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1、第六章 习题课,一、线性空间的定义,定义: 设V是一个非空集合, R为实数域. 如果对于任意两个元素, V, 总有唯一的一个元素 V与之对应, 称 为与 的和(简称加法运算), 记作 = +. 若对于任一数R与任一元素V, 总有唯一的元素 V与之对应, 称为数与的积(简称数乘运算), 记作 = .,如果上述的两种运算满足以下八条运算规律, 那么, 就称V为数域R上的向量空间(或线性空间):,设, , , O V, 1, l, k R,(1) 加法交换律: a+b =b +a ; (2) 加法结合律: (a+b )+g =a+(b +g ) ; (3) 零元素: 存在O V, 对任一向量a ,
2、有a+O=a ;,(4) 负元素: 对任一元素aV, 存在 V, 有a+ =O , 记 =a ; (5) 1 a = a ; (6) 数乘结合律: k(l a) = (l k)a ; (7) 数乘对加法的分配律: k(a+b )= ka+kb ; (8) 数量加法对数乘的分配律: (k+l)a = ka+la .,二、线性空间的性质,1. 零元素是唯一的.,2. 负元素是唯一的.,3. 0=0; (1) = ; 0=0.,4. 如果 = 0, 则 = 0 或 = 0.,三、线性空间的子空间,定义2: 设V是一个线性空间, L是V的一个非空子集, 如果L对于V中所定义的加法和乘数两种运算也构成一
3、个线性空间, 则称L为V的子空间.,定理: 线性空间V的非空子集L构成子空间的充分必要条件是: L对于V中的线性运算封闭.,四、线性空间的基与维数,定义: 在线性空间V中, 如果存在n个元素1, 2, , nV, 满足: (1) 1, 2, , n 线性无关; (2) V中任意元素总可以由1, 2, , n线性表示,则称1, 2, , n为线性空间V的一个基, 称n为线性空间V的维数.,当一个线性空间V中存在任意多个线性无关的向量时, 就称V是无限维的.,维数为n的线性空间V称为n维线性空间, 记作Vn.,若1, 2, , n为Vn的一个基, 则Vn可表示为:Vn = = x11+x22+xn
4、n | x1, x2, , xnR ,五、元素在给定基下的坐标,定义: 设1, 2, , n为线性空间Vn的一个基, 对任意V, 总有且仅有一组有序数x1, x2, , xn, 使 = x11+x22+xnn ,则称有序数组 x1, x2, , xn 为元素在基1, 2, , n下的坐标, 并记作 = (x1, x2, , xn)T.,线性空间V的任一元素在一个基下对应的坐标是唯一的, 在不同的基下所对应的坐标一般不同.,在向量用坐标表示后, 它们的运算就归结为坐标的运算, 因而对线性空间Vn的讨论就归结为线性空间Rn的讨论.,定义: 设U, V是两个线性空间, 如果它们的元素之间有一一对应关
5、系, 且这个对应关系保持线性组合的对应, 那末就称线性空间U与V同构.,结论1. 同一数域P上的同维数线性空间都同构; 结论2. 同构的线性空间之间具有等价性.,同构的意义: 在对抽象线性空间的讨论中, 无论构成线性空间的元素是什么, 其中的运算是如何定义的, 我们所关心的只是这些运算的代数(线性运算)性质. 从这个意义上可以说, 同构的线性空间是可以不加区别的, 而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数.,六、基变换公式与过渡矩阵,设1, 2, , n及1, 2, , n是n维线性空间Vn的两个基, 且有,称以上公式为基变换公式.,在基变换公式中, 矩阵P称为由基1, 2, , n到基1,
6、 2, , n的过渡矩阵, 过渡矩阵P是可逆的.,(1, 2, , n)=(1, 2, , n)P,将上式用矩阵形式表示为:,七、坐标变换公式,定理1: 设n维线性空间Vn中的元素, 在基1, 2, , n下的坐标为: (x1, x2, , xn)T, 在基1, 2, , n 下的坐标为: (x1, x2, , xn)T, 若两个基满足关系式: (1, 2, , n)=(1, 2, , n)P.,则有坐标变换公式:,或,反之, 若任一元素的两种坐标满足上述坐标变换公式, 则两个基满足基变换公式:(1, 2, , n)=(1, 2, , n)P.,八、线性变换的概念,定义: 设有两个非空集合A,
