毕业论文几何活动轮廓模型在图像分割中的应用研究.doc

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1、毕 业 论 文学生姓名 学 号院 (系)专 业题 目几何活动轮廓模型在图像分割中的应用研究指导教师宋 毅（硕士）年月摘要：图像分割在医学图像处理与分析中有着重要的研究意义，也一直是国内外学者研究的热点。近些年来几何活动轮廓模型被广泛的应用于非刚性物体的分割中，与传统的分割算法相比表现出很高的优越性。但几何活动轮廓模型本身也存在缺陷，如计算复杂度比较高、图像的弱边缘收敛性比较差等问题。针对传统几何活动轮廓模型的理论分析。本文主要是围绕几何活动轮廓模型的理论基础曲线演化理论、水平集方法以及近些年来提出的水平集方法的快速实现算法进行总结分析，对经典的几何活动轮廓模型进行了研究，归纳得到算法的优缺点并

2、找出算法实现的瓶颈。依靠一种分割算法很难取得好的分割效果，因此本文提出了一种新的结合传统分割方法的图像分割算法。主要针对传统的几何活动轮廓模型在医学图像弱边缘处收敛性差的缺陷进行了研究，将分水岭方法引入到算法中，利用分水岭方法分割得到的区域信息定义区域水平集函数，使得分割算法的运行时间不依赖于图像的大小而是取决于分水岭方法对图像进行预分割后得到的区域数目。实验结果表明该方法对于医学图像有很好的分割结果，而且在一定程度上解决了尺寸大的图像运算复杂度高的问题。关键词：图像分割，几何活动轮廓模型，曲线演化，水平集方法，分水岭方法Abstract：Image segmentation plays an

3、 important part in the medical image processing. It is also a hot topic for scholars at home and abroad. Geometric active contour model is widly used in the non-rigid object segmentation in recent years，which shows great advantage over the traditional segmentation algorithm. But the geometric active

4、 contour model has some disadvantages such as the high complexity of the algorithm and its poor convergence to the weak edges of medical images. The theory of the traditional geometric active contour model is presented，It mainly includes the curve evolution theory, the level set method and the fast

5、implementation algorithm of the level set method. the advantages and disadvantages of the traditional algorithm are also analized. Meanwhile, it is very hard to get satisfactory segmentation results by using only one segmentation algorithm. Therefore a new segmentation algorithm which is implemented

6、 by combining the geometric active contour model with the traditional segmentation algorithm is proposed in the thesis.Due to the poor convergence of the traditional algorithm to the edges,watershed transform and level set method is proposed in the thesis. The region level set function is defined ac

7、cording to the presegmentation results. Then the processing time of the algorithm does not depend on the size of the image but the presegmentation region number. The experimental results show that the algorithm can obtain satisfactory segmenation results of the medical image and it solves the proble

8、m of high complexity in processing large images to some extent.Keywords：image segmentation, geometric active contour model, curve evolution, level set method, watershed transform 目 录1 绪论 41.1 课题研究的背景和意义41.2 国内外研究情况52 几何活动轮廓模型52.1 引言52.2 曲线演化理论62.3 水平集方法72.3.1 水平集方法简介72.3.2 水平集方法的数学表达及数值实现92.4 水平集方法的

9、快速实现算法112.4.1 窄带法122.4.2 快速行进法132.5 几何活动轮廓模型的水平集表达143 几何活动轮廓模型在图像分割中的应用153.1 引言153.2 Mumford-Shah 模型及简化的 C-V 模型163.2.1 Mumford-Shah 模型及 C-V 模型简介163.2.2 C-V 模型的水平集表达及数值解法173.2.3 C-V 模型用于多类物体分割问题193.3 测地活动轮廓模型(Geodesic Active Contour Model)213.4 GVF 测地活动轮廓模型233.4.1 梯度向量流GVF(Gradient Vector Flow)233.4.

