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1、摘 要参数线性规划是约束条件和目标函数中的价值系数、工艺系数、资源限量中含有一个或多个参数的优化模型，是线性规划理论的重要组成部分，线性规划是运筹学的一个重要分支，从解决技术问题的最优化设计，到工业、农业、商业、交通运输、军事、经济等，在许多领域中都有着重要的应用。在生产过程中，由于工艺条件、资源限量、市场需求、市场价格等因素都在不断的变化，因此，最优解也就带有一定程度的不确定性。为了及时根据市场动态及数据资料的变化调整决策方案，运用参数线性规划这一工具，建立参数线性规划模型，可以更好地指导实际工作，适应市场的变化达到增加收益、降低成本的目的。1947年，Dantzig针对线性规划提出了单纯形
2、法，为线性规划发展奠定了基础；1954年，C.莱姆基提出了对偶单纯形法；1954年，S.加斯和T.萨迪等人在对偶单纯形法的基础上解决了线性规划的灵敏度分析和参数规划问题。近年来，参数线性规划模型在单纯形法和对偶单纯形法的基础上，又产生了搜索法、分块矩阵法、建立神经网络模型法等方法，随着计算机软件的发展，通过建立仿真模型用计算机解决参数线性规划问题也成为一种重要的途径。本文针对价格系数和右端资源数据中同时含有两个参数的复杂情形，对实际问题建立了参数线性规划模型，并分析了最优解不变的情况下，参数的变化区间，找到了最优目标函数的变化规律，并用Matlab绘出了三维仿真图，为求解大型参数线性规划问题提
3、供了基础。关键词：参数线性规划；最优解；区间；对偶；决策变量AbstractParametric linear programming is one kind of optimal modle with some constraint conditions,which there exist one or more parametrics in the objective function,technology factors,or limited resourses.It is widly applicated to many fields from technical problems t
4、o optimization design,such as industrial,agricalfural,transportation,military,economic and so on.In the producing process,the solution of the parametric linear programming often will be some uncertainties,due to the change of technology conditions,resources,market demands,material prices and other f
5、actons.So in order to adjust decision schem and meet with the market needs,data must be changed timely and immdiatly.Parametric linear programming has play a important role in dealing with such problems.It has been a very useful tool for us to obtain decision plan and to increase value and reduce co
6、sts.In 1947, Dantzig proposed a important method,simplex method, laying the foundation for solving linear programming; in 1954, C.Lemke proposed dual simplex method; in 1954, S. Gaston and T. Saadi and others solved the parametric programming based on studing dual simplex method to the problem of th
