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1、 编 号： 审定成绩： xxxx大学毕业设计（论文）设计（论文）题目：基于磁悬浮球装置的控制算法研究学 院 名 称 ：xxx学 生 姓 名 ：xx专 业 ：xxxxxxxx班 级 ：xxx学 号 ：xxx指 导 教 师 ：xx答辩组 负责人 ：xx填表时间：2010年 6 月xxxx大学教务处制摘 要磁悬浮系统是一个复杂的非线性、自然不稳定系统，其控制器性能的好坏直接影响磁悬浮技术的应用，其研究涉及控制理论、电磁场理论、电力电子技术、数字信号处理以及计算机科学等众多领域。由于磁悬浮系统对实时性的要求很高，在很大程度限制了先进控制算法的开发和应用。为了满足日益复杂的控制要求和提高控制系统的实时性
2、，本文以单自由度磁悬浮球系统为研究对象，在分析磁悬浮系统构成及工作原理的基础上，建立了数学模型并对其控制器进行了研究，以期望达到更好的控制效果。本文首先分析了磁悬浮系统的工作原理，建立了系统的数学模型和线性化模型，并在此基础上利用MATLAB软件以及其中的SIMULINK仿真工具箱对模型开环和闭环系统进行了仿真。然后,根据得出的系统传递函数，在SIMULINK环境下搭建系统开环传递函数，并据此进行PID控制器的设计和调节，以及用根轨迹法和频率响应法控制系统。【关键词】磁悬浮球 PID控制器 根轨迹 频率响应ABSTRACTThe magnetic levitation system is a
3、complex, nonlinear, naturally unstable system. And the controllers performance directly influences the wide applications of the magnetic levitation technology. The research on such a system involves control theory, electromagnetism, electric and electronic technology, digital signal processing, comp
4、uter science and so on. Because the magnetic levitation systems real time demand is rigorous, the development and application of advanced controllers is limited. In order to meet the requirement of complex controller and improving the real-time performance, this paper introduces the magnetic levitat
5、ion control system based on the single-freedom-degree magnetic levitation ball system, then established the mathematic model and its controller is studied, and expected totter control effect.This paper analyses the working principle of maglev system, establishing the mathematic model of the system a