10、2 GVF 测地活动轮廓模型理论表述243.5 RAGS （Region-aided Geometric Snake）254 基于分水岭和水平集方法的脑部核磁共振图像分割算法研究264.1 引言264.2 分水岭方法 Watershed264.3 区域竞争法 Region Competition284.4 结合分水岭方法和基于区域信息水平集方法的图像分割算法294.4.1 算法描述294.4.2 实验结果与讨论324.5 结论34总结及展望35参 考 文 献36致 谢371 绪论1.1 课题研究的背景和意义图像分割是计算机视觉系统中底层的计算机视觉处理技术，但也是图像处理和计算机视觉领域中一个

11、最基本而又十分重要的步骤，图像分割的准确性直接影响到计算机视觉系统中高层处理地进行。近些年来，计算机视觉系统被广泛应用到医学领域。医学图像处理与分析在医学临床诊断、教学、科研中起着非常重要的作用。医学图像与普通图像存在一定差别，医学图像本质上具有模糊性和不均匀性等特点：(1) 图像灰度上的模糊性。例如：同一组织中CT 值会出现大幅度变化，如牙齿的密度就有很大的差别。同时由于图像在采集过程中会加入一些噪声信号，这些信号往往会模糊物体的边缘；以及由于人体的部分组织的蠕动等生理现象也会造成图像边界的模糊效应。(2) 局部体效应。在一个边界上的体素中，常常同时包含边界和物体两种物质；图像中物体的边缘、

12、拐角及区域间的关系都难以精确的描述；一些病变组织侵袭周围组织，其边缘无法明确的界定。(3) 不确定性知识。正常组织或部位没有的结构在病变情况下出现，如脏器官表面的肿物等，这些结构对建造模型带来很大困难。为了克服以上缺点，准确的分辨医学影像中正常的组织结构和异常的病变，需要对图像进行分割，因此医学图像分割具有特殊的意义。传统的医学图像分割方法大致可以分为两类：(1) 基于区域的分割方法。该方法主要是根据同一区域的均匀性，主要有纹理、灰度、颜色等统计特性识别图像中的不同区域。基于区域的分割方法主要有：阈值分割、区域生长和分裂合并、分类器和聚类、基于随机场的方法和一些统计学的方法。(2) 基于边缘的

13、分割方法。由于区域边缘上的像素灰度值的变化比较剧烈，因此该种方法试图通过检测不同区域间的边缘来解决图像分割问题。常见的基于边缘的分割方法有：并行微分算子、基于曲面拟合的方法 、边界曲线拟合法、串行边界查找。由上所述可以看出，基于区域的分割方法主要是依靠区域的均匀性，但是由于医学图像本质上的模糊性和不均匀性等特点，使得基于区域的分割方法很难将医学图像的组织结构准确的分割出来；基于边缘的分割方法常常导致不完全部分的分割结果，容易使得分割结果中存在间断现象，或者错误的边缘。并且，该分割方法容易受到噪声的影响，鲁棒性较差。为此，结合区域信息和边缘信息的形变模型成为目前研究最多的分割方法，被称为是过去几

14、年计算机视觉领域成功的关键。形变模型可分为参数形变模型和几何形变模型。由于几何形变模型可以很自然的处理曲线演化过程中几何的拓扑变化问题，因而更适用于医学图像中组织器官分割。1.2 国内外研究情况几何活动轮廓模型最早是由 Caselles和Malladi等人提出的，它将图像的分割问题转化为求能量泛函的最优解问题，并且用更准确的数学语言来描述。几何活动轮廓模型是以曲线演化理论和水平集方法为理论基础，其中水平集方法为几何活动轮廓模型可以解决几何拓扑变化问题提供了数学实现基础。Mumford-Shah 模型9 的简化形式C-V 模型1是一种典型的基于区域信息的几何活动轮廓模型。为了解决多类物体的分割问

