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1、2 线性变换的运算,3 线性变换的矩阵,4 特征值与特征向量,1 线性变换的定义,6线性变换的值域与核,8 若当标准形简介,9 最小多项式,7不变子空间,小结与习题,第七章 线性变换,5 对角矩阵,一、不变子空间的概念,二、线性变换在不变子空间上的限制,7.7 线性变换的定义,三、不变子空间与线性变换的矩阵化简,四、线性空间的直和分解,设 是数域P上线性空间V的线性变换，W是V的,的子空间，若 有,则称W是的不变子空间，简称为 子空间.,V的平凡子空间（V及零子空间）对于V的任意一,个变换 来说，都是 子空间.,一、不变子空间,1、定义,注：,1）两个子空间的交与和仍是子空间.,2）设 则W是
2、 子空间,证：显然成立.,任取 设,则,故W为 的不变子空间.,2、不变子空间的简单性质,由于,1）线性变换 的值域 与核 都是 的,不变子空间.,证：,有,故 为 的不变子空间.,又任取 有,3、一些重要不变子空间,也为 的不变子空间.,2）若 则 与 都是 子空间.,证：,对存在 使,于是有，,为 的不变子空间.,其次，由,对 有,于是,故 为的不变子空间.,的多项式 的值域与核都是 的不变子空间.,这里为 中任一多项式.,注：,4）线性变换 的特征子空间 是 的不变子空间.,有,5）由 的特征向量生成的子空间是 的不变子空间.,证：设 是的分别属于特征值,的特征向量.,3）任何子空间都是
3、数乘变换的不变子空间.,任取,设,则,为 的不变子空间.,事实上，若,则 为 的一组基.,因为W为 子空间，,即必存在 使,是 的特征向量.,特别地，由的一个特征向量生成的子空间是一,个一维 子空间.,反过来，一个一维 子空间,必可看成是的一个特征向量生成的子空间.,注：,二、在不变子空间W引起的线性变换,定义：,不变子空间W上的限制.记作,在不变子空间W上引起的线性变换，或称作在,设是线性空间V的线性变换，W是V的一个的,不变子空间.把 看作W上的一个线性变换，称作,当 时，,任一线性变换在它核上引起的线性变换是零,变换，即,即有,注：,当 时，无意义.,在特征子空间 上引起的线性变换是数乘
4、变换，,1、设是维线性空间V的线性变换，W是V 的,子空间，为W的一组基，把它扩允为,V的一组基：,若 在基 下的矩阵为，则,在基 下的矩阵具有下列形状:,三、不变子空间与线性变换的矩阵化简,反之，若,则由 生成的子空间必为 的,不变子空间.,事实上，因为W是V的不变子空间.,即，均可被,线性表出.,从而，,设,在这组基下的矩阵为,若，则,为V的一组基，且在这组基下 的矩阵为准对角阵,2、设 是 维线性空间V的线性变换，都是,的不变子空间，而 是 的一组基，且,（1）,的子空间 为 的不变子空间，且V具有直和分解：,由此即得：,下的矩阵为准对角矩阵(1),则由生成,V的线性变换在某组基下的矩阵
5、为准对角形,V可分解为一些的不变子空间的直和.,反之，若 在基,定理12：设 为线性空间V的线性变换，是,四、线性空间的直和分解,是 的特征多项式.若 具有分解式：,再设,则都是的不变 子空间；且V具有直和分解：,证：令,则 是 的值域，,是 的不变子空间.,又,（2）,下证分三步：,证明,存在多项式 使,于是,对 有,这里,其中,（也即，），,则,存在 使,于是,证明是直和.,用 作用（3）的两端，得,又,从而,所以是直和.,有多项式，使,证明:,首先由(2)，有,即,其次，任取设,即,令,由（2）,有,从而有,又,又,由，是直和，它的零向量分解式,即,唯一.,综合，即有,于是,故,即有,是 的不变子空间，且,练习：,设3维线性空间V的线性变换在基,下的矩阵为,证明：是的不变子空间.,证：令,由,有,即,故W为的不变子空间.,
