毕业设计（论文）基于matlab的一级倒立摆控制器设计与仿真.doc

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1、摘要倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的高阶不稳定系统，它是检验各种新型控制理论和方法有效性的典型装置。近年来，许多学者对倒立摆系统进行广泛地研究。本文研究了直线一级倒立摆的控制问题。首先阐述了倒立摆系统控制的研究发展过程和现状，接着介绍了倒立摆系统的结构并详细推导了一级倒立摆的数学模型。本文分别用极点配置、LQR最优控制设计了不同的控制器， 极点配置法通过设计状态反馈控制器将多变量系统的闭环系统极点配置在期望的位置上，从而使系统满足要求的瞬态和稳态性能指标。最优控制理论主要是依据庞特里亚金的极值原理，通过对性能指标的优化寻找可以使目标极小的控制器。若取状态变量的二次型函数

2、的积分做为系统的性能指标，则称为线性系统二次型性能指标的最优控制。通过比较和MATLAB仿真，验证了所设计的控制器的有效性、稳定性和抗干扰性。关键词：单级倒立摆；MATLAB；控制器设计；极点配置；LQRABSTRACTInverted pendulum is a typical multi-variable, non-linear, strong coupling and rapid movement of high-end system instability, It is testing various new control theory and methods of the effe

3、ctiveness of the typical devices. In recent years, many scholars of the inverted pendulum extensive study.In this paper, a straight two inverted pendulum control problem.First on the inverted pendulum control of the development process and the status quo, then introduced the inverted pendulum system

4、 and the detailed structure of the two inverted pendulum is derived a mathematical model. In this paper, with pole placement, LQR optimal control design a different controller, By comparing and MATLAB simulation, verified the effectiveness ,stability and anti-jamming of the controller. Pole-zero con

5、figuration can configure the closed-loop system poles of multi-variable system in the desired position, by designing of the state feedback controller，so that to make the system meets the requirements of the transient and steady state performance indicators.Optimal control theory is mainly based on t

6、he Pontryagin maximum principle, by the optimization of the performance indicators to find the minimal goal of the controller.If taking the integral of the quadratic function of state variables as the system of performance indicators, called the as the linear quadratic performance index of optimal c

7、ontrol.Key words : Single stage Inverted pendulum; MATLAB; Controller design; Zero-pole; LQR 目 录摘要1ABSTRACT21 绪论11.1 控制理论的发展11.2 倒立摆系统简介及其研究意义11.3 倒立摆研究的发展现状及其主要控制方法21.4 研究目标32 直线一阶倒立摆数学模型的建立52.1 倒立摆系统的物理结构与建模52.2 系统参数设定82.3 系统能控性与能观性93 极点配置控制方案的设计103.1 极点配置理论103.2 极点配置算法113.3 极点配置控制方案的设计124 线性二次型最优

8、控制(LQR)方案的设计164.1 最优控制的起源和发展164.2 线性二次型最优控制原理164.3 最优控制矩阵的设计195 控制系统的MATLAB仿真235.1 MATLAB软件介绍235.2 极点配置控制方案的仿真245.3 线性二次型最优控制(LQR)方案的仿真275.4 干扰条件下控制系统的仿真285.5 S函数模拟动画设计295.7两种控制方法的比较336 总结与展望34参考文献36致谢37附录381 绪论1.1 控制理论的发展控制理论发展至今已有100多年的历史，随着现代科学技术的发展，它的应用也越来越广泛。特别是近几十年，航天航空航海和其它工业过程等领域的研究发展，不断地向控制

9、理论提出一系列挑战性问题，对这些问题的研究和探索，有力地推动控制理论和控制方法取得长足发展，其发展通常可以分为三个阶段。第一阶段是经典控制理论阶段，上世纪50年代前后的控制理论主要是研究单输入-单输出线性定常系统的分析和设计问题，其理论基础是描述系统输入-输出关系的传递函数，基本分析方法是基于频率法、根轨迹法和相平面法等，描述系统的数学模型是微分方程或传递函数，利用增益和相角裕度的概念研究反馈系统，设计出的系统能够满足要求的性能。经典控制理论能够很好的解决单输入单输出问题，所研究的系统是线性定常系统。但对于非线性时变系统很难奏效，分析时采用的相平面法一般也不超过两个变量。第二阶段是现代控制理论