7、e linear programming. In recent years, many new methods the parameters of linear programming model with the basis of simplex method and the dual simplex method, produced the search method, sub-block matrix method, the establishment of neural network models and other methods. With the development of
8、computer software, linear programming problem with parameters can be solved by computer through the establishment of simulation computer model. In this paper, a mathematical model is created in accordance with the practical problem which has two parameters,one is in the price coefficients,anothisin
9、the right resource data.The interval is obtained in the condition of analysis the optimal solution unchanged to provide the fundation to solve complicated parametric linear programming.By solving optimal solution,we have obtained the fuction with two parametrics.At last,the simulations have been giv
10、en by MATLAB.Keywords: Parametric linear programming; the optimal solution; interval; dual; decision variation目 录第一章 绪论11.1参数线性规划的研究背景11.1.1什么是线性规划11.1.2参数线性规划的内容11.2参数线性规划的研究现状21.3参数线性规划研究的意义3第二章 参数线性规划的理论42.1参数线性规划研究的常用方法42.1.1目标函数的系数含有参数的线性规划问题42.1.2约束条件右端的常数项含有参数的线性规划问题52.2线性规划灵敏度分析72.2.1什么是线性规划
11、的灵敏度72.2.2价值系数的灵敏度分析72.2.3资源限量的灵敏度分析10第三章 参数线性规划的数学建模143.1实际问题的提出143.2实际问题的分析与解决143.2.1获利最大的生产计划模型143.2.2 A产品的利润变化区间的确定方法163.2.3关于开发新产品的决策研究163.2.4购入原材料进行扩大再生产的必要性的理论分析173.2.5影子价格的含义及分析18第四章 两参数线性规划问题的解法204.1两参数线性规划的定义204.2两参数线性规划问题的求解方法204.3两参数线性规划问题的分析与求解22第五章 结论27参考文献28谢辞29附录一1附录二6参数线性规划的算法研究第一章
12、绪论1.1参数线性规划的研究背景1.1.1什么是线性规划 线性规划是运筹学的一个基本的，也是成熟的分支。为了解决二次世界大战中的后勤供应问题，早在20世纪30年代末期康托洛维奇和希奇柯克等在生产的组织和运输问题等方面就开始研究应用这一数学方法。10多年后Dantzig等人提出的单纯形方法给线性规划这一数学方法的成熟与发展奠定了坚实的理论基础。随着时间的推移，能用线性规划解决问题的类型在大量的增加。现在几乎所有的工业领域、商业领域、军事领域及科学技术的研究领域都在不同程度地运用这一方法。正是由于它的应用，全球每年各个领域节省了上亿万美元的资金，而各个生产部门也创造了大量的经济效益。我国在建国初期
