毕业设计（论文）关于欧氏空间的基的研究.doc

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1、重庆科技学院毕业设计（论文）题 目 关于欧氏空间的基的研究 院 （系） 数理学院 专业班级 应数普2008-02 指导教师 职称 讲 师 评阅教师 职称 2012年5 月23 日注 意 事 项 1.设计（论文）的内容包括： 1）封面（按教务处制定的标准封面格式制作）2）原创性声明3）中文摘要（300字左右）、关键词4）外文摘要、关键词 5）目次页（附件不统一编入）6）论文主体部分：引言（或绪论）、正文、结论7）参考文献8）致谢9）附录（对论文支持必要时）2.论文字数要求：理工类设计（论文）正文字数不少于1万字（不包括图纸、程序清单等），文科类论文正文字数不少于1.2万字。3.附件包括：任务书、

2、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）。4.文字、图表要求：1）文字通顺，语言流畅，书写字迹工整，打印字体及大小符合要求，无错别字，不准请他人代写2）工程设计类题目的图纸，要求部分用尺规绘制，部分用计算机绘制，所有图纸应符合国家技术标准规范。图表整洁，布局合理，文字注释必须使用工程字书写，不准用徒手画3）毕业论文须用A4单面打印，论文50页以上的双面打印4）图表应绘制于无格子的页面上5）软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档5.装订顺序1）设计（论文）2）附件：按照任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）次序装订3）其它学生毕业设计（论文）原创性声明本人以信誉声明：所呈交的毕业设计（

3、论文）是在导师的指导下进行的设计（研究）工作及取得的成果，设计（论文）中引用他（她）人的文献、数据、图件、资料均已明确标注出，论文中的结论和结果为本人独立完成，不包含他人成果及为获得重庆科技学院或其它教育机构的学位或证书而使用其材料。与我一同工作的同志对本设计（研究）所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 毕业设计（论文）作者（签字）： 年 月 日 摘 要在欧氏空间中,将一个基化标准正交基在讨论有关问题中占有特殊的地位, 传统的作法是采用Schmidt正交化方法求标准正交基,这种方法的特点是逐个扩充, 最后得到正交基, 这种构造性方法具有层次分明、清楚、直观的优点,但整个过程计

4、算量较大,而且对于所求标准正交基与原基的联系不甚清楚，有什么更简单的方法求标准正交基呢？本文利用矩阵间的变换来求标准正交基，即合同变换法和矩阵列初等变换求标准正交基。在无限维希尔伯特空间中，标准正交基的概念得以推广。但是，在无限维希尔伯特空间中，正交基不再是哈默尔基，也即是说不是每个元素都可以写成有限个基中元素的线性组合。因此，在无限维希尔伯特空间中标准正交基的概念需要重新定义。在无限维希尔伯特空间中，标准正交基的要求非常严格，需要元素满足正规性、相互之间的正交性以及对空间的完全表示等条件。在利用标准正交基研究无限维希尔伯特空间的过程中，这些严格的条件会给我们的研究带来诸多的不便，需要采用新的

5、方法解决上述问题。为此，人们在内积空间中引入了“框架”的概念。框架是小波分析中基本概念之一.1952年，Duffin和Schaeffer在研究非调和Fourier分析时引入了Hilbert空间中框架的概念，框架的概念比正交基广泛的多，它提供函数一种冗余表示，没有像正交基条件要求那样严格，同时框架可以是线性相关的。本文将利用高等代数中关于欧氏空间的知识的基础上，分析施密特正交化方法求标准正交基的优缺点，介绍标准正交基的几种新求法，并比较它们之间的优缺点，对无限维空间中的标准正交基进行一些研究，同时讨论框架和基之间的关系。关键词：欧氏空间 标准正交基 框架 ABSTRACTIn Euclidean

6、 space, will be a base of standard orthogonal basis to discuss issues related to occupies a special position in the traditional way, is to use Schmidt orthogonal method for standard orthogonal basis, this method is characterized by expansion, finally obtains the orthogonal basis, this construction m

7、ethod has distinct, clear, visible, but the whole process of large amount of calculation, but also for the evaluate standard orthogonal basis and the anlage of the contact is not very clear, there is nothing more simple method for standard orthogonal basis? This paper uses between matrix transform t

8、o evaluate standard orthogonal basis, namely the contract transformation method and column of the matrix elementary transformation evaluate standard orthogonal basis.In infinite dimensional Hilbert space, standard orthogonal basis concept to promote. However, in the infinite dimensional Hilbert spac

