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1、,一、 线性变换与基,二、 线性变换与矩阵,三、 相似矩阵,3 线性变换的矩阵,为V的线性变换，若,则,命题1,设是线性空间V 的一组基，,即：一个线性变换完全由它在一组基上的作用所决定.,一、 线性变换与基,命题2,设是线性空间V的一组基，对V中,即：任意给定基的像都决定一个线性变换.,由命题1和命题2即得,定理1设为线性空间V的一组基，,对V中任意n个向量存在唯一的线性,变换使,设为数域P上线性空间V的一组基，,为V的线性变换. 基向量的象可以被基线性表出,设,用矩阵表示即为,二、线性变换与矩阵,1线性变换的矩阵,其中, 单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵；,零变换在任意一组基下的矩
2、阵皆为零矩阵., A的第i列是 在基下的坐标，,矩阵A称为线性变换在基下的矩阵.,注：,它是唯一的. 故在取定一组基下的矩阵是唯一的.,例1. 设线性空间 的线性变换为,求在标准基下的矩阵.,解：,则在标准基下的矩阵为,例2. 设为n维线性空间V的子空,间W 的一组基，把它扩充为V的一组基：,并定义线性变换：,则,称这样的变换为对子空间W的一个投影.,2线性变换的运算与矩阵的运算,定理2 设为数域P上线性空间V的一组,的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质：,基，在这组基下，V的每一个线性变换都与 中, 线性变换的和对应于矩阵的和；, 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；, 线性变换的数量乘积对应于矩
3、阵的数量乘积；, 可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应,于逆矩阵.,证：设为两个线性变换，它们在基,下的矩阵分别为A、B，即, 在基 下的矩阵为AB., 在基 下的矩阵为AB., 在基 下的矩阵为, 由于单位变换(恒等变换)对应于单位矩阵E.,相对应.,因此，可逆线性变换与可逆矩阵A对应，且,所以，,与ABBAE,逆变换 对应于逆矩阵,定理3：,设 为V的一组基,对任意，定义：,这里A为在基下的矩阵.,则就是到的一个同构映射.,证明：,3线性变换矩阵与向量在线性变换下的象,定理4 设线性变换在基 下的矩阵为A,在基下的坐标为,在基下的坐标为,则有,4同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系,下
4、的矩阵分别为A、B，且从基() 到基()的过渡,矩阵矩阵是X，则,(),(),定理5 设线性空间V的线性变换在两组基,三、相似矩阵,1定义,设A、B为数域P上的两个n级矩阵，若存在可逆,矩阵 使得,则称矩阵A相似于B，记为,相似是一个等价关系，即满足如下三条性质：, 反身性：, 对称性：,2基本性质, 传递性：,定理6 线性变换在不同基下的矩阵是相似的；,同一线性变换在两组基下所对应的矩阵.,反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作,（3）相似矩阵的运算性质,若,若,则,则,例2.设 为线性空间V一组基， 线性变换在,这组基下的矩阵为,为V的另一组基，且,（1）求 在 下的矩阵B.,（2）求,解：（1）由定理4，在基下的矩阵,（2）由有,于是,例3.在线性空间 中，线性变换定义如下：,（1）求 在标准基 下的矩阵.,（2）求在下的矩阵.,解：（1）由已知，有,所以,则,则 在标准基 下的矩阵A为.,（2）设在 下的矩阵为B，则A与B相似，且,
