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1、第七章 线性变换习题课,线性变换(小结),线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内存联系起着重要作用.线性变换的概念是解析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广,它的理论和方法,(特别是与之相适应的矩阵理论和方法)在解析几何、微分方程等许多其它应用学科,都有极为广泛的应用.本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上则充分利用了线性变换与矩阵对应和相互转换.,一、线性变换及其运算,1基本概念：线性变换,可逆线性变换与逆变换;线性变换的值域与核，秩与零度;线性变换的和与差,乘积和数量乘法,幂和多项式.2基本结论(1) 线性变换保持零向量
2、、线性组合与线性关系式不变; 线性变换把负向量变为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组,(2) 线性变换的和、差、积、数量乘法及可逆 线性变换的逆变换仍为线性变换.(3) 线性变换的基本运算规律(略).(4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变 换的加法与数量乘法作成一个线性空间.,(5) 线性空间V的线性变换 的象与核是的V子空间.若dim(V)=n,则 由V的一组基的象生成,而 的秩+ 的零度=n, 且 是双射当且仅当 是单射当且仅当,二、线性变换与矩阵,1.基本概念:线性变换在基下的矩阵;相似矩阵.2.基本结论,下的矩阵分别为A、B，且从基() 到基()的过渡,矩阵矩阵是
3、X，则,(),(),定理4 设线性空间V的线性变换在两组基,（3）,(4)(定理5 ) 线性变换在不同基下的矩阵是相似的；,同一线性变换在两组基下所对应的矩阵.,反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作,三、特征值与特征向量,1.基本概念:线性变换(或矩阵)的特征值与特征 向量;特征多项式与最小多项式;特征子空间.2.基本结论:线性变换与相应矩阵的特征值、特征向量 及特征子空间的关系(略)(2) 属于不同特征值的特征向量是线性无关的.(3) 相似矩阵有相同的特征多项式,反之不然.,设 为A的特征多项式, 则,(4) 哈密尔顿凯莱（HamiltonCaylay）定理,四、对角化问题,基本概念:
4、 不变子空间, 标准形. 2. 基本结论:,1. (定理7)设 为 维线性空间V的一个线性变换，,则 可对角化 有 个线性无关的特征向量.,在某组基下的矩阵是为角形当且仅当 可以分解为 子空间的直和； 在某组基下的矩阵为对角形当且仅当 的最小多项式（即 在任一基下矩阵 的最小多项式）是P上互素的一次因式的乘积.,(3) 设A为n阶矩阵，则A必与一个若当标准形矩阵相似，且在不计若当块的排列次序的意义下，这个标准形是唯一的；而A与对角矩阵相似A的最小多项式无重根.于是，当A的特征多项式无重根时，A必与一个对角矩阵相似.,本章的重点: 线性变换的矩阵表示以及它们 对角化的条件和方法.本章的难点: 不变子空间的概念和线性变换与 矩阵的一一对应关系.,本章的基本内容及其内在联系可用下图来说明：,线性变换的定义,对角矩阵,最小多项式,若当标准形,线性变换的运算,线性变换的矩阵,线性变换的值域与核,不变子空间,特征值与特征向量,矩阵的三大关系,
