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1、基本知识,泛函初步：研究抽象空间与空间之间相互关系。空间：数学结构集合空间的延伸：引入线性运算构成线性空间；引入范数构成线性赋范空间；引入内积，构成内积空间等等。,常用数学符号,：”for all”or“for everyone”,对于每个：“there is a”or“there exists”,存在 Z：整数集 R：实数集 C：复数集 Z+：正整数集,常用数学符号,常用数学符号,线性空间,线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广,线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决
2、实际问题,一、线性空间的定义,线性空间,若对于任一数 与任一元素，总有唯一的一个元素 与之对应，称为 与 的积，记作,定义 设 是一个非空集合，为实数域如果对于任意两个元素，总有唯一的一个元素 与之对应，称为 与 的和，记作,线性空间,如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么 就称为数域 上的向量空间（或线性空间）,线性空间,线性空间,2 向量空间中的向量不一定是有序数组,3 判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间,说明,1 凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为线性运算,线性空间,（）一个集合，如果定义的
3、加法和乘数运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性,例 实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作,线性空间的判定方法,线性空间,通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律,线性空间,线性空间,线性空间,是一个线性空间.,例 在区间 上全体实连续函数，对函数的加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性空间,一般地,线性空间,（）一个集合，如果定义的加法和乘数运算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足八条线性运算规律,证明,所以对定义的加法与乘数运算封闭,线性空间,下面一一验证八条线性运算规律：,线性空间,所以 对所定义的运算
4、构成线性空间,线性空间,线性空间,1零元素是唯一的,证明,假设 是线性空间V中的两个零元素，,由于,所以,二、线性空间的性质,线性空间,2负元素是唯一的,证明,则有,向量 的负元素记为,线性空间,证明,线性空间,4如果，则 或.,证明,假设,那么,又,同理可证：若 则有,线性空间,三、线性空间的子空间,定义2设 是一个线性空间，是 的一个非空子集，如果 对于 中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间，则称 为 的子空间,定理线性空间 的非空子集 构成子空间的充分必要条件是：对于 中的线性运算封闭,线性空间,线性空间的元素统称为“向量”，但它可以是通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等.
5、,线性空间,是一个集合,对所定义的加法及数乘运算封闭,所定义的加法及数乘符合线性运算,四、小结,线性空间是二维、三维几何空间及 维向量空间的推广，它在理论上具有高度的概括性.,线性赋范空间,线性赋范空间,线性赋范空间,线性赋范空间,线性赋范空间,线性赋范空间,线性赋范空间,线性赋范空间,重用概念,线性空间的完备性,中柯西点列的定义.设,是,中的点列，如果,对任意给定的整数,存在正整数 当 时有 则称是中的柯西点列.类似地可以定义度量空间中的柯西点列.,线性空间的完备性,线性空间的完备性,线性空间的完备性,希尔伯特空间,希尔伯特空间,希尔伯特空间,希尔伯特空间,希尔伯特空间,希尔伯特空间,希尔伯特空间,希尔伯特空间,希尔伯特空间,希尔伯特空间,希尔伯特空间,希尔伯特空间,希尔伯特空间,希尔伯特空间,希尔伯特空间,希尔伯特空间,希尔伯特空间,希尔伯特空间,希尔伯特空间,希尔伯特空间,希尔伯特空间,框架,框架,框架,框架,框架,框架,框架,框架,框架,框架,框架,框架,框架,线性空间的子空间,线性空间的子空间,线性空间的子空间,线性空间的子空间,线性空间的子空间,