13、就开始应用线性规划这一数学方法。线性规划方法是一种重要的数学方法，线性规划方法是企业进行总产量计划时常用的一种定量方法。线性规划是运筹学的一个最重要的分支，理论上最完善，实际应用得最广泛。主要用于研究有限资源的最佳分配问题，即如何对有限的资源作出最佳方式地调配和最有利地使用，以便最充分地发挥资源的效能去获取最佳的经济效益。由于有成熟的计算机应用软件的支持，采用线性规划模型安排生产计划，并不是一件困难的事情。在总体计划中，用线性规划模型解决问题的思路是，在有限的生产资源和市场需求条件约束下，求利润最大的总产量计划。该方法的最大优点是可以处理多品种问题，可解决如运输问题、生产的组织与计划问题、合理
14、下料问题、配料问题、布局问题、分派问题等。1.1.2参数线性规划的内容 在线性规划的实际应用中，由于某种原因，有时线性规划问题的目标函数的系数c和约束条件的常数项b的数据不是固定的常数，而有所波动。例如在制订生产计划时，一个工厂生产的各种产品的价格，由于原材料的供应价格有所波动，因而也有所波动。这样，代表总利润的目标函数中的价格系数c便会随某个参数（即原材料的价格升降百分数）而改变。又例如，在同样的问题中，由于供应原材料的单位的生产发生改变，原材料的限制量产生波动时，那么约束条件右端的常数项b也将随某个参数（即原材料生产增长的百分数）而有所改变。再比如，该工厂的工艺技术条件发生变化，那么原线性
15、规划问题约束条件的系数矩阵的系数就随之改变。这样的一些线性规划问题，便是所谓的“参数线性规划”。对于这种线性规划，我们所关心的时在参数的可能范围内，求出问题的最优解，即可以用原来数学模型按实际出现的目标函数的系数或约束条件右端的常数项来决策最优方案【2】。在实际的生产或经济活动中，应用线性规划方法解决实际问题时，仅仅求出最优解或最佳决策是不够的，还必须掌握参数变化对最优解或最佳决策的影响，即要做灵敏性分析。依据变化了的情况，采取相应的措施，做好相应预案，争取更好的经济利益。否则，如果事先对这方面的情况没有充分的了解和准确的估计，难免导致决策失误，造成经济上的损失。当线性规划中的工艺系数、价值系
16、数、资源限量中一个量或多个量变成确定或不确定区间里的一个参数时，这时线性规划模型就变成一个参数线性规划的模型。当对参数线性规划模型模型里的参数赋予具体的值的时候，这时又变成了线性规划模型。线性规划模型是研究参数线性规划的依据，所有的参数线性规划模型的建立于解决都是建立在线性规划模型的基础上。但现实中市场瞬息万变，变化是绝对的，工艺系数、新产品的加入、市场价格、资源需求等因素都在改变，原生产计划建立的线性规划模型也就不适用于实际生产中去了，这时候就需要建立参数线性规划模型，所以参数线性规划模型较线性规划模型在实际生产中更有实际意义。1.2参数线性规划的研究现状线性规划作为运筹学的一个重要分支，从
17、解决问题的最优化设计到工业、农业、交通运输军事等许多领域都有着重要的应用。参数线性规划是线性规划的重要组陈部分之一，几乎在Dantzig的单纯形法出现后不久，就开始了对参数线性规划的研究。参数线性规划的研究源于实际问题的需要，比如运输问题中的单位货物运价的变化（对应目标函数的价值系数的变化）；资源利用数量的变化（对应约束条件右端的资源限量的变化）；生产工艺改进（对应约束条件的工艺系数的变化）；甚至其中两者或三者皆变，所以对参数线性规划的研究有其现实意义。所以在1954年S.加斯和T.萨迪等人在C.莱姆基提出对偶单纯形法的基础上解决了线性规划的灵敏度分析和参数规划问题。目前，处理参数线性规划的主
18、要方法仍然是单纯形表上作业法，或是从对偶理论出发建立对偶单纯形表进行求解。此类方法属于对参数线性规划求解的传统方法，如当参数线性规划的决策变量和约束条件都比较多的时候，也就是所谓的规模比较大的时候，单纯形表上作业法的缺点就十分突出，处理起来非常困难，甚至求解失败，得不到最优决策。随着计算机软件功能的日渐增强，新的算法设计思想的日益活跃，给计算工作带来了更多的便利。经过许多科学家的努力，现在参数线性规划在以单纯形表法的基础上得到许多新的算法。如当参数、约束条件、决策变量都比较多的时候，也就是大型参数线性规划模型求解时，可以用搜索法确定参数变化区间，从而确定最优决策；分块矩阵方法求解参数线性规划；