10、阶段。50年代末以来，应宇航技术发展的需要，现代控制理论应运而生。它以描述系统状态这一内部特征向量的状态方程为基础，采用状态空间法，把经典控制理论的高阶常微分方程转化为一阶微分方程组，用以描述系统的动态过程，这种方法可以解决多输入多输出问题，系统既可以是线性的、定常的，也可以是非线性的、时变的。主要研究有高性能、高精度的多输入-多输出、变参数系统的分析和设计问题，最优控制、最优滤波、系统辨识和自适应控制等理论都是这一领域研究的主要课题。它能够解决经典控制理论难以解决的一些问题。第三阶段是大系统理论和智能控制理论阶段。随着被控系统的高度复杂性、高度不确定性以及人们对控制性能要求的提高，经典和现代

11、控制理论面临空前的挑战。70年代末开始的智能控制理论和大系统理论的研究和应用，是现代控制理论在深度上和广度上的开拓。它用来解决多层次分散结构的复杂系统的分析和综合问题，因此受到各国著名学者的极大关注。目前，在专家系统、神经网络、模糊系统、遗传算法等方面己经取得了可喜的进展1。1.2 倒立摆系统简介及其研究意义倒立摆系统是一个复杂的非线性系统。小车可以在限定的轨道上自由的左右移动，小车上的倒立摆被铰链在小车的顶部，另一端可以在小车轨道所在的垂直平面上自由转动。控制目的是通过电机推动小车运动，使倒立摆平衡并保持小车不和轨道两端碰撞。在此基础上，在摆杆的另一端再铰链摆杆，可以组成二级,三级倒立摆系统

12、。在控制理论发展的过程中，某一理论的正确性及实际应用中的可行性需要一个按其理论设计的控制器去控制一个典型对象来验证。倒立摆的典型性在于作为一个装置，成本低廉，结构简单，便于模拟和数字多种不同方式控制；作为一个被控对象，又相当复杂，是高阶次，不稳定，多变量，非线性，强耦合系统。只有采用行之有效的控制方法才能使之稳定。倒立摆系统稳定效果非常明了，可以通过摆动角度、位移和稳定时间直接度量，控制效果一目了然。因此，倒立摆系统在控制理论研究中是一种较为理想的实验装置。倒立摆主要应用在以下几个方面:(1)机器人的站立与行走类似于双倒立摆系统。(2)在火箭等飞行器的飞行过程中，为了保持其正确的姿态，要不断进

13、行实时控制。(3)通信卫星在预先计算好的轨道和确定的位置上运行的同时，要保持其稳定的姿态，使卫星天线一直指向地球，使它的太阳能电池板一直指向太阳。(4)侦察卫星中摄像机的轻微抖动会对摄像的图像质量产生很大的影响，为了提高摄像的质量，必须能自动地保持伺服云台的稳定，消除震动。(5)为防止单级火箭在拐弯时断裂而诞生的柔性火箭(多级火箭)，其飞行姿态的控制也可以用多级倒立摆系统进行研究。倒立摆的控制方法在军工、航天、机器人领域和一般工业过程中都有着广泛的用途，且对于揭示定性定量转换规律和策略具有普遍意义，因此对倒立摆系统的研究具有重要的理论和实践意义。单级倒立摆系统的控制对象是一个单输入(力)双输出

14、(角度和位移)的非最小相位系统，为了用经典控制理论解决单输入多输出系统需引入适当的反馈，使闭环系统特征方程的根都位于左半平面上。用经典控制理论的频域法设计非最小相位系统的控制器并不需要十分精确的对象数学模型，因为只要控制器使系统具有充分大的相位裕量，就能使系统参数保持很宽范围的稳定性。与经典控制理论相比，现代控制理论有较强的系统性，从分析到设计、综合都有比较完整的理论和方法2。1.3 倒立摆研究的发展现状及其主要控制方法鉴于倒立摆的稳定控制研究的重要意义，国内外学者对此给予了广泛关注。国外在60年代就开始了对一级倒立摆系统的研究，在60年代后期，作为一个典型的不稳定、严重非线性例证提出了倒立摆

