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1、,广州大学物理与电子工程学院,第四章 IIR数字滤波器的设计,4.4 双线性变换法,主要内容,一、双线性变换法的基本原理二、双线性变换法的设计方法,重点与难点,重点1、双线性变换法的基本原理2、双线性变换法的设计方法,难点1、双线性变换法的基本原理,问题的提出,如何将模拟滤波器转变为数字滤波器?,1. 脉冲响应不变法,2. 双线性变换法,问题的提出,采用脉冲响应不变法,DF的频谱有混叠,解决方法,采用双线性变换法,上节例题利用模拟BW滤波器及脉冲响应不变法设计一数字滤波器，满足Wp=0.2p, Ws=0.6p, Ap2dB, As15dB 。,As = 14.2dB,1、双线性变换法的基本原理
2、,基本思想：将非带限的模拟滤波器映射为最高频率为/T的带限模拟滤波器。,模拟频率与数字频率的关系为：,再线性变换到数字频率。,s域到z域的映射关系,1、双线性变换法的基本原理,双线性变换,1、双线性变换法的基本原理,稳定性分析,令s= +j，则有：,1、双线性变换法的基本原理,稳定性分析,1) s0,|z|1,S域左半平面映射到z域单位圆内,2) s=0,|z|=1,3) s0,|z|1,S域虚轴映射到z域单位圆上,S域右半平面映射到z域单位圆外,因果、稳定的AF系统映射为因果、稳定的DF系统,1、双线性变换法的基本原理,数字频率W 变换到模拟频率w,1、双线性变换法的基本原理,双线性变换法的
3、优缺点,缺点：幅度响应不是常数时会产生幅度失真,优点：无混叠,2、双线性变换法的设计方法,第一步，将数字滤波器的频率指标Wk转换为模拟滤波器的频率指标wk,第二步，由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s),第三步，利用双线性变换法，将H(s)转换H(z)。,双线性变换法的设计步骤：,2、双线性变换法的设计方法,Wp,Ws,wp,ws,H(s),H(z),设计模拟滤波器,双线性变换,例1: 利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标Wp=p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的DF比较。,解：设双线性变换中的参数为T,(1) 将DF的频率指标转换为AF的频
4、率指标,(2) 设计3dB截频为wp的一阶BW型模拟低通滤波器，即,N=1, wc = wp,故,例1: 利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标Wp=p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的DF比较。,解：,(3) 用双线性变换法将模拟滤波器转换为数字滤波器,结论：参数T的取值和最终的设计结果无关。,为简单起见，一般取T=2,例1: 利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标Wp=p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的DF比较。,解：,双线性变换法设计的DF的系统函数为：,脉冲响应不变法设计的DF的系统函数为：,
5、令z=ejW ，可分别获得两者的幅度响应。,例1: 利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标Wp=p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的DF比较。,脉冲响应不变法,双线性变换法,脉冲响应不变法存在频谱混叠，所设计的DF不满足给定指标。 双线性变换法不存在频谱混叠，所设计的DF满足给定指标。,3dB,例1: 利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标Wp=p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的DF比较。,H双(z)和H脉(z)幅度响应比较的MATLAB实现,Wp=pi/3;b=1-exp(-Wp);b1=tan(W
6、p/2)*1 1;a=1 -exp(-Wp);a1=1+tan(Wp/2) tan(Wp/2)-1;w=linspace(0,pi,512);h=freqz(b,a,w);h1=freqz(b1,a1,w);plot(w/pi,(abs(h),w/pi,(abs(h1) );xlabel(Normalized frequency);ylabel(Amplitude);set(gca,ytick,0 0.7 1);set(gca,xtick,0 Wp/pi 1);grid;,例2：利用BW模拟滤波器及双线性变换法设计一低通DF，满足Wp=0.2p, Ws=0.6p, Ap2dB, As15dB,
7、解：,(1) 将数字低通指标转换成模拟低通指标，取T=2,Ap2db, As15db,(2) 设计模拟低通滤波器 （BW型）,=2,=0.585 1,例2：利用BW模拟滤波器及双线性变换法设计一低通DF，满足Wp=0.2p, Ws=0.6p, Ap2dB, As15dB,解：,(3) 用双线性变换法将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器,例2：利用BW模拟滤波器及双线性变换法设计一低通DF，满足Wp=0.2p, Ws=0.6p, Ap2dB, As15dB,%Design DF BW low-pass filter using impulse invariance%DF BW LP specfi