19、利用进化策略和神经网络模型建立参数线性规划的数学模型，采用精英保留策略的方法求的最优解。但是以上各种方法都存在局限性，局部使用，没有完整的理论体系，所以参数线性规划的算法研究还有很地方需要改进和努力。1.3参数线性规划研究的意义线性规划应用于工业、农业、商业、行政、军事、公用事业等各个领域，从各种限制条件的组合中，选择出最为合理的计算方法，建立线性规划模型从而求得最佳结果。在实际生产、经营、管理等活动中会因各种因素的变化而导致最优决策而改变，所以一般的线性规划模型为企业管理提供了理论基础，但该线性规划下建立的数学模型不适合应用于实际生产活动中去，所以用一些不确定的参数来代表目标函数或约束条件中
20、的不确定因子，从而引出了参数线性规划的概念。参数线性规划，在实际工作中有较广泛的应用价值，解决了参数连续变化时，最优解的变化规律，确定了最优解发生变化的各个的取值，最终解决实际工作中的各类问题。第二章 参数线性规划的理论2.1参数线性规划研究的常用方法2.1.1目标函数的系数含有参数的线性规划问题一般地，假定线性规划问题的目标函数的系数向量C变成，其中 2-1这时，可行域一般不变化，故原问题的最优解还是新问题的基本可行解。但是，需要修改目标行。新检验数为，其中；新目标函数值为。要使原问题的最优解还是新问题的最优解，则要求。 若，则等价于； 若，则等价于。 令 2-2则要使成立，便要。 与分别称
21、为B的下特征数和上特征数，而闭区间称为B的最优区间。 因此对于B的最优区间中的每个所对应的解都是新问题的最优解，目标函数的最大值为，其中。即对于B的最优区间中每个所对应的最优解是相同的，但目标函数的最大值为的函数【1】。 现在考察对于最优区间外的值，最优解的变化情况。 首先，当（为一有限数）时，求解所给线性规划问题。 假设j=s时，则。于是当时，得。这时，如果单纯形表中对应的列没有正数，则目标函数无上届，新问题无最优解，否则用单纯形方法进行换基迭代,从而得到一个新的最优解。 其次，当（为一有限数）时，求解所给线性规划问题。 假设j=t时，则。于是当时，得。同上面一样用单纯形方法进行换基迭代，从
22、而得到一个新的最优解，或判明此问题无最优解。2.1.2约束条件右端的常数项含有参数的线性规划问题 假定线性规划问题的约束条件的右端常数项b变成，其中。这时，只需修改右端一列，便可得到新问题的单纯形表，新表右端一列为 2-3检验数均不改变，故仍然有。要使原问题的最优基还是新问题的最优基，则要求 2-4如果，那么等价于；如果，那么等价于。令 2-5那么要使成立，便要与分别称为B的上特征数与下特征数，而闭区间称为B的最优区间。因此对于最优区间中的每个所对应的解 2-6都是最优解，这时目标函数的最大值为 2-7其中 2-8与前一种参数线性规划不同，这里，对于B的最优区间中每个，不但目标函数的最大值是的
23、函数，而是最优解也是的函数。现在我们考察对于最优区间外的其他值，最优解的变化情况。首先，考察的情形。假设是在时达到的，即 2-9于是由得 2-10即 2-11这时如果单纯形表中第r行没有负数,则当时，问题无最优解；如果有负数，则用对偶单纯形方法进行换基迭代，从而可得时的一个新的最优解。其次，考察的情形。假设是在时达到的，即 2-12于是由得 2-13即 2-14这时再用对偶单纯形方法进行换基迭代，或判明无最优解。2.2线性规划灵敏度分析2.2.1什么是线性规划的灵敏度当线性规划问题数据比较准确，约束条件比较完整时，得到的解对指导实际管理的可靠性就大。事实上，在生产过程中，工艺条件、资源数量、市
24、场需求、市场价格等因素都在不断地变化，有些数据也是通过估计或预测得到的，带有不确定性，这时得到的解也就带有一定程度的不准确性。有些数据在一定范围内变化时，最优解可能改变也可能不变。例如，产品A市场价格为6元/件，一个月降到5元/件，这时产品A的生产量就有可能变化或者由于利润太低而不生产产品A。又如，原材料供应量变化或者改变工艺、增加新的产品等因素的变化，原决策方案就要随之改变。这些现象都是客观存在的。做为企业决策者必须随时掌握市场动态及数据资料的变化情况，及时调整决策方案，有效的利用线性规划这一工具，更好地指导实际工作，达到增加效益、降低成本的目的。线性规划的灵敏度分析（Sensitive A