15、的概念，并用其检验控制方法对不稳定、非线性和快速性系统的控制能力。近年来，随着智能控制方法的研究逐渐受到人们的重视，模糊控制、神经网络、拟人智能控制、遗传算法和专家系统等越来越多的智能控制算法应用到倒立摆动系统的控制上。Charies W.Andorson在1988年应用自学习模糊神经网络成功控制一级摆；周建波等用基于BP网络的规则控制也解决了单摆的稳定性控制问题；徐红兵等提出了基于变结构的模糊神经网络控制算法，实现了二级倒立摆系统的稳定性控制；1995年，张明廉等人应用拟人智能控制理论成功的解决了三级倒立摆这一控制界的世界性难题；2001年9月19日，北京师范大学李洪兴教授领导的复杂系统实时

16、智能控制实验室采用变论域自适应模糊控制成功地实现了三级倒立摆实物系统控制，又于2002年8月11日在国际上首次成功实现了四级倒立摆实物控制系统1。当前，倒立摆的控制方法可分为以下几类 ：(1)线性理论控制方法将倒立摆系统的非线性模型进行近似线性化处理，获得系统在平衡点附近的线性化模型，然后再利用各种线性系统控制器设计方法，得到期望的控制器。PID控制、状态反馈控制、能量控制、LQR控制算法是其典型代表。(2)预测控制和变结构控制方法预测控制：是一种优化控制方法，强调的是模型的功能而不是结构。变结构控制：是一种非连续控制，可将控制对象从任意位置控制到滑动曲面上仍然保持系统的稳定性和鲁棒性，但是系

17、统存在颤抖。预测控制、变结构控制和自适应控制在理论上有较好的控制效果，但由于控制方法复杂，成本也高，不易在快速变化的系统上实时实现3。1.4 研究目标本文主要是围绕一级倒立摆系统，首先介绍了直线一阶倒立摆的物理结构，分析其受力情况，并在一定假设条件下，建立一阶级倒立摆系统的数学模型，并对其进行线性化，初步分析其运动特性。其次运用极点配置理论设计极点配置算法与控制器；运用线性二次型最优控制原理结合合适的Q,R阵求解最优控制矩阵并设计最优控制（LQR）方案。然后根据已经建立的系统数学模型，运用MATLAB的Simulink工具对极点配置控制方案和线性二次型最优控制（LQR）方案进行控制系统的仿真，

18、得出仿真结果和各个输出量的波形，同时利用编写的S函数仿真动画观察仿真结果。目的是通过设计加深对所学自动控制课程的理解，培养理论联系实际的能力，为进一步学习更高层次的控制理论奠定基础。2 直线一阶倒立摆数学模型的建立2.1 倒立摆系统的物理结构与建模2.1.1 倒立摆物理结构现代控制理论是基于状态空间法进行分析的，因此首先要建立系统的状态空间方程。本章通过对其进行受力分析，利用牛顿力学分析方法建立数学模型4，并进行必要的线性化处理和初步的系统原理分析。图2.1 直线一级倒立摆模型图2.1是倒立摆小车和摆杆受力分析图。其中F为加在小车上的力，M为小车的质量，m为摆杆质量，I为摆杆惯性，l为摆杆长度

19、，x为小车位置，为摆杆与垂直方向的夹角，b为小车摩擦力，T为采样周期，N和P为摆杆相互作用力的水平和垂直方向上的分量。 在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图2.1所示，图示方向为矢量正方向。2.1.2 倒立摆受力分析分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：（式 2.1）由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： （式 2.2）即：（式 2.3）把这个等式代入式 2.1中，就得到系统的第一个运动方程： （式 2.4）然后对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程： （式 2.5）即（式 2.6）由此可得到力矩平衡方程如下： （式 2.7）此

