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1、 矩阵的广义逆及其应用摘要：矩阵的广义逆，即Moore-Penrose逆，在众多理论与应用科学领域，例如微分方程、数值代数、线性统计推断、最优化、电网络分析、系统理论、测量学等，都扮演着不可或缺的重要角色。本文首先介绍了广义逆的定义以及广义逆的性质，主要内容是矩阵广义逆的应用，包括广义逆在分块矩阵理论中的各种应用，广义逆的Cramer法则和广义逆的计算，并对部分理论给出简单的解释，同时加以举例说明。关键词：分块矩阵；广义逆；MoorePenroce逆；Cramer法则.The generalized inverse matrix and its applicationAbstract: The
2、 generalized inverse of matrix, i.e. the inverse of Moore-Penrose, plays an indispensable role in many fields of theories and applied sciences, such as differential equation, numerical algebra, linear statistical inference, optimization, the analysis of electrical network, system theory and surveyin
3、g, etc.The thesis introduces the definition and the property of the generalized inverse for the first place, and its primary content is the application of generalized inverse matrix including its all kinds of applications in the block matrix theory, its Cramer rule and its calculation. Besides, brie
4、f explanations are given to some theories with illustrations.Key words: block matrix; generalized inverse; inverse of Moore-Penrose; Cramer rule.1引言矩阵的广义逆概念是由美国学者E.H.Moore首先提出的，但在此后的30多年里，矩阵的广义逆很少被人们所注意，直到1955年英国学者R.Penrose利用四个矩阵方程给出了广义逆矩阵的简洁实用的新定义之后，广义逆矩阵的理论与应用才进入了迅速发展的时期。半个世纪以来，在众多理论与应用科学领域都扮演着不可或
5、缺的重要角色。陈永林，张云孝，杨明，刘先忠,徐美进等在文献1,2, 12 , 14中给出了矩阵广义逆的定义，还对部分定义进行了举例证明。罗自炎，修乃华，杨明等又在文献8,14中给出了矩阵广义逆的各种定理；而陈明刚，燕列雅，李桃生，姜兴武，王秀玉，吴世，杜红霞，刘桂香等又分别在文献4,6,9,13，16中对矩阵广义逆进行了推广，介绍了分块矩阵的广义逆以及循环矩阵的广义逆。张静，徐美进，徐长青，杜先能,蔡秀珊, 崔雪芳等又在文献3,12,15，17,18中给出了矩阵广义逆的计算方法，并加以举例说明。同时还提出了广义逆的Cramer法则及其应用。潘芳芳，梁少辉，赵彬等又在文献5,11中介绍了Quan
6、tale矩阵的广义逆及其正定性。鲁立刚，何永济，王自风，赵梁红等则在文献7,10介绍了Fuzzy矩阵广义逆的性质和应用。本文在上述工作的基础上，总结了广义逆的定义以及广义逆的性质，给出矩阵广义逆在数学中的应用，包括广义逆在分块矩阵理论中的各种应用，广义逆的Cramer法则和广义逆的计算，并对部分理论给出简单的解释，对一些重要的结论给出典型例题加以说明。2.矩阵广义逆的定义及其推导2.1定义定义1.对于任意复数矩阵，如果存在，满足MoorePenroce方程则称为的一个MoorePenroce广义逆，或简称加号逆，记作=。如果某个只满足其中某几条，则称它为的某几条广义逆。如若有某个满足（1）式，
7、则称为的1广义逆，或简称减号逆，记作=。如果Y满足（1）和（2）式，则称为的广义逆，记作Y 1,2。例1.设当时，可逆,且;当时，不可逆,且不难验证。注意到,这说明的元素并非是关于的元素的连续函数。一般地，把的元素的变化引起其秩的变化时，这种非连续性将会发生。例2.设矩阵为矩阵。若，定义；当时，（）。定义2.设为行列矩阵，若其中，的级数相同，则。 （1-1）其中为行列式中元素的代数余子式，则称为的广义伴随矩阵。定义2.设为行列矩阵，若,则称为一广义非奇异矩阵；若，则称为一广义奇异矩阵。2.2方程的理论推导命题1.。证明：设,则因此满足矩阵方阵；反之，设为矩阵方程的一个解， 那么于是;所以 1,