25、nalysis）也称为敏感性分析，它是研究和分析参数的波动对最优解的影响程度，主要研究下面两个方面：（1） 参数在什么范围内变化时，原最优解或最优基不变；（2） 模型发生变化（增减约束、变量，参数变化）时，最优解或最优基有何变化。当模型的参数发生变化后，可以不必对线性规划问题重新求解，直接在原线性规划取得的最优结果的基础上进行分析或求解，既可减少计算量，又可根据参数的变化范围，及时对原决策做出正确的调整和修正。2.2.2价值系数的灵敏度分析为使最优解不变，求的变化范围。设线性规划其中线性规划存在最优解，设最优基矩阵为 2-15检验数为 2-16要使最优解不变，即当变化为后，检验数仍然是小于等于
26、零，即 2-17这时分是非基变量和基变量的系数两种情况讨论。（1）是非基变量的系数即，当时最优解不变，否则最优解就要改变。（2）是基变量的系数因，当变化为后后同时变化，令当时有，当时有。令 2-18要使得所有，有 只要求出上限及下限就可以求出的变化区间。因，故，。具体计算，时可以按的符号分成两部分，分别求比值，然后在比值为负号中取最大者就是，比值为正号取最小者就是，当出现时，可能无上界或无下界。问题1.已知线性规划（1）求最优解（2）分别求，的变化范围，使得最优解不变解 （1）加入松弛变量，用单纯形法求解最优表如表2-1所示。表2-1113000013010-21100110001000155
27、150-300-1-2最优解为，最优值Z=50。（2）为非基变量，为基变量，则变化范围是或对于：表2-1中对应行的系数只有一个负数，有两个正数及，则有的变化范围是，或对于：表2-1中对应行，而，则有无上界，即有，的变化范围是或。对的变化范围，也可以直接从表退出，将写成。分别计算非基变量的检验数并令其小于等于零，要使，同时小于等于零，解不等式组得，同理，用此方法可求出和的变化区间。2.2.3资源限量的灵敏度分析 为了使最优基不变，求的变化范围。设的增量为，的增量,原线性规划的最优解为X，基变量。 3-19 3-20 3-21既要满足 3-22当时有，当时有。令 3-23因而要使得所有，必须满足这
28、个公式与求的上、下限的公式类似，比值的分子都小于等于零，分母是中第r列的元素，大于等于比值小于零的最大值，小于等于比值大于零的最小值。当某个时，可能无上界或无下界。问题2.已知线性规划求，分别在什么范围内变化时，原最优基不变。由表2-1知，最优基，分别为 对于：比值的分母取的第一列，这里只有，而，则无上界，即，因而在内变化时最优基不变。 对于：比值的分母去的第二列，则即在上变化时最优基不变。 对于：比值的分母取的第三列，有故有，在上变化时最优基不变上述及的最大允许变化范围是假定其他参数不变的前提下，单个参数的变化范围，当几个参数同时在各自范围内变化时，最优解或最优基有可能改变。第三章 参数线性
29、规划的数学建模3.1实际问题的提出根据市场要求，某生产单位可生产A、B、C三种产品，其所需专业技人员，材料等有关数据见表3-1。表3-1 产 品资 源A B C可用量（单位）技术力量材料 6 3 5 3 4 54530产品利润（万元） 3 1 4根据表3-1的资料，要求计算确定：1） 获得利润最大的产品生产计划；2） 产品A的利润在什么范围内变动，前面计算出的最优生产计划不发生变化；3） 如果开发一种新产品D，单位技术力量消耗是8，材料消耗2单位，每件新产品可获利3万元，如果从经济效益考虑，那么，这种新开发的产品是否值得生产；4)该生产单位的技术力量数量是固定不变的,但生产材料不足时可以从市场
30、购买,每单位购入价为0.4万元,那么,该单位要不要购入生产材料扩大生产,以购入多少最为适宜？这是一个实际生产的决策问题，下面按要求分别计算最优解，获取量化的最优决策。3.2实际问题的分析与解决3.2.1获利最大的生产计划模型首先，根据表3-1的资料建立数学模型，设A产品生产件B产品生产件C产品生产件那么，最优生产计划的数学模型可以写成如下形式：其次，将上述数学模型化为标准形式，以便利用单纯形法进行解算。加入松弛变量，得到以下标准形式：用单纯形法求出上述线性规划问题的最优解。见表3-2表3-231400基0045306334551000931400041563-10110-11000345310