6、nd the linear model, and on the basis of using the software MATLAB, and SIMULINK tool to model and the closed-loop system is simulated. Then, according to the system transfer function in building system under the environment of SIMULINK open-loop transfer function, the design and adjustment of the P
7、ID controller, and with the root locus method and the method of frequency response controlled control system.【key words】Magnetic levitation ball PID controller Root locus Frequency response目 录前 言1第一章 磁悬浮系统的概述2第一节 磁悬浮的分类及应用前景2第二节 磁悬浮技术的研究现状3第三节 磁悬浮的控制方法和发展趋势4第二章 磁悬浮系统的分析和建模6第一节 磁悬浮系统的分析6第二节 磁悬浮系统的工作原
8、理6第三节 磁悬浮系统的建模7一、控制对象的运动方程7二、电磁铁中控制电压与电流的模型8三、电流控制模型9四、电压控制模型11第三节 磁悬浮球系统的搭建14一、开环系统搭建14二、闭环系统搭建15第四节 本章小结17第三章 控制器的设计和调试18第一节 PID控制器的设计和调试18一、PID控制基础18二、PID控制参数整定19三、磁悬浮系统中的PID控制21第二节 根轨迹控制器的设计和调试23一、根轨迹法的基本概念和原理23二、磁悬浮系统的根轨迹校正24第三节 频率响应控制器的设计和调试27一、频率响应法的基本概念和分析27二、磁悬浮系统中的频率响应29第四节 本章小结33结 论34致 谢3
9、5参考文献36附 录38一、英文原文38二、英文翻译47三、源程序54前 言磁悬浮技术是将电磁学、机械学、动力学、电子技术、自动控制技术、传感技术、检测技术和计算机科学等高新技术有机结合在一起，成为典型的机电一体化技术。磁悬浮技术是利用磁场力使一物体沿着或绕着某一基准框架的一轴或者几轴保持固定位置，由于悬浮体和支撑之间无任何接触，克服了由摩擦带来的能量消耗和速度限制，具有寿命长，能耗低，安全可靠等优点。目前，各国已广泛开展了对磁悬浮控制系统的研究随着控制理论的不断完善和发展，采用先进的控制方法对磁悬浮系统进行的控制和设计，使系统具有更好的鲁棒性。在我国，磁悬浮技术研究起步较晚，水平相对落后。随
10、着电子技术的发展，特别是电子计算机的发展，带来了磁悬浮控制系统向智能化方向的快速发展。近年来，磁悬浮技术开始由宇航、军事等领域向一般工业应用方面发展，广泛应用于很多领域，如：磁悬浮列车、磁悬浮隔振器、磁悬浮轴承、高速机床进给平台、磁悬浮硬盘、飞轮电池等。磁悬浮球是一种典型的单自由度磁悬浮系统，只需一个自由度控制即可实现球的稳定悬浮。磁悬浮球实验系统结构简单、系统评判容易，在研究磁悬浮现象，实施和验证各种控制算法方面具有重要的作用。同时，对单自由度磁悬浮球进行研究是研究磁悬浮技术的一个有效方法，它是多自由度磁悬浮装置简化和去耦，在研究各种控制器算法，运用新技术方面具有很重要的作用，可以为较为复杂