9、e, orthogonal basis is no longer a Hamel base, that is to say not every element can be written as a matrix in finite element linear combination. Therefore, in infinite dimensional Hilbert space standard orthogonal basis concept needs to be redefined. In infinite dimensional Hilbert space, standard o

10、rthogonal basis of very strict requirements, need elements meet the normality, between orthogonal and complete representation of space conditions. In the use of standard orthogonal basis of infinite dimensional Hilbert space in the process, these strict conditions will give our research brings a lot

11、 of inconvenience, need to define a new thing to solve the. People in the inner product space was introduced the concept of framework. The frame is one of the basic concepts in wavelet analysis . In 1952, Duffin and Schaeffer in the study of nonharmonic Fourier introduced the Hilbert space frame con

12、cept, framework concept than orthogonal base more extensive, it provides the function of a redundant representation, but not as strict as that of orthogonal basis requirement, the frame may be linearly related.This article will use advanced algebra of Euclidean space on the basis of knowledge, analy

13、sis of the Schmidt orthogonalization method for standard orthogonal basis is introduced the advantages and disadvantages of standard orthogonal basis, several new calculating method, and compared the advantages and disadvantages of them, to infinite dimensional space in the standard orthogonal basis

14、 to conduct some research, and discussed the frame and base the relationship between the.Keywords: Euclidean space；standard orthogonal basis；framework 目录摘 要IABSTRACTII绪论11 欧氏空间中标准正交基求法11.1预备知识11.2 标准正交基三种求法21.2.1 施密特（Schimidt）方法21.2.2 合同变化法31.2.3 矩阵列初等变换求标准正交基52 无限维内积空间中基的研究82.1基本定义82.2 无限维内积空间规范正交系

15、103 框架133.1 框架概念133.2正交基和框架比较143.2.1 框架143.2.2 正交基和紧框架关系154总结18参考文献19致谢信20绪论公元前300年左右，古希腊数学家欧几里得建立了角和空间中距离之间联系的法则，现称为欧几里得几何。欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的“平面几何”，他接着分析三维物体的“立体几何”，所有欧几里得的公理已被编排到二维或三维欧几里得空间的抽象数学空间中。这些数学空间还可被扩大无限维数的空间，统称为实内积空间。欧几里德空间(Euclidean Space)，简称为欧氏空间(也可以称为平直空间)，欧氏空间是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化推广，

16、是实数域上的向量空间，这种推广将距离和角度以及与长度相关的概念都一般化了。因此，欧氏空间是一个特别的度量空间，它使我们能够研究向量的拓扑性质。基在欧氏空间的研究中起着十分重要的作用。内积空间是对欧氏空间的一般化。内积空间和度量空间都在泛函分析中得到了探讨。本文将利用高等代数中关于欧氏空间的知识的基础上，分析施密特正交化方法求标准正交基的优缺点，介绍标准正交基的几种新求法，并比较它们之间的优缺点，对无限维空间中的标准正交基进行一些研究，同时讨论框架和基之间的关系。1 欧氏空间中标准正交基求法1.1预备知识在解析几何中我们看到，向量的长度与夹角等度量性质都可以通过向量的内积来表示，而且向量的内积有

17、明显的代数性质。所以在抽象的讨论中，我们还是取内积作为基本的概念。定义1.1.1设是实数域上的线性空间（或称为向量空间），若上定义着正定对称双线性型（称为内积），则称为（对于的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当是有限维时，才称为欧几里德空间）。具体来说，是上的二元实值函数，满足如下关系： ，而且当且仅当时成立。 这里是中任意向量，是任意实数。这样的线性空间称为欧几里得空间（简称欧氏空间）。在以后不特别说明中，欧氏空间用来表示。定义1.1.2 在维线性空间V中，个线性无关的向量称为的一组基。定义1.1.3 在维欧氏空间中，由个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基。

18、由定义知，对一组正交基进行单位化就可以得到一组标准正交基。设是一组标准正交基，由定义，有1.2 标准正交基三种求法1.2.1 施密特（Schimidt）方法 设是由基生成的空间，记为。定理 1.2.1对于维欧氏空间任意一组基,都可以找到一组标准正交基使得上式说明用基表示的空间和用基表示的空间具有相同的维数。施密特（Schimidt）方法的一般步骤：假设为的任意一组基，令， 则为一组正交基。把基再进行单位化就得到一组标准正交基。例1设是的一组基，求的一组标准正交基。先把它们正交化，得：再把基进行单位化，即得：上面讨论了施密特方法，这种方法的特点是逐个扩充, 最后得到正交基, 这种构造性方法具有层