15、题，T.Chan等人又提出了用多个水平集函数进行分割的几何活动轮廓模型，并且取得了比较理想的分割效果。测地活动轮廓模型则主要是基于边界信息的几何活动轮廓模型，模型中的速度函数主要通过边界信息作为约束，使得曲线最终演化到物体的边界处10。近些年来，为了提高算法分割的准确性，研究学者逐渐的将外力加入到传统的几何活动轮廓模型中。虽然以上提及的方法都已经对传统几何活动轮廓模型进行了改进，但是对比度低，有弱边缘的图像仍然没有一个比较普遍的分割方法。本文的研究目的在于，提出一种新的几何活动轮廓模型，不仅可以准确分割具有弱边缘的医学图像同时具有较低的运算复杂度。2 几何活动轮廓模型2.1 引言几何活动轮廓模

16、型是形变模型的一种，它是结合了边界信息和区域信息的分割模型，克服了单独依靠边界信息或区域信息的图像处理技术的缺点，体现了一种高效的图像分析方法。基于几何活动轮廓模型的图像处理方法是将获取图像的边界问题转化为求解能量泛函的最优解问题，实现了与几何学、物理学的结合。它也是继参数活动轮廓模型后形变模型的又一发展。虽然参数活动轮廓模型有许多其它的图像分割方法无法比拟的优点：1、用参数显式的表示曲线，这样可以使用户通过修改内能和外能，使模型可以脱离局部极小值，从而得到最优解即所要获得的目标物体的边界。2、通过内能控制轮廓的光滑性和连续性，在一定程度上克服图像的噪声和边缘狭缝。但是参数形变模型也有一定的缺

17、点：1、模型对于初始化条件很敏感。由于外力的吸引范围比较小，所以当初始轮廓距离实际的轮廓比较远时，算法最终将很难找到真正的目标轮廓。2、参数轮廓模型需要调节大量的参数，并且参数的调整与图像本身的特性有很大的关系，没有规律可循。参数的调整直接影响到最终提取的轮廓的精确度。3、参数化的模型不能自动的处理模型的分裂与合并，不能自动的实现拓扑变化。虽然最近出现的T-snake模型在一定程度上对该缺点有所改进，但由于算法的计算复杂度比较高，使得它并没有得到广泛的应用。针对参数活动轮廓模型的缺点，几何活动轮廓模型在一定的程度上体现出了它的优势。几何活动轮廓模型是以曲线演化理论和水平集方法为理论基础，曲线的

18、演化与参数无关，仅仅依靠曲线的几何参量如曲率、法向量比较自然的实现曲线拓扑结构的变化。而且几何活动轮廓模型需要确定的参数较少，较容易实现。当然，几何活动轮廓模型也存在一定的缺点如：不容易直接在模型上施加用户交互力和约束。近几年来，基于水平集方法的几何活动轮廓模型已被广泛的应用于图像分割。2.2 曲线演化理论曲线演化理论被广泛的应用于形状平滑、形状分析和形状恢复等领域。曲线演化理论的基本思想为简单闭合曲线在一个已经定义的速度函数的作用下，随着时间的变化在曲线的法线方向进行演化。其数学表达式如下： （2-1）其中C (p,t) = (x(p,t), y(p,t) , p为任意参数化常量，t为时间变

19、量； V()函数，决定曲线上每一点的演化速度；为曲率 , 为单位法向量。曲线演化中最常用的是曲率演化和常量演化。1 曲率演化是指速度函数： V () = , （2-2）其中，为常量，为曲率；其几何热力学方程描述如下： （2-3）由文献3可知，任意形状的简单闭合曲线在偏微分方程(2-3)的作用下，将会逐渐变得平滑，并逐渐收缩成一个圆点。其过程如下图所示: （a） （b） （c） （d）图2.1 曲线的曲率演化过程2 常量演化是指速度函数： （2-4） 为常系数，常量演化方程表示式为： （2-5）常量演化会导致曲线出现尖角，并可能出现拓扑结构的变化。图2.2 (a)、(b)、(c)、(d)为曲线的