11、系统的设计与调试提供硬件和软件的准备。第一章 磁悬浮系统的概述第一节 磁悬浮的分类及应用前景磁悬浮可分为以下3种主要应用方式：电磁吸引控制悬浮方式这种控制方式利用了导磁材料与电磁铁之间的引力，绝大部分磁悬浮技术采用这种方式。虽然原理上这种吸引力是一种不稳定的力，但通过控制电磁铁的电流，可以将悬浮气隙保持在一定数值上。随着现代控制理论和驱动元器件的发展，方式在工业领域得到了广泛运用。在此基础上也有研究人员将需要大电流励磁的电磁铁部分换成可控型永久磁铁，这样可以大幅度降低励磁损耗。永久磁铁斥力悬浮方式这种控制方式利用永久磁体之间的斥力，根据所用的磁材料的不同，其产生的斥力也有所差别。由于横向位移的
12、不稳定因素，需要从力学角度来安排磁铁的位置。近年来随着稀土材料的普及，该方式将会更多的应用于各个领域。感应斥力方式这种控制方式利用了磁铁或励磁线圈和短路线圈之间的斥力，简称感应斥力方式。为了得到斥力，励磁线圈和短路线圈之间必须有相对的运动。这种方式主要运动于超导磁悬浮列车的悬浮装置上。但是，在低速时由于得不到足够的悬浮力，限制了这种方式的广泛应用1。 近年来，磁悬浮技术作为新兴机电一体化技术发展迅速，与其它技术相比，磁悬浮技术具有如下优点：能够实现非接触式的运动控制，避免了机械接触，减少损耗，延长设备使用寿命；无需润滑，可以省去泵、管道、过滤器、密封元件；功耗低，减少了损耗；定位、控制精度高，
13、其上限取决于位移传感器的精度；清洁无污染2。目前，各国都在大力发展磁悬浮技术的多方面应用，以期适应生产发展要求。磁悬浮列车以其在经济、环保等方面的优势被认为是二十一世纪交通工具的发展方向，德国和日本在这方面已经取得很大的进展，技术逐渐成熟3。磁悬浮轴承有着一般传统轴承和支撑技术所无法比拟的优越性，并且已取得工业的广泛应用。另外，磁悬浮隔振器、磁悬浮电机等相关技术也都发展迅速，进入了工业应用领域4。第二节 磁悬浮技术的研究现状20世纪60年代，世界上出现了3个载人的气垫车实验系统，它是最早对磁悬浮列车进行研究的系统。随着技术的发展，特别是固体电学的出现，使原来是十分庞大的控制设备变得十分轻巧，这
14、就是给磁悬浮列车技术提供了实现的可能。1969年，德国牵引机车公司的马法伊研制出小型磁悬浮列车系统模型6，以后命名为TR01型，该车在1km轨道上时速达到165km，这事磁悬浮列车发展的第一个里程碑。在制造磁悬浮列车的角逐中，日本和德国是两大竞争对手。1994年2月24日，日本的电动悬浮式磁悬浮列车，在宫琦一段74km长的实验线上，创造了时速431km的日本最高记录。1999年4月日本研制的超导磁悬浮列车在实验线上达到时速552km，德国经过20年的努力技术上已趋成熟，已具有建筑哦运营线路的水平。原计划在汉堡和柏林之间修建第一条时速为400km的磁悬浮铁路，总长度为248km，预计2003年正
15、式投入运营。但由于资金计划稳态，2002年宣布停止了这一计划。我国对磁悬浮列车的研究工作比较晚，1989年3月，国防科技大学研制出我国第一台磁悬浮实验样车。1995年，我国第一条磁悬浮实验线在西南交通大学建成，并且成功进行了稳定悬浮、导向、驱动控制和载人运行等时速为300km的实验。西南交通大学这条试验线的建成，标志我国已经掌握了制造磁悬浮列车的技术，上海铺设的13.8km的磁悬浮铁路，我国称为世界上第一个具有磁悬浮运营铁路的国家5。高速磁悬浮电机高速磁悬浮电机是近年提出的一个新研究方向，它集磁悬浮轴承和电动机于一体，具有自悬浮和餐动能力，不需要任何独立的轴承支撑，且具有体积小、临界转速高等特
16、点，更适合于超高速运行的场合，也适合小型乃至超小型结构。国外自90年代中期开始对其进行了研究，相继出现了永磁同步型磁悬浮电机、开关磁阻型磁悬浮电机、感应型磁悬浮电机等各种结构。其中感应型磁悬浮电机具有结构简单，成本低，可靠性高，气隙均匀，易于弱磁升速，是最有前途的方案之一传统的电机是由定子和转子组成，定子与转子之间通过机械轴承连接，在转子运动过程中存在机械摩擦，增加了转子的摩擦阻力，使得运动部件磨损，产生机械振动和噪声，使运动部件发热，润滑剂性能变差，严重的会使电机气隙不均匀，绕组发热，温升增大，从而降低电机效能，最终缩短电机使用寿命。磁悬浮电机利用定子和转子励磁磁场间“同性相斥，异性相吸”的