7、 B, 如果对于A中任一元素, 按照一定规则, 总有B中一个确定的元素 和它对应, 那么, 这个对应规则称为从集合A到集合B的变换(或称映射), 记作 =T() 或记作 =T (A).,设A, T()= , 就说变换T把元素变为, 称为在变换T下的象, 称为 在变换T下的源(或象源), 称A为变换T的源集, 象的全体所构成的集合称为象集, 记作T(A), 即,变换概念是函数概念的推广.,T(A)= =T() | A .,显然, T(A)B.,定义: 设Vn, Um分别是实数域R上的n维和m维线性空间, T是一个从Vn到Um的变换, 如果变换T满足:,(1) 任给1, 2Vn , 都有T(1+2
8、)=T(1)+T(2);,(2) 任给Vn , kR, 都有T(k)= kT().,则称T为从Vn到Um的线性变换.,一个从线性空间Vn到其自身的线性变换称为线性空间Vn中的线性变换.,零变换O: O()=0,恒等变换(或称单位变换)E: E()=, V,九、线性变换的性质,1. T(0)=0, T()=T().,2. 若 =k11+k22+kmm , 则 T =k1T1+k2T2+kmTm .,3. 若1, 2, , m 线性相关, 则T1, T2, , Tm亦线性相关.,注意: 若1, 2, , m 线性无关, 则T1, T2, , Tm不一定线性无关.,4. 线性变换T的象集T(Vn)是
9、线性空间Vn的一个子空间, 称T(Vn)为线性变换T的象空间.,5. ST= | T1=0, Vn(经T变换到0的全体元素构成的集合)是Vn的子空间. 称ST为线性变换T的核.,对Rn上的线性变换: T(x)=Ax, xRn, 则有,(1) T(x)=Ax的象空间T(Rn)就是由1, 2, , n 所生成的向量空间: 即T(Rn)= y = x11+x22+xnn | x1, x2, , xnR ,(2) T(x)=Ax的核ST就是齐次线性方程组Ax=0的解空间.,十、线性变换的矩阵表示式,表示, 其中A = (T(e1), T(e2), , T(en),Rn中任何线性变换T, 都可用关系式,
10、T(x)=Ax (xRn),e1, e2, ,en为单位坐标向量组.,十一、线性变换在给定基下的矩阵,定义: 设T是线性空间Vn中的线性变换, 在Vn中取定一个基1, 2, , n, 如果这个基在变换T下的象为,其中,T(1, 2, , n)=(T(1), T(2), , T(n),则上式可表示为,记,T(1, 2, , n)= (1, 2, , n)A,则称A为线性变换T在基1, 2, , n下的矩阵.,结论: 在Vn中取定一个基后: 由线性变换T可唯一地确定一个矩阵A; 反之, 由一个矩阵A也可唯一地确定一个线性变换T. 在给定一个基的条件下, 线性变换与矩阵是一一对应的.,十二、线性变换
11、在不同基下的矩阵,定理1: 设线性空间Vn中取定两个基:,由基1, 2, , n到基1, 2, , n的过渡矩阵为P, Vn中的线性变换T在这两个基下的矩阵依次为A和B, 那末B=P-1AP.,1, 2, , n;,定义: 线性变换T的象空间T(Vn)的维数, 称为线性变换T的秩.,若A是线性变换T的矩阵, 则T的秩就是R(A).若线性变换T的秩为r, 则T的核ST的维数为nr.,1. 线性空间的判定,典型例题,(1) 如果在一个集合上定义的加法和乘数运算是通常实数间的加乘运算, 则只需检验运算的封闭性. (2) 一个集合, 如果定义的加法和乘数运算不是通常的实数间的加, 乘运算, 则必需检验
12、是否满足八条线性运算规律.,例1: 正实数的全体记作R+, 在其中定义加法及乘数运算为:a b = a+b, a = a, (R, a, bR+)问R+对上述加法与乘数运算是否构成(实数域R上的)线性空间.,解: 可以验证, 所定义的运算是上的运算. 但对于八条运算规律并不都成立. 对(7), (8)两条不成立.,例如,(8) (k+l)a = ak+l = ak al,所以, R+对所定义的运算不构成线性空间., ak+al = ak al = ka l a .,2. 子空间的判定,例1: 设A为n阶实对称矩阵, 问在什么条件下满足xAxT=0的n维实向量 x=(x1, x2, , xn)构
13、成Rn的子空间?,解: 记V= x=(x1, x2, , xn) | xAxT= 0 ,显然0 V, 所以V非空.,对任意的 xV, kR, 有xAxT=0.,(kx)A(kx)T= k2(xAxT) = 0,则,所以 kxV.,因此, V构成Rn的子空间的条件为:,对任意的 x, yV, 有,(x+y)A(x+y)T = 0.,而 (x+y)A(x+y)T=(x+y)A(xT+yT)=xAxT+xAyT+yAxT+yAyT,由于x, yV, 则有xAxT=0, yAyT=0.,所以,(x+y)A(x+y)T=xAyT+yAxT,=2xAyT=0,故,V构成Rn的子空间需要再增加条件:,对任意