8、cationWp=0.2*pi; Ws=0.6*pi; Ap=2; As=15;T=2;Fs=1/T; %Sampling frequency(Hz)%Analog Butterworth specficationwp=2*tan(Wp/2)/T;ws=2*tan(Ws/2)/T;%determine the order of AF filter and the 3-dB cutoff frequency N,wc=buttord(wp,ws,Ap,As,s)%determine the AF-BW filternuma,dena=butter(N,wc,s),例2：利用BW模拟滤波器及双线性
9、变换法设计一低通DF，满足Wp=0.2p, Ws=0.6p, Ap2dB, As15dB,%determine the DF filternumd,dend=bilinear(numa,dena,Fs)%plot the frequency responsew=linspace(0,pi,1024);h=freqz(numd,dend,w);plot(w/pi,20*log10(abs(h);axis(0 1 -50 0);grid;xlabel(Normalized frequency);ylabel(Gain,dB);%computer Ap As of the designed filt
10、erw=Wp Ws;h=freqz(numd,dend,w);fprintf(Ap= %.4fn,-20*log10( abs(h(1);fprintf(As= %.4fn,-20*log10( abs(h(2);,例2：利用BW模拟滤波器及双线性变换法设计一低通DF，满足Wp=0.2p, Ws=0.6p, Ap2dB, As15dB,Ap= 0.3945dB,As= 15.0000dB,例2：利用BW模拟滤波器及双线性变换法设计一低通DF，满足Wp=0.2p, Ws=0.6p, Ap2dB, As15dB,将双线性变换法与脉冲响应不变法所设计DF的结果比较。,双线性变换法Ap= 0.3945
11、dBAs= 15.0000dB,脉冲响应不变法,双线性变换法,脉冲响应不变法Ap= 1.1187dBAs= 12.3628dB,3、非低通IIR数字滤波器的设计,Wp,Ws,wp,ws,H(z),w =W/T,脉冲响应不变法,双线性变换法,H(s),模拟频率变换,设计原型低通滤波器,复频率变换,注意： 脉冲响应不变法不能设计高通和带阻数字滤波器,方法一,3、非低通IIR数字滤波器的设计,方法二,Wp,Ws,H(z),w =W/T,脉冲响应不变法,双线性变换法,数字频率变换,设计原型低通滤波器,z域变换,例4：试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器 Wp1=2.8113rad/s, Wp2=2
12、.9880rad/s, Ap1dB , Ws1=2.9203rad/s, Ws2=2.9603rad/s, As 10dB 。,解:,脉冲响应不变法不适合设计数字带阻滤波器，因此采用双线性变换法设计。,(1) 将数字带阻滤波器指标转换成模拟带阻滤波器指标,取T=2，利用,得模拟带阻指标为：,wp1=6rad, wp2=13rad, ws1=9rad, ws2=1rad1,Ap1dB, As 10dB,例4：试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器 Wp1=2.8113rad/s, Wp2=2.9880rad/s, Ap1dB , Ws1=2.9203rad/s, Ws2=2.9603rad/s
13、, As 10dB 。,解:,(2) 将模拟带阻滤波器指标转换成模拟低通滤波器指标,Ap1dB, As 10dB,wp1=6rad, wp2=13rad, ws1=9rad, ws2=1rad1,Ap1dB, As 10dB,模拟带阻指标,例4：试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器 Wp1=2.8113rad/s, Wp2=2.9880rad/s, Ap1dB , Ws1=2.9203rad/s, Ws2=2.9603rad/s, As 10dB 。,解:,(3) 设计原型BW型模拟低通滤波器,Ap1dB, As 10dB,原型模拟低通指标,原型模拟低通滤波器的系统函数为,例4：试设计满足
14、下列指标的BW型数字带阻滤波器 Wp1=2.8113rad/s, Wp2=2.9880rad/s, Ap1dB , Ws1=2.9203rad/s, Ws2=2.9603rad/s, As 10dB 。,解:,(4) 由复频率变换将原型模拟低通转换为模拟带阻滤波器,(5) 由双线性变换模拟带阻滤波器转换成数字带阻滤波器,课堂小结1,1、双线性变换法的基本思想,第一步，将非带限的模拟滤波器指标（ ）映射为最高频率为/T的带限模拟滤波器指标（ ）：,第二步，再将模拟滤波器指标（ ）转换为数字滤波器指标（ ）：,2、双线性变换法的优缺点,缺点：幅度响应不是常数时会产生幅度失真,优点：无混叠,课堂小结2,第一步，将数字滤波器的频率指标Wk转换为模拟滤波器的频率指标wk,第二步，由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器H(s),第三步，利用双线性变换法，将H(s)转换H(z)。,3、双线性变换法的设计步骤：,再见,