17、原理使转子悬浮起来，同时产生推进力驱使转子在悬浮状态下运动。磁悬浮电机的研究越来越受到重视，并有一些成功的报道。如磁悬浮电机应用在生命科学领域，现在国外已研制成功的离心式和振动式磁悬浮人工心脏血泵，采用无机械接触式磁悬浮结构不仅效率高，而且可以防止血细胞破损，引起溶血、凝血和血栓等问题。磁悬浮血泵的研究不仅为解除心血管病患者的疾苦，提高患者生活质量，而且为人类延续生命具有深远意义6。当前，国际上对磁悬浮技术的研究工作已经非常活跃。1988年召开了第一届国际磁悬浮轴承会议，此后两年一次7。1991年，美国航天管理局还召开了第一次磁悬浮技术在航天中应用的研讨会。另外，磁悬浮技术在其他方面也有着突出
18、的进展，例如：磁悬浮主轴系统、磁悬浮隔振系统、磁悬浮研磨技术等等。现在，美国、法国、日本、瑞士和我国都在大力支持开展磁悬浮技术的研究工作，国际上的这些努力，推动了磁悬浮技术在工业的广泛应用。第三节 磁悬浮的控制方法和发展趋势磁悬浮从技术实现的角度可以分为三类，即主动式、被动式与混合式磁悬浮技术8。主动磁悬浮技术即通过电磁力实现转子的可控悬浮；被动式的研究主要集中在永久磁铁低温超导的研究。就目前工业应用角度而言，主动式磁悬浮技术与混合式磁悬浮技术占主体地位，主动式磁悬浮技术和混合式磁悬浮技术中的控制方法是其技术的核心，控制器的性能直接决定了悬浮体的性能指标，例如精度、刚度、阻尼特性、抗干扰能力等
19、。所以在这类磁悬浮产品的设计中，高性能控制器的研究与设计成为生产高品质磁悬浮产品的关键。以上问题都对磁悬浮系统的控制器提出了很高的要求，为此大量的研究集中在控制方法和控制手段上。近年来，一些先进的现代控制理论方法在磁悬浮轴承上应用的研究也逐渐开展起来，但因为磁悬浮轴承的参数不确定性和非线性使得一些现代控制算法如最优控制无法达到预期的控制精度9。同时由于磁悬浮系统的实时性要求很高，对于很复杂的控制算法无法在工程上实现。传统的工业控制较多采用应用成熟的 PID 控制器，通过对参数的选取，还可构成PI、PD 控制器，PID 控制器结构简单，调节方便，应用成熟，但是在高精度的磁悬浮技术中，由于系统的复
20、杂性和磁场本身的非线性使得传统的PID控制器不能完全满足工程需要。近年来，随着工业水平的提高，很多先进控制方法应用到自动化领域：非线性控制：非线性控制是复杂控制系统理论中的一个难点，对于磁悬浮系统在本质上是非线性的，目前大多数的控制方法是在平衡点附近线性化得到近似的系统模型，再根据此模型设计控制器，但这样的控制方法并不能完全达到工程需要，有学者采用非线性状态反馈线性化的方法进行控制器的设计，国外有学者通过简化非线性电磁力学方程设计非线性控制器，并通过试验验证了控制器的可行性10。智能控制系统：智能控制器具有在线学习、修正的能力，它可以根据系统获取的信息来分析系统特性，从而使系统性能达到预期要求
21、。鉴于智能控制器的众多优点，国内外很多学者都开始了磁悬浮系统智能控制器的设计，现阶段已经实现了模糊控制器的设计并已经在实验中得到了验证11。系统辨识：系统辨识是在输入输出观测值的基础上，在指定的一类系统中，确定一个与被识别系统等价的系统。辨识、状态估计和控制理论是现代控制理论三个相互渗透的领域。辨识和状态估计离不开控制理论的支持，实际的控制系统离不开被控系统的数学模型，但实际的被控系统往往都是未知的，并且建立复杂的被控对象的精确的数学模型一般是很难做到的。近年来，神经网络辨识，模糊逻辑理论，在非线性系统辨识中的应用以及在基础理论方面的研究工作，使得有关磁悬浮系统的辨识研究也逐渐深入，但由于磁悬