19、次分明、清楚、直观的优点,但如果空间的维数较高时整个过程计算量较大,而且对于所求标准正交基与原基的联系不甚清楚。1.2.2 合同变化法由定理1.2.1可知，给出欧氏空间任意一组基，可以求出的一组标准正交基，我们假设，是欧氏空间的一组基，现在来求一组标准正交基.设令，则是一个阶正定矩阵，由正定矩阵可知.定理 1.2.2 级矩阵为可逆的充分必要条件是它能表示成一些初等矩阵的乘积：其中矩阵是一些可逆的初等矩阵。设是一个可逆初等矩阵，由定理1.2.2可知： ; 所以存在阶可逆矩阵C,使得令 , 设 代入式，有,则从而 所以 满足标准正交基条件，所以是一组标准正交基。下面给出合同变换法的一般步骤：依据已

20、知条件，写出,其中，求出矩阵。构造一个形如的矩阵，对施行矩阵的合同变换，把换为单位矩阵,同时对单位矩阵施行相同的变换，当换为单位矩阵时，单位矩阵就化为了所求可逆矩阵，写出就是：利用关系式,求出标准正交基。 例 2 设是的一组基，求的一组标准正交基。解： 令,则所以 对施行矩阵合同变换，把化为可逆矩阵，就是过渡矩阵.有 所以 这种方法利用矩阵的合同变换，避免了施行复杂的施密特方法，减少了计算量，同时与原基联系较紧密，便于比较与原基的联系。1.2.3 矩阵列初等变换求标准正交基设，令，由上节可知，是一个阶正定矩阵，由正定矩阵可知 。对阶矩阵施行矩阵第三种列初等变换，把化为下三角形矩阵。即 由（3）

21、可以看出矩阵是一些初等矩阵之积。从而可逆。因为是一个阶对称矩阵，所以，由高等代数定理可知，对于任意一个对称矩阵都可以找到一个可逆矩阵使得：成对角矩阵。 因此是对称矩阵，用在乘以矩阵,不改变主对角线以上的元素，所以有从而 故 这样，是一组正交基，在进行单位化就可以得到一组标准正交基。矩阵列初等变换求标准正交基的步骤如下：依据已知条件，写出,其中，求出矩阵。构造一个阶的矩阵，将中的施行顺序对角化化为下三角形矩阵，同时对下端的施行相同的列初等变换化成（其中为型的初等矩阵的乘积），即;将的列向量单位化后可得标准正交基上述方法，我们将其称为顺序对角线正交化法。例 3 设是的一组基，求 的一组标准正交基。

22、 解 令 ,则所以 对施行第三种列初等变换，把化为下三角矩阵，即所以此时它的一组正交基是 再进行单位化即可得： 此法和施密特方法结果一致，但是没有出现像施密特方法那样大的计算量，初学者更容易理解，缺点对矩阵的变换要非常的娴熟。2 无限维内积空间中基的研究2.1基本定义在线性代数中，标准正交基是有限维欧氏空间中最基本、最重要的概念之一，在无限维希尔伯特空间中，正交基不再是哈默尔基，也即是说不是每个元素都可以写成有限个基中元素的线性组合。因此在无限维空间中，正交基应该被更严格地定义为由线性无关而且两两正交的元素组成，这样就增加了研究的难度。定义 2.1.1 设是实数或复数域C上的线性空间，如果对于

23、中任何两个向量和都对应着一个数，并且满足下列条件：正定性，对一切，而且当且仅当；线性，对和，成立；共轭对称性，对成立，这里表示的共轭复数；则称为的一个内积。定义了 内积的空间称为内积空间。在内积空间中定义函数为的范数（即的“长度”），这时，成为一个赋范空间。如果作为赋范空间，是完备的，就称为希尔伯特空间，以后不特别说明就用表示希尔伯特空间，它是一种最接近于的无线维空，对于我们研究无限维欧氏空间具有重要的意义。一个度量空间或一致空间（uniform space）被称为“完备的”，如果其中的任何柯西列都收敛。在空间中，对中任意向量，定义易知按上式中内积称为内积空间，由上式导出的范数即为空间所定义的

