.特殊时，所以.在概率论中的三大分布都与函数有关，现只用函数表示分布，设，设为的一个样本，先记它们的平方和为，即，则称为服从参数为的分布，记为，分布的概率密度由函数表示为.四、结束语 从本文来看，函数有着丰富的性质，只要熟练的了解这些性质并能灵活的运用之，对于解决类似所举例子的问题将会有另一种思路，对于提高发散思维有极大的裨益.参考
11、文献:1 华东师范大学数学系.数学分析(第二版)M.北京:高等教育出版社.2000年.2 王声望，郑维行.实变函数与泛函分析概要（第三版）M.北京:高等教育出版社.3 徐群芳.函数在概率论计算中的应用J.西安联合大学学报.2002, (4): 64-66.4 张占通等.函数表示法J.工科数学.1994. No3：193-196.5 纪荣芳.函数的性质及应用J.泰安师专学报.2002.5 第24卷第3期，12-15.6 沈京一. 函数性质的探讨J.常州工业技术学院学报(自然科学版).1990.No.2.53-55.7 胡春华.利用函数求积分J.高等数学研究.2005,8（4）.31-33.8 陈
12、超平等. 关于函数的一个凸性结果及其应用J. 数学研究与评论.2006.5,第26卷第2期，361-362.9 Frenzer. C. L Error bounds for asymptotic expansions of the ratio of two gamma functions J.Slam J. Math. Anal.1987, 890-893.10 Bullenp P. S. A Dictionary of Inequalities J.Pitman monographs and Surveys in pure and Applied Mathematics 97, Wesley
13、 Longman Limited 1998.The Properties and Application of Function Abstract: function is the mathematical analysis complement of one of the most important beyond function in solving the definite integral depending on a parameter, infinite integrals and contain in integral have clever applications. In
14、addition function in probability and statistics in many common distribution (normal distribution, Laplace distribution) the probability density function of contain index function. Asking the figure features, use function will make simple calculation effective. But in reference 1 function is introduc
15、ed simply the basic expressions etc. This will be the first basic properties of function introduced two equivalent definitions and prove the equivalence, function is defined extended to complex plane function discussion. Mainly introduces the common properties, and specific proof. This key part is the application in specific examples.Key words: functions; The integral; Infinite integrals; Contain integral parameter.