22、浮的系统的实时性要求较高，系统辨识一般需要耗费大量的计算时间，目前在磁悬浮系统的辨识研究还没有应用于实际控制系统中12。第四节 本章小结 本章对磁悬浮系统进行了概述，介绍了磁悬浮技术的分类和应用背景以及在国内外的发展状况，同时，对磁悬浮控制方法现状进行了总结以及对其未来趋势进行展望。第二章 磁悬浮系统的分析和建模第一节 磁悬浮系统的分析磁悬浮球装置是研究磁悬浮技术的平台,它主要由电磁铁、位置敏感传感器、放大及补偿装置、数字控制器和控制对象钢球等元件组成13。它是一个典型的吸浮式悬浮系统。磁悬浮实验本体主要由以下几部分组成：支柱、电磁铁、传感器、LED光源发生器和悬浮体（钢球）。传感器是磁悬浮系
23、统的重要部件之一，它的性能对系统的控制精度起决定作用，因为控制系统的精度不可能超过传感器的精度。本论文所用的磁悬浮试验平台采用的是涡流传感器，钢球相对于平衡位置的距离经过涡流传感器检测后转换为电压量，再由信号放大器放大输出。为了消除传感器电路中的高频噪音，在传感器电路中还带有低通滤波器，其时间常数很小，对系统的影响可以忽略不计。功率放大器的作用是根据控制器的输出向电磁铁线圈提供电流。由于电磁铁线圈是一个由电感和电阻组成的负载，如果功放输出的是电压，则流过负载的控制电流会由于电感的影响而产生滞后作用，这对于提高系统的动态性能很不利。为了避免电感的滞后作用，磁悬浮试验平台采用的是电压电流功率放大器
24、，功率放大器的输出与电磁铁线圈相连，直接控制线圈的电流。为控制功率管散热问题，采用开关功率放大器。磁悬浮试验平台采用的电磁铁是单绕组结构，当无任何外力干扰时，激励线圈内有一定的偏置电流，由功放提供偏电流，当有外力干扰或重力干扰时，通过改变线圈的电流来保证钢球的稳定悬浮。此系统是一开环不稳定系统。第二节 磁悬浮系统的工作原理磁悬浮球实验系统是一个典型的吸浮式悬浮系统，其工作原理如图2.1所示。图2.1 磁悬浮球系统原理图电磁铁绕组中通以一定的电流就会产生电磁力F，控制电磁铁绕组中的电流，使之产生的电磁力与钢球的重力mg相平衡，钢球就可以悬浮于空中而处于平衡状态。但是这种平衡是一种不稳定平衡，因为
25、电磁铁与钢球之间的电磁力的大小与它们之间的距离X成反比，只要平衡状态稍微受到扰动(如：加在电磁铁线圈上的电压产生脉动，周围的振动、风等)，就会导致钢球掉下来或被电磁铁吸住。因此必须对系统实现闭环控制。用光电源和传感器组成的测量装置检测钢球与电磁铁之间的距离变化，当钢球受到扰动下降，钢球与电磁铁之间的距离x增大，传感器输出电压增大，经控制器计算、功率放大器放大处理后，使电磁铁绕组中的控制电流相应增大，电磁力增大，钢球被吸回平衡位置，反之亦然。第三节 磁悬浮系统的建模一、控制对象的运动方程忽略小球受到的其他干扰力，则受控对象小钢球在此系统中只受电磁力F和自身重力mg，由于电磁力F与i和x有关。球在
26、竖直方向的动力学方程可以描述为： （2.1）式中：x磁极到小球的气隙，单位：m； m小球的质量，单位：Kg； F(i，x)电磁力，单位：N; g重力加速度，单位：m/当小球处于平衡状态，其加速度为零，即所受合力为零，小球的重力等于小球受到的向上的电磁力，即： （2.2）二、电磁铁中控制电压与电流的模型电磁铁绕组上的瞬时电感与气隙间的关系如图2.2所示。图2.2 电磁铁电感曲线 电磁铁通电后所产生的电感与小球到磁极面积的气隙有如下关系： （2.3) 由式(2.3)可知： (2.4) 又因为 故有： (2.5) 根据基尔霍夫电压定律有： (2.6) 式中:为线圈自身的电感，单位H 为平衡点处的电感