31、10100-200经过用单纯形法计算求得最优解,即能够获利润最大的生产计划:A产品生产5件,B产品不生产,C产品生产3件。这样，可以获得最大利润，最大利润为maxZ=35+43=27(万元)3.2.2 A产品的利润变化区间的确定方法产品A的利润在什么范围内变化,使得前面求出的最优生产计划(最大利润)不变呢?设A产品的利润为d，将d带入表3-2中，把的系数换成，很显然，如果检验数，则说明仍为最优解，换而言之，的变化区间求出来了，问题就解决了，仍利用原单纯形表重新计算检验数。见表3-2最下面一行。根据计算出的检验数，有下列结果，如果则最优解不变。解上式得于是，得到这样的结论：第一临界值为，第二临界
32、值为，产品A利润在范围内变化时，不会对原最优生产计划产生影响。3.2.3关于开发新产品的决策研究按照前面的材料及要求，如果生产新产品D，要消耗单位技术力量8，材料消耗2单位，每件产品利润为3万元，从经济效益考虑是否值得生产？针对这种问题，可以重新建立数学模型，求出最优解，与原最优解对比。以确定是否生产新产品。但实际工作中，尤其是比较复杂的生产决策问题，如果用下面的方法处理，似更简单直观。其原理和结果都是一样的。设：增加新产品D生产件，则，根据原最终表上式中的是原最终表检验数的相反数。据此，在原最终表上增加一列，继续迭代：表3-3314003基34531010120-20345011000根据上
33、述计算结果,代入数学模型,得到以下结论:如果增加新产品D(万元)而增加产品D获得利润为27.5万元，大于原最大生产利润0.5万元（原最大利润27万元），从经济效益考虑，是值得生产的。3.2.4购入原材料进行扩大再生产的必要性的理论分析由于问题提出的前提是技术力量不变，如果需要时可以增加购买原材料，单位价格0.4万元，这一问题的实质是确定是否增加投入，购买原材料，扩大生产，那么购买多少最适宜。仍利用原最终表，并将参数直接反映到最终表上，采用对偶单纯形法计算见表3-4。表3-431400基3453101010-20（将参数直接反映到最终表）34101010-20049-3101-110 00原最终
34、表中最后一列检验数“”是影子价格，绝对值为0.6万元，而0.60.4（万元），故购入原材料是合算的。关于影子价格的含义在后面专门介绍。经过上述计算，得到的结果是：材料市场价格低于影子价格，故可购入，用参数规划计算，确定购15个单位最佳。3.2.5影子价格的含义及分析关于影子价格，仍用前例来说明。在表中技术力量可用量为45（单位），材料可用量为30（单位）。从广义上理解，45和30代表的是不同资源的拥有量，它的对偶变量则代表对第种资源的估价。这种估价不是资源的市场价格，而是根据资源在生产中产生贡献所作出的估价，它是生产单位的产品所存在的一种特殊的估计价格，在经济学中称之为影子价格（shadowp
35、rice）【3】。（1）资源的市场价格是已知数，相对而言，是比较稳定的，而影子价格直接受到资源利用情况的影响，因此是未知数。从前面的例子可以知道，如果生产单位的生产任务、产品结构等情况发生变化时，资源的影子价格也会随之改变。（2）影子价格是一种边际价格。由对偶问题的性质可知，在利用单纯形法每步迭代中，恒有，由于，故。如果原问题中的，都不发生变化，而中只有发生变化，可以预见，若限定在某一范围内变化时，原问题的最优基B可能保持不变，这里若把最优解对应的目标函数值，看成是的函数，则偏导数 3-1即为增加一个单位时所引起的最优值的改变量。（3）资源的影子价格又是一种机会成本。仍以前例来说明，如果购买原
36、材料，其市场价格是0.4万元，而计算出的影子价格是0.6万元，当然买进时合算的。鉴此，可以得出这样的结果：在生产决策中，资源的市场价格低于影子价格，即可买进，反之又可以卖出这种资源。影子价格与市场价格保持同等水平，则处于平衡状态【3】。（4）由于对偶问题的互补松弛性质中有“当时，当时有”，这表明生产中若某种资源的拥有量未得到充分利用时，该资源的影子价格为0时，表明该种资源在生产中以耗尽。（5）影子价格的计算可以反映出产品的隐含成本，（生产单位产品消耗资源的影子价格的总和即产品的隐含成本）。当产品产值大于隐含成本时，表明生产该种产品有利，反之，说明利用该资源生产其他产品会更有利。此即单纯形法中各