14、的 x, yV, 有xAyT=0.,3. 求向量在给定基下的坐标,证一: 因为Px2是3维线性空间, 所以Px2中任意三个线性无关的向量都构成它的一组基.,例3: 证明: 1, x1, (x2)(x1)是Px2的一组基, 并求向量 1+x+x2 在这组基下的坐标.,而 1, x1, (x2)(x1)Px2, 令,k11+k2(x1)+k3(x2)(x1)=0,(k1k2+2k3)+(k23k3)x +k3x2=0,整理得,比较等式两边得,由方程组易得 k1=k2=k3=0, 于是1, x1, (x2)(x1)线性无关, 所以1, (x1), (x2)(x1)是Px2的一组基.,设1+x+x2在
15、给定基1, (x1), (x2)(x1)下的坐标为:,(a1, a2, a3)T.,则有,1+x+x2 = a11+a2(x1)+a3(x2)(x1),整理得,比较等式两边得:,1+x+x2 = (a1a2+2a3)+(a23a3)x +a3x2,解得:,所以 1+x+x2 在给定基下的坐标为: (3, 4, 1)T.,1+x+x2 = 3+4(x1)+(x2)(x1).,即,证二: 已知 1, x, x2 是Px2的一组基, 而 1, (x1), (x2)(x1)Px2, 所以, 1, (x1), (x2)(x1)由1, x, x2 线性表示;,又由于,即 1, x, x2 可以由 1, (
16、x1), (x2)(x1) 线性表示, 所以两个向量组等价.,故它们有相同的秩, 而1, x, x2线性,无关, 因此, 1, (x1), (x2)(x1)也线性无关.,从而1, x1, (x2)(x1)是Px2的一组基.,(1),又由(1)式得, 由基1, (x1), (x2)(x1)到1, x, x2的过渡矩阵为:,即,显然, 1+x+x2在给定基1, x, x2下的坐标为: (1, 1, 1)T.,则1+x+x2在基1, (x1), (x2)(x1)下的坐标为:,(1, x, x2)=(1, (x1), (x2)(x1)P .,即,1+x+x2 = (1, x, x2)(1, 1, 1)
17、T.,= (1, (x1), (x2)(x1)P(1, 1, 1)T.,= (1, (x1), (x2)(x1),= (1, (x1), (x2)(x1),1+x+x2 = 3+4(x1)+(x2)(x1).,即,4. 由基和过渡矩阵求另一组基,例4: 在R3中, 求由基1=(1, 0, 0)T, 2=(1, 1, 0)T, 3=(1, 1, 1)T, 通过过渡矩阵,所得到的新基1, 2, 3, 并求 =122+3在基1, 2, 3下的表达式.,解: 由题设有,(1, 2, 3)=(1, 2, 3)A,=(1, 2, 3),=(1, 1+2, 2+3),再由1=(1, 0, 0)T, 2=(1
18、, 1, 0)T, 3=(1, 1, 1)T, 得,1=(1, 0, 0)T, 2= (0, 1, 0)T, 3= (0, 0, 1)T,为所求的新基., =122+3=(1, 2, 3)(1, 2, 5)T,=(1, 2, 3)A-1(1, 2, 5)T,=(1, 2, 3),=(1, 2, 3),=(1, 2, 3),故, =21+32+53.,5. 过渡矩阵的求法,例5: 设R4的两组基:,求由基1, 2, 3, 4到基1, 2, 3 , 4的过渡矩阵, 并写出相应的坐标变换公式.,解一: 由过渡矩阵的定义有,整理得,由方程(1)得,解得:,同理可以从方程(2), (3), (4)求出其
19、余的aij , 从而确定出过渡矩阵.,从上面的解法可以看到, 由定义出发, 利用解方程组, 求出线性表达式中的系数, 得到过渡矩阵, 这种方法计算量太大. 因此, 当线性表达式不容易得到时, 可采用下面的解法.,解二: 引入一组新的基:,(1, 2, 3, 4)=(e1, e2, e3, e4)A.,于是,其中,(1, 2, 3, 4)=(e1, e2, e3, e4)B.,又,其中,(1, 2, 3, 4)=(1, 2, 3, 4)A-1B.,从基1, 2, 3, 4到基1, 2, 3, 4的过渡矩阵为:,P=A-1B=,因此, 从基1, 2, 3, 4到基1, 2, 3 , 4的基变换公式