24、泛数，由泛函分析书上定理可知成一Hilbert空间。定义2.1.2设M是内积空间X的一个不含零的子集，若M中向量两两正交，则称M为X中的正交系，若M中的向量的范数都为1，则称M为X中的规范正交系。在空间，定义内积为则三角函数组是一个规范正交系，且也是一个规范正交系。为维欧氏空间，则向量积为中规范正交系，因此，有正交系有以下基本性质：（勾股定理）相对于有限维欧氏空间，同样勾股定理成立，即对正交系M中任意有限个向成立。因为 （线性无关性）正交系M中任意有限个向量都是线性无关的。事实上，设而且其中为一组数，则对任何，有由于但是所以M中任意有限个向量都是线性无关的。2.2 无限维内积空间规范正交系我们

25、知道有限维欧氏空间的任意一个元素（也就是一个向量）可以用标准正交基来线性组合表示，但是在一般的内积空间，这种用线性组合来表示元素的基可能有无限个，这一元素一定能用它的线性组合来表示吗？现在我们给出一些研究。在内积空间中引入规范正交系的目的是要把空间中的向量关于规范正交系展开级数。首先给出赋范线性空间中级数收敛的概念。定义2.2.1设是赋范线性空间，是中一列向量，是列数，作形式级数称为级数的项部分和，若存在，使则称级数收敛，并称为这个级数的和，记为若为中规范正交系，是中有限或可列个向量，且，则对每个自然数，由内积连续性，可以得到所以 引理 2.2.1 设是内积空间，是中规范正交系，任取中有限个向

26、量，那么成立：等式 证明： 令带入上式及得到我们所证明的不等式。定理 2.2.2 设是内积空间中的有限或可数规范正交系，那么对每个，成立Bessel不等式：当，称此等式为Parseval等式。从上面定理我们可以看出，在H空间中，收敛于是不需要任何条件的，不难想象，规范正交系中的向量有足够多。进一步给出下面定理有助于我们对上面定理的理解。定理2.2.3 设为空间中可数规范正交系，那么成立以下三个命题。级数收敛的充要条件是级数收敛；若，则，故证明：设，由于为空间中可数规范正交系，所以对任意正整数成立所以由上面的一个等式我们知道数列为柯西列，由和数域的完备性知，成立。上面已经证明过，这里不再重复。3

27、 框架3.1 基底和框架概念 一个代数系统或函数空间中的元素往往是无穷多的，在研究它们的关系或表达式时涉及基底及函数展开的问题，因此需要引入基底和框架的概念。定义 3.1.1 设为一函数序列，表示所有可能的线性组合构成的集合，即称为序列张成的空间，记作也即对任意,有定义3.1.2 若是线性无关的，使得对任意,式中的系数取唯一值，我们称为的一个基底。基底是一个向量的集合，空间中的任何向量可以表示为基底的线性组合，并且表示是唯一的。正交基中基的元素是不相关的，正交基往往对误差比较敏感，而且正交基的获得也比较的困难。所以，在实际的过程应用中，往往放宽了正交基的要求，使得基底函数之间有部分的相关性和冗

28、余度，这就是框架。框架概念它是空间中规范正交系概念的推广，最早由Duffin和Schaeffer提出。定义3.1.3 设为一个Hilbert空间，是指标集，设为一Hilbert空间，为中的一个函数序列，若对于任意，存在，使得下述不等式成立：则称为一个框架：称、分别为框架的上、下界。框架常数保证了变换是了连续的，常数保证了变换式是可逆的，并且有连续的逆变换，这样能用框架就能完全刻画函数。框架提供一种冗余表示，在框架中称比值为冗余比或叫冗余因子。3.2正交基和框架比较3.2.1 框架定义3.2.1 若,则称此框架为一紧框架；如果对于的任何一个真子集，都不再是框架，则称是无冗余框架，否则成为冗余框架

29、。可以证明是无冗余框架，则它是一个线性无关组。 当，此时 继而可以推得： 式说明紧框架一般不是标准正交基，但是它提供了函数一种冗余表示。可以看做重构函数的一种方法。例取,取对于任意的,我们有，所以 ，由这个例子可以看出是的一个框架，而且是紧框架，给出了的一种冗余表示。若,此时，此时，此时为一正交基，所以正交基只是一种特殊的框架，框架概念比正交基的范围广泛的多。 当,由重构函数公式，定义算子记作。则其逆运算可表示成令所以上式可写成：以上说明重构原函数的关键在于寻找对偶序列，它的证明比较难，下面给出主要结论。也构成一个框架，其上、下界恰好与的上、下界呈倒数关系，即当,作为一阶近似，可取3.2.2