37、个检验数的经济意义。（6）一般来说，对线性规划原问题求解是确定资源的最优配置，而对于对偶问题的求解则是对资源的恰当估价，这种估价对合理利用资源，控制成本，计算最低利润等都是实用有效的。第四章 两参数线性规划问题的解法4.1两参数线性规划的定义两参数线性规划定义为如下形式的线性规划（记为） 4-1其中是给定的价值向量，是给定的变化向量，是给定的右端系数向量， 是变化向量，为未知参数。显然，当时，变成，这就是通常的线性规划问题。对于，如果改变参数的值，将引起全体价值系数的变化，如果改变参数的，将约束方程右端系数同时发生变化。我们来讨论随着，取值的变化，最优解将发生什么变化【10】。4.2两参数线性
38、规划问题的求解方法首先需要用分块矩阵将的单纯形法进行简化。为如下的线性规划： 4-2设，则矩阵形式为： 4-3若是最优基，则单纯形法的实施步骤可简化如下 4-4其中I为单位阵，为非基变量的检验数，它是非负的。由得最终表4-4可以看出，最优解。下面我们来讨论的求解方法。同前一样，的单纯形法可简化如下： ， 4-5其中同前所述，。下面我们分四种情况来讨论：情形 当，且时，与有相同的最优基，其最优解为：， 。情形 当，且，用单纯形法继续换基即可。具体步骤如下：1） 求的最终表4-5、最优基及。 4-62） 在4-5的末行添加，末列添加得到一个新的分块矩阵 4-7对此矩阵试行行的初等变换即得4-7。3
39、） 对4-7施行单纯形法，继续换基就可得最优解、最优值。情形 当且时，用对偶单纯形法继续换基即可。情形 当且时，这就需要引进人工变量，用大法求解。4.3两参数线性规划问题的分析与求解讨论当，时，下列参数线性规划问题的最优解：解 将上述模型化为标准型1） 求的最终表由的最终表可得2） 由的最终表可得如下：。3）a当且即，。b.当，时，用对偶单纯形法求解，分两种情况讨论：当时，此时以为主元进行换基运算如下：。此时，最优解为，。当时，以为主元换基运算如下： 。此时，最优解为， 。c.当，时，这时以为主元进行换基运算如下：此时，最优解为，。d.当，时，用大法求解如下：其中。此时，最优解为，。 综上，得
40、出该两参数线性规划的优化结果是分片函数：其部分仿真结果如图4-1，4-2。图4-1图4-2第五章 结论参数线性规划理论从提出至今已有五十多年的历史，期间大量的数学家共同努力研究出许多关于参数线性规划的算法，针对实际问题建立参数线性规划模型并求得最优解，解决了大量生产管理和科学技术中的问题。参数线性规划的研究意义重大，实际处理时可将参数线性规划模型与线性规划理论密切联系，并运用到实际生产活动中，为实际生产活动提供理论指导，达到了增加收益、降低成本的目的。目前参数线性规划还有许多问题需要进一步的研究。比如当A,C,b同时变化时如何有效快捷地求出最优解的特征区间；如何解决参数、约束条件都非常多的大型
41、参数线性规划模型问题等，还有许多工作要做。参数线性规划的理论研究还需要进一步深化。由于实际问题影响因素的日益复杂化，参数线性规划问题的规模也在逐渐增大。参数线性规划的算法还需要进行更加深入的研究和改进。应用计算机软件，利用计算机快速求解参数线性规划问题。还需要进一步完善理论研究成果，使参数线性规划模型在跟踪市场动态，准确快速提供决策方面发挥更加积极的作用。参考文献1 卢开澄，卢华明.线性规划M.清华大学出版社，2009. 2 利奥尼德尼森瓦泽斯坦，克里斯托弗卡特利尔伯恩.线性规划导论（英文版）M.机械工业出版社，2005.3 张干宗.线性规划M.武汉大学出版社，2005.4 希利尔.运筹学导论M.清华大学出版社，2007.5 熊伟.运筹学M.武汉理工大学出版社，2005. 6 简金宝，韦小鹏.变量有界单参数线性规划的灵敏度分析J.河南师范大学学报，2007，35(3).101105. 7 朴凤华，张永.二层参数线性规划的灵敏度分析J.通化师范学院学报，2005，26(6).258261. 8 靖新，缪淑贤，