20、方程中力矩的方向，由于，故等式前面有负号。合并这两个方程，利用式2.2约去P和N，可得到系统的第二个运动方程 （式 2.8）2.1.3 运动方程的线性化与微分方程模型设（是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），当摆杆与垂直向上方向之间的夹角与1（单位为弧度）相比很小，即时，则可以进行近似处理：，用u来代表被控对象的输入力F，线性化后可得到该系统数学模型的微分方程如下： （式 2.9）2.1.4 传递函数模型将式 2.9进行拉普拉斯变换（假设初始条件为0）得到 （式 2.10）由于需要输出为角度，化简上式消去X(s)，求解上式中的第一个等式，可得 （式 2.11）将式2.11代入式2.10消去X(s)

21、可得 （式 2.12）整理后可得以u为输入量，以摆杆角度为输出量的传递函数 （式 2.13）式中。若取小车位移为输出量，可得传递函数 （式 2.14）2.1.5 状态空间数学模型由现代控制理论可知，控制系统的状态空间方程可写成如下形式：在式2.9中对、求解代数方程，得到如下解： （式2.15）整理后得到系统状态空间方程： （式2.16） （式 2.17）2.2 系统参数设定倒立摆系统实际上是一个定常系统，其系统参数是可以得到的。有些参数可以直接测得，如摆的质量、长度、摆杆的重心到转轴的距离、小车的质量等。而有些参数需要采用间接的方法得到，如摆杆的转动惯量、小车的等效摩擦系数、转轴的等效摩擦系数

22、等。假设系统内部各相关参数4为：M小车质量0.5 kgm摆杆质量0.2 kgb小车摩擦系数0.1 N/m/secl摆杆质心到转轴之间的长度0.3 mI摆杆惯量0.006 kg*m*mT采样时间0.005 s把上述参数代入式2.13、式2.14、式2.16、式2.17中，可以得到系统的实际模型 。摆杆角度和输入量u的传递函数为： （式 2.18）小车位移x和输入量u之间的传递函数为： （式 2.19）系统的状态方程： （式 2.20） （式 2.21）2.3 系统能控性与能观性经典控制理论中用传递函数描述系统的输入- 输出特性，输出量即被控量，只要系统是因果系统，且是稳定的，输出量总是可以被测量

23、的，因而不需要提出可控性及可观性概念。现代控制理论中用状态方程和输出方程描述系统，输入和输出构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量，这就存在着系统内部所有状态是否可受输入影响和是否可由输出反应的问题，这就是系统的可控性与可观测性问题2。如果系统所有状态变量的运动都可由输入来影响和控制由任意的初态达到原点，则系统是完全可控的,否则就称系统不完全可控。相应的，如果系统所有状态变量的任意形式的运动均可由输出完全反应，则称系统是状态完全可观测；反之，则称系统不完全可观测2。可控性与可观测性概念，是用状态空间描述系统引申出来的新概念，在现代控制理论中起着重要作用。它不仅是研究线性系统控制问题必不可少

24、的重要概念，而且对许多最优控制、最优估计和自适应控制问题，也是常用到的概念之一。应用式 2.20与式 2.21推导出的系统状态方程，在MATLAB中执行以下的命令：A=0 1 0 0 ;0 -0.1818 2.6727 0;0 0 0 1;0 -0.4545 31.1818 0;B=0;1.8182;0;4.5455;C=1 0 0 0;0 0 1 0;D=0 0;Tc=ctrb(A,B); To=obsv(A,C);rank(Tc)rank(Tc)执行结果为： ans = 4ans =4可见Tc矩阵和To矩阵的秩都为4等于系统的阶次，所以系统是完全可控且完全可观测的。3 极点配置控制方案的设

25、计经典控制理论的研究对象主要是单输入单输出的系统，控制器设计时一般需要有关于被控对象的较精确模型。现代控制理论主要是依据现代数学工具，将经典控制理论的概念扩展到多输入多输出系统。极点配置法通过设计状态反馈控制器将多变量系统的闭环系统极点配置在期望的位置上，从而使系统满足工程师提出的的瞬态和稳态性能指标。第二章已经得到了倒立摆系统的动力学模型，下面介绍极点配置理论并对直线型一级倒立摆系统应用极点配置法设计控制器。3.1 极点配置理论对于如下的线性定常系统： （式 3.1）状态反馈控制力u(t)为：式中，K为增益，r为参考输入命令，y为输出。将控制力u(t)代入系统可得闭环系统方程为： （式 3.