20、常量演化阶段图。 （a） （b） （c） （d）图2.2 曲线的常量演化过程(V0=1)由以上内容可知，曲率变形与常量变形的特性刚好相反，曲率变形消除曲线的角点，并且使得曲线变光滑，而常量变形则使曲线产生角点。因此，在实际的曲线演化过程中，往往要结合两种演化的特点，以达到预期要实现的演化结果。2.3 水平集方法2.3.1 水平集方法简介几何活动轮廓模型最大的优势在于它不依赖于活动轮廓的参数化方式，而是仅仅依靠简单的几何参数如：曲率和法线方向向量，实现曲线拓扑结构的变化，这些特征和水平集方法是分不开的。可以说几何活动轮廓模型和水平集方法是相辅相成的。水平集方法最初是由 Osher 和Sethia

21、n 提出的，用于解决遵循热力学方程下火苗外形的变化过程。由于火苗外形的高动态性和拓扑结构变化的随意性，显然用参数化的曲线或曲面来描述火苗的这种变化是非常费力的。水平集方法的主要思想是将平面闭合曲线用水平集方法隐含地表达为三维连续函数曲面(x,y)的一个具有相同数值的同值曲线，通常是(x,y)=0，称为零水平集，而(x,y)则被称为水平集函数。水平集方法处理平面曲线的演化过程并不是去跟踪演化后的曲线的位置，而是在二维固定坐标系中不断更新水平集函数，从而达到演化隐含在水平集函数中的闭合曲线的目的。其过程如图2.3 所示，图中显示了水平集函数随时间增长(t=0,1,2)演化后的形状，以及在每一时刻零

22、水平集的形状、大小。由图可知，当水平集函数随时间变化时，隐含在其中的曲线很自然的进行了演化，其主要表现在下图中曲线半径由小变大。图 2.3 基于水平集方法的曲线演化过程当水平集函数演化到一定的阶段，就会实现曲线的拓扑变化，其过程如图2.4 所示。由图(a)可知零水平集函数为两个独立的圆，当水平集函数经过数次演化后可以看到零水平集函数已经合并为一个连通域，实现了曲线的拓扑变化。（a）演化前的水平集函数以及相应的零水平集函数图(b) 演化后的水平集函数以及对应的零水平集函数图图 2.4 水平集函数演化实现曲线拓扑变化因此，水平集方法实现活动轮廓线演化具有如下的优点：(1) 如果速度函数V()是平滑

23、的，则水平集函数始终保持为一个函数，且水平集函数的零水平集，即演化曲线C 可以随着水平集函数的演化很自然地改变其拓扑结构。(2) 由于水平集函数始终保持为一个有效的函数，因此很容易实现数值近似算法，可以利用离散网格结构的有限差分方法实现水平集函数的演化。(3) 曲线C内在的几何特征，如内向单位法矢量和曲率等，可直接由水平集函数计算。(4) 水平集方法很容易扩展到高维情况，比如可以扩展到三维闭合曲面的演化，这对于三维图像的分割非常有用。2.3.2 水平集方法的数学表达及数值实现设连续函数(x,y,t)为水平集函数，它为闭合曲线C(p,t)：0p1在t时刻的隐含表达，即t时刻，C(p,t)对应于(

24、x,y,t)的零水平集 （2-6） 由于在水平集函数的演化过程中，我们要保持的零水平集的平面闭合曲线 （2-7）始终满足曲线演化的偏微分方程(2-6)。对方程(2-7)求全微分，得 （2-8）其中，是的梯度。设s是闭合曲线C 的弧长参数，根据水平集函数的定义，沿着曲线C 的方向的变化量为零，即： （2-9）由式(2-9)可知垂直于闭合曲线C的切线，因此，和C的法线同向。设位于C 内部函数的值为负，位于C外部函数的值为正，则水平集函数的内向单位法向量为： （2-10）将式(2-1)和式(2-10)代入式(2-8)，可得 （2-11）整理后可得： （2-12）其中，曲率可由下式求得：（2-13）这