8、3，从而1，3=为=的解。证毕。类似地，可得命题2.。由命题1和命题2立即可得命题3.。命题4. 如果,分别为矩阵方程的一个解，那么，证明：根据命题1和命题2可得;由的唯一性可知，,又所以，证毕。3.矩阵广义逆的定理定理1.的广义逆具有下列性质：； ； ； 例3.设矩阵,不难检验，,因此有,而,故 。例4.设矩阵满足为矩阵，且，则直接验证可得 因为 ，从而有证毕。定理2. 设l ，则（1） （2）证明：（1）先证第一个等价性，必要性是显然的。下证充分性。若且，则，且所以，将等式右消，可得,故。注意到等价于，用第一个等价性，可得此即第2个等价性。（2） 若,则反之，若,则可直接验明定理3 .下列
9、命题是等价的：（1）,(2) ,(3) ； (1) ,(2) ,(3) ； (1) ，(2) , (3) .定理4.如果矩阵的行（列）式,那么是的广义逆。证明:设， 因为所有,故是的广义逆。 证毕。下面给出求矩阵广义逆的初等变换法：本文只对的情况进行讨论，当时，利用列式相应的性质可得相应的结论，用表示矩阵的位于1，2，行；，列的元素构成的的阶子式定理5.设矩阵, ,如果的行列式不为零，则是的广义逆，其中是阶零矩阵,这里是列交换初等矩阵。 证明: 因为其中是一个矩阵，所以从而是的广义逆。证毕。一般地，如果矩阵是满秩的，且的阶子式的行列式不等于零，则当时，是的一个广义逆，其中P满足当时，设，则 是
10、 的广义逆。当时，两种方法求得矩阵的广义逆是相同的，都是矩阵的逆。如果，则两种方法求得矩阵的广义逆也有可能不同，并且由定理1、定理2的条件可知，定理2的应用范围更广。因为由可知是满秩的，但反之不成立。例5.设，因为，所以用伴随矩阵法求得的广义逆又因为的二阶子式, , 所以，可用初等变换法求得的广义逆， ,；， ；，.例如,若 ，则是满秩的。故该矩阵有广义逆，可用初等矩阵法求得，但由于，故不能用广义伴随矩阵法求的广义逆。定理6.当且仅当下面的两个等式成立,例6.考虑三角矩阵，显然其特征值为，由定义式直接解方程可得的特征值显然为0，但。进一步，可检验的对应特征值为0,2的特征向量分别为， 而的对应
11、特征值0, 的特征向量分别为，显然的特征向量均非的特征向量，但的特征向量一定是的特征向量。定理7.阶方阵为一个EP-矩阵当且仅当例7.仍考虑矩阵，由上例可得，,说明矩阵非EP-矩阵。定理8.阶方阵为一个EP-矩阵当且仅当这里均为矩阵。4.广义逆的应用4.1两分块矩阵的MP逆（）1964年，R.E.Cline获得了分块矩阵的MP逆的显式 （4.1）其中 , 。（）1971年，L.Mihalyffy得到了的较简公式 （4.2）其中, 四分块矩阵的MP逆1965年，R.E.Cline利用他自己的公式（4.1）给出了矩阵之和的MP逆的两个公式： （4.3）若,则有 （4.4）（）1975年，Ching
12、-hsing Hung与T.L.Markham写之后，利用公式（4.4），导出了的一个很复杂的表达式 (4.5)其中,。如果利用L.Mihalyffy的较简公式（4.2），则相关结果可稍稍简化。（1）,其中 （2）若,则其中, （3）,其中,均如公式（4.5）中所定义的，而P与Q定义为注：对于一般的四分块矩阵，其MP逆的表达式总是非常复杂的；只有在其子块具有若干特殊的性质与关系时，其MP逆的显式才可能简单些。4.2定理1.设,与分别是与的子空间，另设，,这里与均列满秩，记,，则有如下表示：（1a）, (1b) ;（2a）, (2b) 定理2.设存在，并设, ,均列满秩，则有下列表示：（1a）（
13、2a）定理3.设，存在，并设, ,此中, , 均列满秩，置，则可以表示为:(1a) ,其中为m维标准单位向量，（1b），其中为n维标准单位向量。（2a），其中， 为的第j列，（2b）,其中, , 为的第i行。（3a），其中与同，（3b），其中与同。（4a）,其中表示的第j列，（4b），其中表示U的第i行。定理4.（I）设，则：（1）MP逆（2）加权MP逆.（3）T-约束MP逆,其中（4）加权Drazin逆，其中 , , (5)Elden逆其中 ,.(II)设，则：(6)Drazin逆,其中.（7）群逆,其中.（8）逆,这里与满足（9）广义BD逆，其中为.阵，(10)为双侧-约束逆（双侧约束逆）