26、2）显然，闭环系统的特征多项式应为:（式 3.3）由式 3.2可知，经状态反馈增益后，系统矩阵A变成了A-BK1，适当的选择反馈增益矩阵，可以改变系统的特征方程，也就是改变系统极点的位置。 C K AB图3.1 加入状态反馈后系统结构图图3.1中A、B、C矩阵和积分环节组成了基本的状态空间方程的基本结构框图，加入状态反馈矩阵K后，构成闭环全状态反馈系统。3.2 极点配置算法极点配置所给定的期望闭环极点可以是实数，也可以是按共扼对出现的复数，它的选择是一个工程实践与理论相结合的问题，要从实际出发来确定极点和零点在复数平面上的分布。单输入单输出系统确定满足极点配置要求的状态反馈矩阵K的算法主要有系

27、统匹配法、Ackermann配置法1、Gura-Bass算法1等几种方法。其中较为常用的方法是Gura-Bass算法，其具体步骤为:1)判断系统的可控性。确定能否完成预定的闭环极点配置综合目标；2)计算A的特征多项式，即开环系统的特征多项式3.4式的个系数；3)由给定的动态指标或闭环极点要求确定闭环特征多项式3.4式的个系数；4)计算矩阵；5)计算变换阵T: （式 3.4）6、计算所求的增益阵Gura-Bass算法不仅适用于单输入-单输出系统，也同样适用于单输入-多输出系统。多输入-多输出系统可以化为等价的单输入系统，进而采用单输入系统的极点配置算法3.3 极点配置控制方案的设计所谓状态反馈，

28、就是用状态向量与一个系数矩阵的积作为控制向量控制力u 是一个加给小车水平方向的力 u，状态变量有4个，所以反馈系数是个1 X 4阶的矩阵（式 3.5）则系统状态反馈控制力可用状态变量与各自系数乘积之和的形式表示，即（式 3.6）状态反馈控制系统的方框图4如图3.2所示：图3.2 状态反馈控制系统的框图 图3.2中状态空间方程是系统的主体，状态空间的四个状态变量分别与四个增益相乘后求和作为控制力u作为状态空间方程的输入。根据第二章已经得到的倒立摆系统的状态方程2.20式和2.21式中的矩阵A、B。矩阵A的特征值是方程的根：（式 3.7）利用matlab求得系统的特征根为分别为：特征根之一的实部是

29、正值，所以该系统是不稳定的。由此可知：u=0时，倒立摆系统是不稳定的系统。对这一不稳定系统应用状态反馈，可使摆杆垂直且使小车处于基准位置，即达到稳定状态。在用状态方程表示的系统中，应用状态反馈构成的控制系统的特征根，以矩阵（A+BK）的特征值给出。系统稳定的充要条件是所有特征值都要处于复平面的左半平面。矩阵（A+BK）的特征值是方程式的根： （式 3.8）这是s 的四次代数方程式，表示为多项式形式： （式 3.9）选择适当的反馈系数，系统的特征根可以取得所希望的值。 把四个特征根 设为四次代数方程式的根，则有 （式 3.10）比较式3.9和式3.10有下列联立方程式：（式 3.11）如果给出的

30、是实数或共轭复数，则联立方程式的右边全部为实数。据此可求解出实数。当将特征根指定为下列两组共轭复数时 （式 3.12）利用方程式可列出关于的方程组求解后得：（式 3.13）即施加在小车水平方向的控制力（式 3.14）上式给出的状态反馈控制器，可以使处于任意初始状态的系统稳定在平衡状态，即所有的状态变量都可稳定在零的状态。这就意味着即使在初始状态或因存在干扰时，摆杆稍有倾斜或小车偏离基准位置，依靠该状态反馈控制也可以使摆杆垂直竖立，使小车保持在基准位置。 相对平衡状态的偏移，得到迅速修正的程度要依赖于指定的特征根的值。一般来说，将指定的特征根配置在原点的左侧，离原点越远，控制动作就越迅速，但相应