25、样，给定几何活动轮廓线演化偏微分方程(2-1)以及任意水平集函数0(x,y):0(C0 )=0，方程(2-12)可以保证水平集函数(x,y,t)随时间的演化满足(C(p,t),t)=0的条件即的零水平集函数始终是活动轮廓线C(p,t) ,方程(2-12)称为曲线演化方程(2-1)的欧式表达。方程(2-12)是一种Hamilton-Jacobi类型的偏微分方程。水平集方法的一般步骤:(1) 确定初始演化曲线，将水平集函数初始化为符号距离函数(Signed Distance Function 记为：SDF)。(2) 根据具体的图像处理任务，确定出能量函数，然后由变分法求出对应的偏微分方程。(3)

26、所求得的偏微分方程进行网格离散化，运用恰当的数值解法，迭代水平集函数。(4) 对水平集函数按照下式：（2-14）进行重新初始化。(5) 按照离散化的偏微分方程对水平集函数进行下一步的迭代，直至能量函数取最小值。但具体实现水平集方法时，还需要考虑如下几个问题：(1) 由于初始化为SDF，即为(x,y,t=0) =d(x,y)。其中d(x)是点(x,y)到初始曲线C(t=0)的距离，其符号根据点(x,y)在曲线的内部还是外部而定，如果(x,y)位于C(t=0)的内部，则取正号（或负号），反之取负号（或正号），对于任意曲线，其符号距离函数的计算量比较大，因此，如何计算稳定任意曲线的SDF，对于提高水

27、平集方法的效率和稳定性非常重要。(2) 由于方程(2-12)仅仅从零水平集推导而来，一般速度函数V()只在零水平集定义，其他水平集没有定义，不过单位法矢量和曲率在所有的水平集都有定义，因此，演化时，需要一种方法将V()推广到所有的水平集，变为扩展的速度场VExt()。然而，许多扩展速度场的方法常常导致不再保持为SDF，从而引起单位法矢量和曲率的计算误差。因此，如何选择合适的方法扩展速度场，也是实现水平集方法时需要考虑的问题。(3) 如上所述，在水平集方法的实现中所提到的要在 演化一定的次数后需要重新初始化，如何确定重新初始化的时刻也影响算法实施的准确性。(4) 在几何活动轮廓模型的实际应用中，

28、常常利用常量演化对活动轮廓线产生大尺度的变形作用。然而，常量演化可能使平滑的水平集函数产生尖角，在这种情况下，的进一步演化就不能够确定。因为在尖角位置，单位法矢量的方向是不确定的。如何正确处理常量演化所导致的水平集函数奇异性的问题，也是实现水平集函数必须考虑的。为了利用水平集方法实现曲线演化，有必要采用适当的数值计算方法。实现的关键是如何高效稳定地将定义于连续空间的偏微分方程(2-12)以离散形式表示出来。由于水平集函数在演化过程中始终保持为一个函数，因此，我们可以用离散网格来表示水平集函数(x, y,t)。设离散网格的间隔为h，且在n时刻，节点ij处的水平集函数为。这里的t是时间步长，则方程

29、(2-12可以离散化为：（2-15）(2-15) 式中： 表示n 时刻扩展速度函数V Ext 位于网格点i,j 处的值。需要注意的是，上式中的(x,y,t)的有限数值差分 必须采取适当的形式，以免常量演化中导致的水平集函数的奇异性问题。在进一步的介绍方程(2-12)的数值解法时，首先引入如下符号代表的有限差分算子（2-16）对于图像分割应用，方程(2-12)的速度函数常常可以写成： （2-17）上式中： 是常量扩张速度（气压力）； 是曲率速度；是水平对流速度，则方程(2-12)的近似解为： （2-18） 这种差分方法称为逆向有限差分法(Upwind Finite Difference)。通过式