30、正交基和紧框架关系定理5 设是Hilerbt空间，为中的一个正交基组，且对任意的，,则是的界为的紧框架。证明：因为为正交基，且对任意的, ,所以为的标准正交基，因为,有所以 因此是以为界的紧框架备注：并不是所有的正交基都能构成的框架，下面给出一个是正交基但是不是框架的例子。设为的标准正交基，令，显然还是的正交基，但已不再是的框架了，因为，所以不存在正数,使恒成立，由定义知道不构成的框架。定理6 若是的界为的紧框架，则是的一组正交基的充分必要条件是，对任意的，。证明 充分性： 若，则，所以，有，即与中其余元素都正交，所以对于任意的，必为 的正交系。若是框架，则，所以是的正交基。必要性：在两端取,

31、由间的正交性，有任意的，命题得到证明。综上所述，得到下列对比关系： 正交基框架线性基之间是严格线性无关的可以线性相关，也可以线性无关联系 为中的一个正交基组，且对任意的：, 是紧框架 为中的一个框架，框架界：是正交基组图1 正交基和框架之间的关系 4总结 本文从有限维欧氏空间标准正交的求法出发，给出了标准正交基的两种新的求法，有效地改进原有方法计算量较大的缺点，同时讨论了无限维希尔伯特空间中，标准正交基的概念得以推广。正交基中基的元素是不相关的，正交基往往对误差比较敏感，而且正交基的获得也比较的困难，所以在前人的基础上引入了框架的概念，框架中的基可以是线性相关的，同时研究发现，标准正交基只是一

32、种特殊的框架，框架的引入给我们带来了全新的结果，开拓了我们的视野。 参考文献 1 李建明.谌黔明.n维空间中可连续变化的标准正交基的构造和投影J.贵州工学院学报，1986, 25（06）：24-28.2 孙宗门.标准正交基的等价条件J.高等数学研究，2008,11(01)：46-47.3 魏运.标准正交基的两种求法J.内蒙古财经学院学报(综合版)，2009,7(01)：150-152.4 余巧生，谢嘉宾. 标准正交基的另一种求法J.黄冈师范学院学报，2006,26(06)：7-9.5 李胜平，徐斌.标准正交基德的新定义及其运用J.高校理科研究.6 段丽芬，刘长义，孔令春. 标准正交基和完全规范

33、正交系J.通化师范学院学报.2007,28 (12):1-3.7 陈云坤.基于矩阵列变换的标准正交基的求法J.大学数.20011,27(03):182-188.8 郭桂荣.利用初等列变换求标准正交基J.六盘水师范高等专科学校学报.2005,118(06):1-3. 9 刘国志.欧式空间的子空间的标准正交基德一种全新求法-Givens变换法J.抚顺石油学院学报.1996,16(01):78-81.10 吕黎明.求解标准正交基的几种方法J.高等函数学报.2001,14(01):13-15.11 陈露.伪标准正交基的一种求法J.重庆工商大学学报.2011,28(04):383-389. 12 张保荣

34、，鲁玉霞.一种用初等变换求标准正交基的方法J.平原大学学报.1998,4(52). 13 北京大学数学系，几何与代数教研室前代数小组.高等代数M.第三版.高等教育出版社.2003.273-359.14牛晓芳，李建华. Hilbert 空间中框架，Riesz基与正交基之间的关系J.河西学院学报.2007,5(23).15姚喜妍. Hilbert 空间中的框架理论发展史J. 运城高等专科学校学报.2001,6(19).16朱丽芹.吴兆荣. Hi lb er t 空间中框架的几个性质J.济南大学学报.1996,3(6).17王慧琴.小波分析与应用M.第一版.北京邮电大学出版社.2001.1-9. 致

35、谢信在学士学位论文即将完成之际，我想向曾经给我帮助和支持的人们表示衷心的感谢。首先要感谢我的导师李春艳老师，他在我论文撰写时给了我大量的指导，让我学到了知识，掌握了科研的方法。他严谨的治学态度、对我的严格要求以及为人处世的坦荡将使我终身受益。除此之外，他对我生活的关心和照顾也使得我得以顺利完成本科学业。在此祝愿他身体健康，全家幸福！在论文的写作过程中，也得到了许多同学的宝贵建议，比如陈艳良同学的耐心指导，同时还到许多在工作过程中许多同事的支持和帮助，在此一并致以诚挚的谢意。最后要感谢的是我的父母，他们不仅培养了我健康的人格，还提供巨大的物质让我顺利完成大学学业。在未来的日子里，我更加努力的学习和工作，不辜负父母对我的殷切的期望，我一定好好的报答和孝敬他们。感谢所有关心、支持、帮助过我的良师益友。最后，向在百忙中抽出时间对本文进行评审并提出宝贵意见的各位专家表示衷心地感谢！