20、为:,对任意的R4, 设其在基1, 2, 3, 4和基1, 2, 3, 4下的坐标分别为(x1, x2, x3, x4)T和(y1, y2, y3, y4)T.,则坐标变换公式为:,或,6. 线性变换的判定,例6: 判断下列变换是否为线性变换. (1) 在线性空间V中, 定义变换1()=+, V, 其中是V中的一个固定向量. (2) 在R3中, 定义变换2(x1, x2, x3)=(x12, x2+ x3, x32), 其中=(x1, x2, x3)R3.,解(1): 对任意的, V, kR,1( +)=(+ )+,1()+1()=(+)+( +)=(+ )+2,1(k)=k+,k1()=k(
21、+)=k+k,当0时, 1不是线性变换;当=0时, 1是线性变换.,所以,解(2): 对任意的=(x1, x2, x3), =(y1, y2, y3)V,则,2(+)=(x1+y1)2, (x2+y2)+(x3+y3), (x3+y3)2),2()+2()=(x12, (x2+x3), x32)+(y12, (y2+y3), y32),=(x12+y12, (x2+x3)+(y2+y3), x32+y32),所以,2(+) 2()+2(),因此, 2不是线性变换.,7. 有关线性变换的证明,例7: 全体二阶实矩阵构成实数域R上的线性空间,V, 取固定实数矩阵,在V中定义变换 :,(X)=AXX
22、A, XV.,(1) 证明是V中的一个线性变换;(2) 证明对任意的X, YV, 恒有(XY)=(X)Y+X(Y); (3) 在V中取一组基:,写出在该基下的矩阵.,证明(1): 对任意的X, YV, kR,(X+Y)=A(X+Y)(X+Y)A,=AX+AYXAYA,=(AXXA)+(AYYA),=(X)+(Y).,(kX)=A(kX)(kX)A,=k(AXXA),=k(X),故是V上的一个线性变换.,证明(2): 对任意的X, YV,(XY)=A(XY)(XY)A,=(AX)YX(YA),=(AX)Y(XA)Y+X(AY)X(YA),=(AXXA)Y+X(AYYA),=(X)Y+X(Y),(
23、E1)=AE1E1A,=bE2+cE3.,同理可得,(E2)=cE1+(ad)E2+cE4(E3)=bE1+(da)E3bE4(E4)=bE2cE4,(E1, E2, E3, E4),所以,=(E1, E2, E3, E4),即, 线性变换在基E1, E2, E3, E4下的矩阵为:,8. 线性变换在给定基下的矩阵,解: 如果按定义直接写出(i)( i = 1, 2, 3)被1, 2, 3线性表示出的表达式相当麻烦, 为了简化运算, 可引入一组新基:,例8: 在线性空间R3中取基 1=(1, 0, 2)T, 2=(0, 1, 2)T, 3=(1, 2, 5)T,线性变换 使得 (1)=(2,
24、0, 1)T, (2)=(0, 0, 1)T, (3)=(0, 1, 2)T,求 在基1, 2, 3下的矩阵.,e1=(1, 0, 0)T, e2=(0, 1, 0)T, e3=(0, 0, 1)T,则,(1, 2, 3)=(e1, e2, e3)A,其中,(e1, e2, e3)=(1, 2, 3)A-1,于是,而,(1, 2, 3)=(e1, e2, e3)B,其中,故,(1, 2, 3)= (1, 2, 3) A-1B,其中,9. 线性变换在不同基下的矩阵,例9: 在R3中取两组基:,定义线性变换 :,求在基1, 2, 3下的矩阵.,解: 取R3的另一组基,e1=(1, 0, 0)T,
25、e2 =(0, 1, 0)T, e3 =(0, 0, 1)T,(1, 2, 3)=(e1, e2, e3)A,(1, 2, 3)=(e1, e2, e3)B, (1, 2, 3)=(e1, e2, e3)C,则,其中,所以,(e1, e2, e3)=(1, 2, 3)C-1,故,=(e1, e2, e3)C=(1, 2, 3)A-1C=(e1, e2, e3)BA-1C=(1, 2, 3)C-1BA-1C .,(1, 2, 3),于是线性变换在基1, 2, 3下的矩阵为:,C-1BA-1C,填空题,1. 定义了线性运算的集合称为 .,2. 线性变换T的象空间T(Vn)的 称为线性变换T的秩.,3. 已知三维向量空间R3的一组基为1=(1, 1, 0)T, 2=(1, 0, 1)T, 3=(0, 1, 1)T,则向量4=(2, 0, 0)T在这组基下的坐标为 .,5. 线性空间U, V同构是指 .,两空间元素一一对应, 且保持线性组合的对应.,线性空间(或向量空间),维数,(1, 1, 1)T,6. 已知R3的线性变换: T(a, b, c)=(a+2bc, b+c, a+b2c),则T(Vn)的维数为 , 基为 .,2,(2, 1, 1)T, (1, 0, 1)T,
