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1、矩 阵 分 析,东北大学信息科学与工程学院石海彬,第一章 线性空间与线性变换,第二章 内积空间,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,第四章 矩阵函数及其应用,第五章 特征值的估计与广义逆矩阵,第六章 非负矩阵,第一章 线性空间与线性变换,第一章 线性空间与线性变换,1 线性空间的概念2 基变换与坐标变换3 子空间与维数定理4 线性空间的同构5 线性变换的概念6 线性变换的矩阵表示7 不变子空间,第一章 线性空间与线性变换,1 线性空间的概念,回顾几个预备概念,集合,数集,有理数集,实数集,复数集,数域,复数集合中的任意非空子集合P含有非零的数，且其中任意两数的和、差、积、商仍属于该集合P，则称
2、数集P为一个数域。（注意0和1）,有理数域,实数域,复数域,第一章 线性空间与线性变换,1 线性空间的概念,集合V中元素的运算：我们只考虑加法，加号+,数域 P 中的数与集合 V 中的元素之间的运算：称为数量乘法，运算结果称为数量乘积，省略乘号,如果这两个运算满足如下八条规则，就称集合 V 为数域 P上的线性空间或向量空间。元素称为向量。,第一章 线性空间与线性变换,1 线性空间的概念,八条规则,附带性质,零向量唯一负元素唯一,第一章 线性空间与线性变换,1 线性空间的概念,线性空间之例,记为,记为,记为,第一章 线性空间与线性变换,1 线性空间的概念,作用在某质点的所有力的集合构成一个线性空
3、间（向量空间）,力向量,实数域,满足八条规则,第一章 线性空间与线性变换,1 线性空间的概念,有关定义,线性相关 与 线性无关,n维线性空间 有且只有n个线性无关的向量,基 任何一组n个线性无关的向量。可以有无数组基。,基向量通常记作,向量x的基表示,称为坐标或分量,第一章 线性空间与线性变换,2 基变换与坐标变换,有两组基，分别为,其关系为,也可写成,过渡矩阵或称变换矩阵,基下向量,第一章 线性空间与线性变换,2 基变换与坐标变换,坐标之间的关系 坐标变换,第一章 线性空间与线性变换,3 子空间与维数定理,子空间 就是线性空间的子集，但得自成线性空间。如何判断 W 是 V 的子空间？准则：,
4、零子空间 由单个的零向量组成的子集 零维平凡子空间 线性空间 V 本身 n 维,子空间之例,第一章 线性空间与线性变换,3 子空间与维数定理,第一章 线性空间与线性变换,3 子空间与维数定理,子空间的交集 是子空间,零向量属于W,任取，则，所以,又,第一章 线性空间与线性变换,3 子空间与维数定理,四维空间中的三个子空间,第一章 线性空间与线性变换,4 线性空间的同构,同构与同构映射,同构的基本性质,线性无关组同构影射到线性无关组n维空间同构影射到n维空间,第一章 线性空间与线性变换,5 线性变换的概念,第一章 线性空间与线性变换,5 线性变换的概念,第一章 线性空间与线性变换,5线性变换的概
5、念,第一章 线性空间与线性变换,5 线性变换的概念,第一章 线性空间与线性变换,5 线性变换的概念,第一章 线性空间与线性变换,6 线性变换的矩阵表示,第一章 线性空间与线性变换,6 线性变换的矩阵表示,第一章 线性空间与线性变换,6 线性变换的矩阵表示,第一章 线性空间与线性变换,6 线性变换的矩阵表示,第一章 线性空间与线性变换,7 不变子空间,不变子空间的定义：,零空间及V本身都是T的不变子空间。,第一章 线性空间与线性变换,7 不变子空间,第一章 线性空间与线性变换,7 不变子空间,因此线性变换T在（1）下的矩阵为分块对角矩阵,第一章 线性空间与线性变换,7 不变子空间,若，又T 为V 的线性变换，且每个V都对不变，则适当选择基，变换T在此基下的矩阵便为分块对角形：,第一章 线性空间与线性变换,7 不变子空间,若V可分解为k个子空间(i=1,2,k)的直和，则存在V的一个线性变换T，使每个 都是的T不变子空间，从而T在某组基下的矩阵具有分块对角形(2)的形式。若n维线性空间V可分解维线性变换T的n个一维不变子空间的直和，则T的矩阵可以具有对角形矩阵的形状，对角线上得元素就是线性变换T所对应的矩阵A的特征值，亦称为线性变换T的特征值。,