30、(2-18)，就可以利用迭代法来不断的更新水平集函数。更新完成后，利用轮廓检测方法，提取更新后的水平集函数的零水平集，即可得到更新后的闭合轮廓线。另外，闭合活动轮廓线的曲率可以直接采用中值差分方法来计算，即采用和来近似；而内向单位法矢量可以按照下式计算： （2-19）然后单位法矢量为：（2-20）2.4 水平集方法的快速实现算法由以上讨论的水平集方法的数值解法可知，水平集函数的演化需要对整个图像定义域的水平集函数值进行更新，这种方式计算量比较大，尤其是在图像比较大的情况下。实际的演化过程中，最主要的是零水平集的演化过程，如果对整个水平集函数都进行更新，显然是不需要的。因此，研究学者提出了窄带法

31、4和快速行进法6。2.4.1 窄带法窄带法最初由D.Chop在文献4中提出，Adalsteinsson和Sethian在文献5中给出了详细的实现。窄带法中的基本思想是只演化位于零水平集周围很窄的一个带状区域的水平集函数值。如图2.5所示，(a)中黑色圆形线为当前的零水平集，(b)中的网格为所选取的带状窄带区域。(a) 圆的Level Set 函数 (b) 相应的定义在窄带上的距离函数图 2.5 窄带法示意图由于窄带宽度一般较小，窄带内需要更新的网格点(激活点)不多，因此，更新水平集函数的计算量大大减小。不过，窄带法存在的问题是由于零水平集的移动，经过几次迭代后，可能超出窄带的范围，因此，需要经

32、常更新窄带内的水平集函数。更新的项目包括：更新窄带的内外部边界点，以保持窄带的有效范围；重新初始化水平集函数，保持水平集函数为符号距离函数。更新的方式和窄带的宽度有关，如果窄带宽度很小，则一次迭代零水平集曲线就有可能超出窄带范围，需要多次更新，这将增加计算量；如果窄带宽度很宽，则需要更新的窄带内的网格点比较多，计算量也比较大，因此应选一个折中的宽度，一般比较合理的窄带宽度是2= 12 16。下面给出窄带法更新水平集函数的基本流程：1. 构造窄带(1) 由初始闭合曲线C0，构造窄带内的符号距离函数，将窄带内的所有点记为激活点(Active)；(2) 标记窄带的边界点(Boundary)；(3)

33、将远离窄带的点标记为远点(Faraway)，并对 C0 以外的远点赋予较大的正值，C0内部的远点赋予较大的负值。2. 迭代。(4) 根据方程(2-18)，更新激活点的水平集函数 ；(5) 检测更新后 的零水平集曲线Cn，检查是否到达边界点，如果到达，则根据当前Cn，按照步骤1，重新构造窄带和SDF，然后继续迭代；(6) 收敛检查。由窄带法的实现过程可以看出，窄带大小的选取直接影响到水平集方法的实现速度和准确度。如果窄带过小，窄带需要重新更新的次数会增多，同样会增大计算量，因此，在窄带法的实现过程中，如何合理的选取窄带的宽度是一个非常关键的问题。2.4.2 快速行进法快速行进法是在考虑曲线演化的

34、特殊情况下提出来的，即方程(2-1)中的速度V()总是为正值或总为负值，同时由于时间变量可以消除，方程(2-1)称为静态Hamilton Jacobi 方程。设T(x,y)为界面到达(x,y)点的时间，则 (x,y,T(x,y)=0 （2-21）由隐函数求导法则得:（2-22）（2-23）由(2-12)式中的演化方程知: （2-24）由(2-22)，(2-23)和(2-24)三式得到 （2-25）这就把一个初值问题转化为边值问题来求解了。加入边界条件，得到边值条件的水平集演化方程： （2-26） T = 0 on C0 其中， C0 为界面的初始位置，(2-26)式称为Eikonal方程。Se