31、地需要更大的控制力和快速的灵敏度。表3.1所示为在复平面上指定的特征根配置成三种情况分别得到的反馈系数。图3.3为指定特征根在复平面的分布情况。表3.1 特征根三种配置情况符号指定特征值 反馈系数图3.3 极点配置法指定的特征根表3.1中的第一组配置数据在图3.3中以表示，在虚轴左侧周围原点分布，距离远点很近，对应的的反馈系数也比较小；第二组数据以表示，也在虚轴左侧原点周围，距离比第一组数据远，反馈系数较大；第三组数据以表示，也在虚轴左侧，其中有一对远离原点的共轭复根，对应的反馈系数最大。这显示出特征根越往复平面的左侧配置，的值就越大这一倾向4。总之，用极点配置法指定的特征根和用极点配置法得到

32、的控制系统的特性两者密切相关，在实际控制系统中，若由极点配置法决定反馈系数，必须反复进行这样的仿真，以得到满足更具体的控制目标和硬件上的制约的控制系统。4 线性二次型最优控制(LQR)方案的设计4.1 最优控制的起源和发展随着科学技术的迅速发展，对许多被控对象如宇宙飞船、导弹、卫星和现代工业设备与生产过程的性能提出了更高的要求，在许多情况下要求系统的某种性能指标为最优。这就要求人们对控制问题都必须从最优控制的角度进行研究分析和设计。最优控制理论是现代控制理论的重要组成部分。其形成与发展奠定了整个现代控制理论的基础。早在20世纪50年代初就开始了对最短时间控制问题的研究。随后，由于空间技术的发展

33、，越来越多的学者和工程技术人员投身于这一领域的研究和开发，逐步形成了较为完整的最优控制理论体系。最优化问题就是根据各种不同的研究对象以及人们预期要达到的目标，寻找一个最优控制规律，或设计出一个最优控制方案或最优控制系统1。最优控制理论研究的主要问题是：根据已建立的被控对象的时域数学模型或频域数学模型，选择一个容许的控制律，使得被控对象按预定要求运行，并使给定的某性能指标达到最优值。从数学的观点来看，最优控制理论研究的问题是求解一类带有约束条件的泛函取值问题，属于变分学的理论范畴。然而，经典变分学理论只能解决容许控制属于开集的一类，为适应工程实践的需要，20世纪50年代中期出现了现代变分理论。在

34、现代变分理论中最常用的两种分法是动态规划和极小值原理。动态规划1是美国学者R.E贝尔曼于1953-1957年为了解决多级决策问题的算法而逐步创立的。最小值原理2时前苏联科学院院士庞特里亚金于1956年-1958年间逐步创立的。时至今日，最优控制理论的研究，无论在深度和广度上，都有了很大的发展，并且日益与其他控制理论相互渗透，形成了更为实用的学科分支，如：鲁棒最优控制、随机最优控制、分布参数系统最优控制及大系统的次优控制等。可以说最优控制理论目前仍然是在发展中的，极其活跃学科领域之一5。4.2 线性二次型最优控制原理最优控制理论主要是依据庞特里亚金的极值原理，通过对性能指标的优化寻找可以使目标极

35、小的控制器。若取状态变量的二次型函数的积分做为系统的性能指标，这种系统最优化问题称为线性系统二次型性能指标的最优控制问题，简称线性二次型(LQR)问题。4.2.1最优化问题的分类及求解方法线性二次型最优化问题的分类6：1. 单变量函数与多变量函数最优化问题2. 无约束与有约束最优化问题3. 确定性和随机性最优化问题4. 线性和非线性最优化问题5. 静态和动态最优化问题线性二次型最优化问题的求解方法1. 间接法（解析法）无约束：经典微分法、经典变分法有约束：极大值原理、动态规划2. 直接法(数值解法)函数逼近法（插值法或曲线拟合法）区间消去法：菲波纳奇法、黄金分割法（0.618法）爬山法：变量轮