27、，单位H 小球到磁极面积的气隙，单位m 电磁铁中通过的瞬时电流，单位A R电磁铁的等效电阻，单位三、电流控制模型在磁悬浮系统中，对电磁力采用两种控制策略：电流控制控制方式和电压控制方式。建立系统模型就是分析执行机构，根据物理规律，运用数学方法将其规律准确表达。根据电磁场能量公式可得： (2.7)将式(2.3)代入式(2.7)并取偏导得到电磁力表达式如下： (2.8)假设钢球重力方向为正方向，根据受力平衡有： (2.9) 将式(2.8)代入式(2.9)得： (2.10)假设钢球在平衡位置时xX，iI，则有如下关系成立： (2.11)由式(2.11)可以看出，对于给定的电流，钢球的悬浮位置X也为一
28、确定值，整理式(2.11)可得偏置电流： (2.12) 已知x15.5mm，I1.2A将电磁力方程在平衡位置处泰勒展开，略去高阶项得到线性化方程如下 (2.13) 其中， (2.14)将电磁力方程式(2.11)代入式(2.13)可得： (2.15) 从而有以下方程成立： (2.16)把式(2.11)代入式(2.19)得出线性化以后的方程： (2.17)根据平衡方程 ，可得到： (2.18)将式(2.18)代入式(2.17)得： (2.19) 该式即为磁悬浮开环系统的电流控制模型。将式(2.19)作拉氏变换，得： (2.20)整理得系统的开环传递函数： (2.21) 其中， (2.22)则有开环
29、系统的特征方程为; (2.23)那么开环极点为： (2.24)可以看出系统必有一个开环极点位于复平面的右半平面，根据系统的稳定性判据，即系统的开环极点必须位于复平面的左半平面时系统稳定，可知单自由度磁悬浮球系统的本质不稳定的。四、电压控制模型由上节内容可知，电流模型的建立没有考虑感抗对系统的影响，只是从感性元件储能的角度加以分析建立。因此为了准确分析磁悬浮系统，从另一方面分析电压控制模型也很有意义。同样根据上节内容，即式(2.1)有 (2.25)电磁铁与刚体构成磁路，磁路的磁阻主要集中在两者气隙上，其中有效气隙磁阻可表示为 (2.26)式中，为空气的导磁率，其中；S为电磁铁的极面积；x为导轨与
30、磁极表面的瞬时间隙。由磁路的基尔霍夫定理可知 (2.27)式中，N为电磁铁线圈匝数，i为电磁绕组中的瞬时电流，为铁芯磁通。将式(2.26)代入式(2.27)，可得到铁芯磁通为： (2.28) 当电磁铁工作在非饱和状态时，电磁铁的磁链为： (2.29)另外，电磁力可由与它磁场同能量的关系表示为： (2.30)式中，为磁能能量，并且 (2.31)将式(2.28)代入式(2.29)，再代入(2.30)，可得到电磁力为 (2.32) 令，则有 (2.33)那么由式(2.33)可以得到，电磁吸引力F与气隙x成非线性的反比关系，这也是磁悬浮系统会不稳定的原因。综上所诉，描述磁悬浮系统系统的方程可完全由下面
31、方程确定。 动力方程 电学方程 电学、力学方程 边界方程对电、力学关联方程线性化，将电磁力在平衡点附近进行泰勒展开，并忽略高阶项得： (2.34)式(2.34)中表示在平衡点处(气隙为、电流为)刚体的电磁力；系数表示电流变化单位量时电磁力变化的值，表示气隙变化单位长度时电磁力变化值，则得到 (2.35)在电磁铁绕组中，电压u的变化为 (2.36)式中表示平衡点的电感， (2.37)那么，可以得到 (2.38)设系统状态变量为，则系统的状态空间方程转化为传递函数形式： (2.39)其中： 式中： 小球平衡位置，单位：m 平很电流，单位：A系统实际模型参数为：那么，由此可得到系统的传递函数： (2
32、.40)磁悬浮系统实验对象的数学模型在MATLAB下的编程实现，变量num、den分别为开环传递函数的分子和分母系数，A、B、C、D为状态空间方程的响应矩阵。数学模型求解函数如图2.3所示。图2.3 M函数编辑窗口第三节 磁悬浮球系统的搭建MATLAB是矩阵试验室（Mtrix Laboratory）的简称，是美国MathWorks的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，包括MATLABH和SIMULINK两大部分。Simulink是一个用来对动态系统进行建模、仿真和分析的软件包它支持连续、离散及两者混合的线性和非线性系统也支持具有多种采样速