14、,其中为阵, 注：凡属于广义逆所获得的结论与公式，自然均适用于上述常用广义逆。但是，对特定的广义逆而言，因为有其特殊的性质，所有还可能有更简单的行列式公式。4.3矩阵广义逆的计算当目前为止，我们还没有找到像计算矩阵的一般逆的行之有效的方法来计算矩阵的广义逆,但在矩阵维数较小的前提下利用广义逆的定义式 来求广义逆不失为上策。下面就给出利用这一方法计算广义逆的基本步骤：首先，设矩阵: ， ,则存在矩阵: , : , , 使得 对矩阵的上述分解称为的满秩分解。由于矩阵,分别为满列、满行秩，由,直接验证得其中 。特别，当矩阵A本身为行向量（或列向量）时，上式表现为.下面来求矩阵的满秩分解。我们知道，满
15、秩分解可以通过矩阵的初等行变换来实现。为了求得矩阵，我们通过初等行变换化为阶梯形：，其中满足以下条件：()对于的每一行,存在，使得，且;（）对于的第列,存在唯一的非零元，即, 。例8.考虑矩阵，不难发现，,通过适当的初等行变换，例如（其中，表示将的第i行乘上a加到第j行上）可将矩阵化为于是由上述步骤，取, 。为了求得,的广义逆，我们可以对，进行初等行变换。另一计算的基本方法是利用矩阵的奇异值分解：其中矩阵均为酉矩阵。可得当时，从而；当时，从而例9.考虑矩阵的奇异值分解为因此，。从而将它代入，解得当然，由于本题中，故用方法1来计算更为方便。我们将要介绍的第三种方法涉及到矩阵分块。记则 (4.6)
16、其中， （4.7） (4.8)若矩阵已经给定，则我们可以利用（4.6）、（4.7）和（4.8），通过依次计算可得的广义逆。结论本文的研究是建立在线性代数的基础上的，在第一章我们首先介绍了广义逆矩阵的定义，对广义逆有了一个初步的认识；第二章介绍了广义逆矩阵的一些重要性质，让我们对广义逆矩阵有了更深层的认识；第三章对广义逆的应用进行了扩展介绍，给出矩阵广义逆矩阵的计算方法。本文还针对部分性质加入一些例证，对广义逆的定义，定理以及应用给出了更直观的说明。 尽管如此，本文对广义逆矩阵的介绍还是相当有限的，广义逆矩阵的性质和应用是非常广泛的。总体来说，关键的是要掌握其中的思想方法，以便能够做到举一反三，
17、更进一步地去学习研究广义逆矩阵的性质。参考文献1陈永林.广义逆矩阵的理论与方法M.南京：南京师范大学，2005（12）：20-226.2张云孝.广义逆矩阵及其应用的研究J.咸阳师专学报，1997（6）：10-12.3张静.求矩阵的广义逆J.内蒙古大学学报，2005： 379-382.4陈明刚，燕列雅.循环矩阵的性质及广义逆J.陕西理工学院学报，2009（3）：79-82.5潘芳芳.Quantale矩阵的广义逆J.南阳师范学院学报，2008（3）：15-16.6李桃生.分块矩阵的广义逆J.华中师范大学学报，1999（6）：162-164.7鲁立刚，何永济，王自风.广义Fuzzy矩阵的广义逆J.佳
18、木斯大学学报，1999（12）：430-432.8罗自炎，修乃华.矩阵广义逆的推广J.北京交通大学学报，2009（6）：116-120.9姜兴武，王秀玉.循环矩阵的广义逆J.吉林师范大学学报，2004（11）：4-5.10赵梁红.Fuzzy矩阵广义逆阵的一个应用J.绍兴文理学院学报，1999（6）：53-58.11梁少辉，赵彬.Quantale矩阵的广义逆及其正定性J.模糊系统与数学，2009（10）：41-47.12徐美进.求矩阵广义逆的另一种初等变换方法J.大学数学，2009（2）：168-171.13吴世轩，杜红霞.循环矩阵及分块循环矩阵的广义逆J.南方冶金学院学报，2005（2）：64
19、-67. 14杨明，刘先忠.矩阵论M.武汉：华中科技大学出版社 ，2003（9）：77-87. 15徐常青，杜先能.高等代数方法与应用M.安徽：安徽大学出版社，2002（9）：285-322.16刘桂香.分块矩阵广义逆的反问题J.扬州教育学院学报，2002（9）：1-17.17蔡秀珊.一种矩阵广义逆的求法J.三明师专学报，1998（2）：19-84.18崔雪芳.求矩阵广义逆的一种新方法J.宁波高等专科学校学报，1999（6）：121-125.19A.Ben-Israle,On error bounds for generalized inversesJ.SIAM.Numer.Anal.3(19
20、66):227-235. 20Xuzhou Chen,R.E.Hartwig,The hyperpower iteration revisitedJ.Linear Algebra Appl.233(1996):207-229.致 谢本文的完成首先要非常感谢我的论文指导老师，他对论文要求的严谨程度和一丝不苟的治学态度，以及在修改论文是的认真态度，都是非常值得我去学习的。同时，在很多我不会的问题方面给予了我很多帮助，并且不厌其烦的反复为我修改。其次，我还要感谢我的室友，和同学，在我忙于论文的期间，他们帮我解决了很多琐碎的事情，因而我得以安心才完成论文。最后要对那些百忙之中抽出时间来阅读和评审我的论文的老师和专家表示感谢！