35、thian 在文献67中提出了求解该方程的快速行进法。利用逆向差分法(Upwind)，方程(2-25)的稳定解可由如下方程得到： （2-27）式中，D 和D+ 分别是后向与前向差分， （2-28）h 为网格大小。由方程(2-27)可知，边界面传播方向是从T 比较小的点流向T 比较大的点。根据这样的特点，Sethian提出了快速行进法来迅速传播边界值T 。基本思想是在传播边界外围构造一个激活窄带，窄带内的点的到达时间未定，当前传播边界利用迎风格式将当前外界向外传播，就像水波扩散一样，凡是扩散到的点，就冻结其波前到达时间，然后再根据当前的波前构造新的激活带，如此循环，就可以得到整个平面上每点的到达

36、时间。图 2.6 介绍了快速行进法的一般步骤：(a) 由当前点向外传播，更新其周围4 邻域 (b) 更新后得到新的激活点及其非冻结点的波前到达时间 波前到达时间(c) 从所有激活点中找出波前到达时间最小的 (d) 更新后得到新的激活点及其波前激活点 A，更新该点周围4邻域中非冻结点的 到达时间，以及原有激活点新的波前波前到达时间 到达时间，冻结 A 点(e)继续从剩下的所有激活点中找出波前到 (f) 更新后得到新的激活点及其波前达时间最小的激活点D，更新该点周围4 邻 到达时间，以及原有激活点新的波前域中非冻结点的波前到达时间 到达时间，冻结D点图 2.6 快速行进法的计算步骤快速行进法的计算

37、复杂度为O(N logN)，这里N为图像的点数。这比水平集的直接数值计算法的计算复杂度O(N2 )小多了。2.5 几何活动轮廓模型的水平集表达基于水平集方法的几何活动轮廓模型的基本表达式为： （2-29）式(2-29)中，为曲率，用于平滑曲线；V0为常数，用于膨胀和压缩曲线。c为乘性速度停止项，为图像数据的函数，当活动轮廓移动到图像边界时，c为零，轮廓线将停止移动。常见的几何活动轮廓模型如下：测地活动轮廓线方程： （2-30） 测地活动区域方程： （2-31）目前，对几何活动轮廓模型的研究主要是在针对速度函数的改进，并已经进一步改善水平集方法的性能。下章将详细介绍几种常见的几何活动轮廓模型在图

38、像分割中的应用。3 几何活动轮廓模型在图像分割中的应用3.1 引言图像分割是图像处理的经典问题，国内外的研究学者已经做了非常深入的研究。图像分割的数学定义如下：将一幅图像g(x, y) (其中0xMax_x，0yMax_y)进行分割就是将图像g(x,y)按照一定准则划分为不同的、不相关联的、非空子区域 g1，g2，g3，g4 如图3.1，图 3.1 图像分割示意图划分的准则如下：(1) ，即所有的子区域构成整个的图像区域。(2) ，即任意的两个子区域是没有公共元素，是不交叠的。(3) 区域满足一定的均匀性条件。均匀性是指同一区域内的像素点之间的灰度值差异较小，或灰度值的变化比较缓慢。根据图像分

39、割任务和算法的适用性不同，经典的图像分割方法可以分为：基于区域的图像分割方法和基于边界的图像分割方法。将区域信息和边界信息结合的几何活动轮廓模型成为目前研究最多、应用最广的图像分割方法。其中Mumford-Shah 模型的简化模型C-V 模型、测地活动轮廓模型是经典的几何活动轮廓模型。几何活动轮廓模型的水平集方法实现使得该模型可以实现图像分割过程中几何的拓扑变化。本章将重点介绍几种经典的几何活动轮廓模型，以及相应的实验仿真结果，对比这几种分割方法的优缺点，找出算法实现的瓶颈，为新算法的研究提供理论基础。3.2 Mumford-Shah 模型及简化的 C-V 模型3.2.1 Mumford-Sh