33、率的多速率系统14。一、开环系统搭建打开MATLAB软件，输入SIMULINK，建立开环系统仿真新模型如图2.4所示。图2.4 开环阶跃仿真框图 其中，模块设置如图2.5所示。图2.5 传递函数赋值仿真结果如图2.6所示。图2.6 开环阶跃响应仿真图从图2.6示波器所显示的特性可以看出，此系统是一开环不稳定系统，当有一微小扰动时，小球将偏离平衡位置。因此，我们需要使用某种方法来控制小球的位置。接下来，将使用PID控制器开稳定系统。二、闭环系统搭建 进入simulink工作环境并新建一文件，利用传递函数模块建立系统的被控对象的传递函数。图2.7 闭环阶跃仿真框图图2.7所给模型的模块分别是传感器
34、、PID控制器、功率放大器和控制对象。具体模块参数设置如下：传感器参数如图2.7。即，传递函数为： (2.41) PID控制器直接选用MATLAB中的给定控制器，参数如图2.8所示。图2.8 PID控制模块控制对象模块与开环时候相同。那么，可以得到其仿真图如图2.11所示。 功率放大器的传递函数为： (2.42)控制对象的参数设置如图2.5所示。 那么得到此时的阶跃响应曲线如图2.9。图2.9 闭环阶跃响应仿真图 这时所用的参数为Kp=1.0,Ki=3.0,Kd=0.3。第四节 本章小结 本章首先对磁悬浮球系统进行分析，介绍了磁悬浮系统的组成，对其工作原理进行介绍。然后，据此通过电流形式和电压
35、形式分别进行数学建模，并对数学模型进行了线性化处理，得到了线性化后的传递函数和状态方程，并在MATLAB环境下进行建模。最后，对所得控制对象的模型进行开环控制仿真和闭环控制仿真。第三章 控制器的设计和调试第一节 PID控制器的设计和调试一、PID控制基础1、模拟PID控制PID（Proportional、Integral and Differential）控制器是一种线性控制器，它根据给定值r（t）与实际输出值c（t）构成控制偏差，将偏差的比例（P）、积分（I）和微分（D）通过线性组合构成空置量，对被控对象进行控制。其控制规律为： (3.1)或写成传递函数形式 (3.2)式中，Kp为比例系数，
36、Ti为积分时间常数，Td为微分时间常数15。 系统原理图如图3.1所示。 图3.1 PID控制系统原理框图在PID控制中，比例项用于纠正偏差，积分项用于消除系统的稳态误差，微分项用于减少系统的超调量，增加系统稳定性。PID控制器的性能取决于Kp、Ti和Td这三个系数，如何选用这三个系数是PID控制的核心。PID控制器各校正环节的作用如下：比例环节 即是成比例地反映控制系统地偏差信号e（t），偏差一旦产生，控制器立即产生控制作用，以减少偏差。积分环节 主要用于消除静差，提高系统的无差度。积分作用的强弱取决于时间常数Ti，Ti越大，积分作用越弱，反之越强。微分作用 能反映偏差信号的变化趋势（变化速
37、率），并能在偏差值变得太大之前，在系统中能引入一个有效地早期修正信号，从而加快系统的动作速度，减小调节时间16。2、数字PID控制由于数字处理器只能计算数字量，无法进行连续PID运算，所以若使用数字处理器来实现PID算法，则必须对PID算法进行离散化。数字PID调节器的设计可以通过首先用经典控制理论设计出性能比较满意的模拟调节器，然后通过离散化方法得到17。PID算法的离散化有位置式和增量式两种常用实现方式18。按模拟PID控制算法，一系列的采样时刻点kT代替连续时间t，以矩形法数值积分近似代替积分，以一阶向后差分近似代替微分，即可得位置式离散PID表达式为： (3.3)式中，。T为采样周期，
38、k为采样序号，k1，2，e（k1）和e（k）分别为第（k1）和k时刻所得的偏差信号。当执行机构需要的是控制量的增量时，采用增量式PID控制算法。增量式PID控制算法表达式为： (3.4)PID控制是在经典控制理论的基础上，通过长期的工程实践总结形成的一种控制方法。由于目前混合磁悬浮系统的动态特性还不能完全被人们掌握，很难得到系统精确的数学模型，难以满足应用控制理论进行分析和综合的各种要求。而PID控制方案由于它的灵活性和适应性很强，在工程上更加易于实现。而且，它在自动调节控制的基础上还保留人工参与管理和参数便于调整的特点，所以PID控制仍然是首选的控制策略之一。 在本设计中，由于是利用MATL
39、AB来是实现PID控制，故直接调用MATLAB中自带的PID模块，仅需要确定PID控制器的参数就可以设计数字PID控制器。二、PID控制参数整定 PID控制算法参数的整定就是选择Kp、Kd、Ki几个参数，使相应计算机控制系统输出的动态响应满足几个性能指示。PID参数整定一般有两种方法，理论设计法和实验确定法。用理论设计法确定PID控制参数的前提是要有被控对象准确的数学模型，并且理论设计法都要求系统是最小相位系统，这些是一般工业很难做到的。磁悬浮系统是强非线性系统，在实际过程中存在很多非线性因素干扰并且在平衡点线性化得到的系统模型是忽虑了很多非线性因素后得的方法19。1、工程试验法简介 工程试验
40、法是通过仿真和实际运行，观察系统对典型输入作用的响应曲线，根据各控制参数对系统的影响，反复调节实验，直到满意为止，从而确定PID参数。根据理论可知： 从系统的稳定性、响应速度、超调量和稳态精度等各方面来考虑，各参数的作用如下： 比例系数Kp的作用是加快系统的响应速度，提高系统的调节精度。Kp越大，系统的响应速度越快，系统的调节精度越高，但是容易产生超调，甚至会导致系统不稳定；Kp的值过小，将使系统的静态误差难以消除，影响系统的调节精度。 积分作用系数Ki的作用是消除系统的稳态误差。Ki 越大，及积分时间越短，系统的稳态误差消除的越快，但是Ki过大，在响应过程的初期会产生积分饱和现象，从而引起响
41、应过程的较大超调；若Ki过小，将使系统的静态误差难以消除，影响系统的调节精度。微分作用系数Kd的作用是改善系统的动态性能，其作用主要是在系统过程中抑制偏差向任何方向的变化，对偏差变化进行响应。Kd过大，会使响应过程提前制动，从而影响调节时间，同时Kd对于噪声还有放大作用，会降低系统的抗干扰性能。2、工程实验法步骤 在工程实验时，参考各参数对控制过程的响应趋势，实行先比例，后积分，在微分的反复调整。其具体整定步骤如下： 整定比例系数 先将PID 控制器其中的Kd 为0，Ki为无穷，使之成为比例控制器，再将比例系数由小变大观察相应的响应，使系统的过渡过程达到4：1衰减的响应曲线，最优比例系数由此确
42、定。 加入积分环节 如果只用比例控制，系统的静差不能满足要求，则只需加入积分环节整定时，先将比例系数减小1020，以补偿加入积分环节作用而引起的系统稳定性下降，然后由大到小调节Ki ，在保持系统良好动态性能的情况下消除静差。这一步可以反复进行，直到达到满意的控制效果。 加入微分环节 经上两步调整后，若系统动态性能不能让人满意，可以加入积分环节，构成PID控制器。整定时，先置Kd为0，然后，在第二步的基础上在加大Kd，同时相应的改变比例系数和积分系数，最终达到满意的控制效果。三、磁悬浮系统中的PID控制对于磁悬浮试验系统输出量为小球的位置x，其平衡位置为x0（在被控范围内可任意设定）。系统的闭环传递函数G（s）为 (3.5)式中： 传感器的传递函数 PID控制器传递函数 受控对象的传递函数 功率放大器的传递函数 被控对象传递函数是： (3.6) PID控制器的传递函数是： (3.7) 传感器和功率放大器的传递函数分别是： (3.8)