40、ah 模型及 C-V 模型简介D.Mumford 和 J.Shah提出了Mumford-Shah 模型，其原理如下：设为二维图像空间R2的有界开集，图像I0是定义在上的实值有界函数，是边界。I 是定义在上的可微函数，C 是一系列的不连续的边界曲线。Mumford-Shah 模型定义的能量泛函如下：（3-1）上式中 | C | 为C 的长度， 是固定的参数。第一项I 是I0 的近似；第二项要求I 是光滑的；第三项则保证边界越短越好。因此，很明显当EMS (I,C)取最小值时，所得边界将图像划分为若干个平滑区域，并且保留了尖锐边界C 。T.F.Chan 和 L.A.Vese提出了简化的Mumfor

41、d-shah 模型，将I 变为分段连续区域，即在每一个连通区域上，I = const ci ，则最小化能量函数EMS 的目的，就是寻找最优分割c0，使得分割图像和原图像I 之间的差异最小。（3-2）C-V模型旨在解决二类分割问题。设原图像I (x, y)被活动轮廓线C划分为目标0 和背景b 两个区域。各个区域的平均灰度值为 和c0，cb ，简化的能量泛函可以表示为：（3-3）上式中的C 是任意闭合活动轮廓线。当闭合活动轮廓线C 没有位于两个同质区域边界时，E(C)不可能达到最小值，如下图3.2(a)、(b)、(c)所示；(d)图显示了只有当轮廓线位于两个同质区域边界时，E(C)才能达到最小值。

42、图 3.2 C-V 分割模型示意图同时 Chan 和 Vese 将区域面积也考虑在内，最终提出的图像分割能量函数如下（3-4） 上式中， , ,1 ,2 为常数，且0，0， 1 0， 2 0；Length(C)为C的长度，Area(inside(C)为C内部区域的面积。最终分割轮廓线的位置以及未知参数C0 、Cb 经最优化式(3-4)得到，即（3-5）3.2.2 C-V 模型的水平集表达及数值解法设初始化的轮廓线为 C0 ，根据C0 构造初始化的水平集函数0 为符号距离函数，即 C0|0(x,y)=0,并设 为内正外负的符号距离函数，表示为：（3-6）Sethian 在文献7中用水平集函数表示

43、了轮廓线的长度Length(C)和轮廓线内部的面积Area(inside(C)，其表达式如下：（3-7）（3-8）上式中的是水平集函数的定义域；H(z)是Heaviside 函数，即 H(z)=1 if z0 H(z)=0 if z0 （3-9）(z)是Dirac函数，即（3-10）则（3-11）（3-12）最终能量函数式(3-4)可以表示为：（3-13）最终由欧拉-拉格朗日方法求解(3-13) 式，得到如下偏微分方程：（3-14）并且：(0,x,y) =0(x,y)，(3-14) 式中，（3-15）（3-16）(a) Heaviside 函数图 (b)Dirac 函数图图 3.3 Heavi

44、side 和 Dirac 函数示意图由图 3.3 的(a)和(b)可以看出近似的Heaviside 函数和Dirac 函数都有一个过渡带，这是满足实际情况的，如果物体的内部存在空洞，用(3-9)、(3-10)定义的Heaviside 函数和Dirac 函数将无法检测出区域内部空洞的边界。但是，如果采用(3-15)、(3-16)定义以上两个函数且取值比较小，内部空洞区域的边界和初始轮廓线的距离在Dirac 函数的有效范围内，则分割区域内中心空洞将被检测出来。以下图 3.4 为C-V 模型的实验结果图：(a)原图 (b)初始化轮廓 (c)5 次迭代 (d)10 次迭代 (e)15 次迭代(f)30 次迭代 (g)初始轮廓 (h)1 次迭代 (i)2 次迭代