36、换法、步长加速法、方向加速法、单纯形法、随机搜索法3. 以解析法为基础的数值解法：无约束梯度法：最速下降法、共轭梯度法、牛顿法与拟牛顿法、变尺度法、 牛顿高斯最小二乘法有约束梯度法：可解方向法、梯度投形法、简约梯度法4.2.2 最优控制问题综述1最优控制问题的数学描述包含以下几个方面的内容：1 受控制系统的数学模型即系统微分方程（式 4.1）2 边界条件与目标集边界条件：即初始状态时刻和初始状态通常已知，而终端时刻和终端状态可以固定也可以自由。一般地，对终端的要求可以用如下的终端等式或不等式约束条件来表示： 或 （式 4.2）目标集：满足终端约束条件的终端集合，用M表示：，或（式 4.3）为简

37、单起见，笼统称式(4.3)为目标集。3 容许控制每一个实际的控制问题，控制向量u(t)都有一个规定的取值范围，通常可以用如下不等式约束条件来表示： 或，i=1,2,3r（式 4.4）4 性能指标(目标函数)衡量控制作用效果的性能指标。将通过不同u(t)来完成，而控制效果好坏，则用性能指标来判别。对于最优化问题的目标函数，其内容与形式主要取决于具体优化问题所要解决的主要矛盾。例如在人造卫星的姿态控制问题中，可分为时间最短、燃料最少、时间最少燃料最少不同目标函数的最优化问题。通常最优控制问题可由下列泛函形式表示：（式 4.5）s.t. 4.2.3 最优控制性能指标分类1为了衡量控制系统在每一种控制

38、规律作用下工作的优劣，就需要用一个性能指标来判断。性能指标的内容、形式取决于最优控制所完成的任务。不同最优控制问题就应有不同的性能指标。同一最优控制问题，其性能指标也可能因设计者着眼点而异。1. 积分型性能指标1) 最小时间控制（式 4.6）最小时间控制是最优控制中最常见的应用类型之一。它表示要求设计一个快速控制率，使系统在最短时间内由已知初态转移到要求的末态。例如导弹拦截器的轨道转移即属于此类问题。2) 最少燃料控制3) 最少能量控制2. 末值型性能指标3. 复合型性能指标复合型性能指标是最一般的性能指标形式，表示对整个控制过程和末端状态都有要求。采用复合型性能指标的最优控制系统，主要有以下

39、两个控制类型：1) 状态调节器2) 输出跟踪系统4.3 最优控制矩阵的设计前面已经得到了直线一级倒立摆系统的动力学模型，下面针对直线型一级倒立摆系统应用LQR法设计控制器。4.3.1 Q、R阵的选择4在利用LQR方法设计控制器时，一个最关键的问题是二次型性能指标的选取。二次型性能指标与实际工程意义的品质指标间的联系至今未完全建立。因此，确定加权阵Q, R是一项重要且困难的工作。假设全状态反馈可以实现（四个状态量都可测），找出确定反馈控制规律K。用matlab中的LQR函数，可以得到最优控制器对应的K。LQR函数允许选择两个参数(R和Q)，这两个参数用来平衡输入量和状态量。最简单的情况是假设R=

40、1，。当然，也可以通过改变Q矩阵中的非调节控制器以得到期望的响应。一般来说，加权矩阵Q和R的选取是在立足提高控制性能与降低控制能量消耗的折中上考虑的。为了使问题简单，且使加权阵Q和R的各元素有明显的物理意义，通常将加权阵Q和R选为对角阵。这样可以看出是对状态平方的加权，相对增大就意味着对的要求较严；R是对控制量u平方的加权，当R相对较大，意味着控制费用增高，使得控制能量较小，反馈减弱，当R相对很小时，控制费用较低，反馈增强，系统动态响应迅速。4.3.2 控制向量K的确定4选择LQR最优控制器的两个控制参数Q和R。这两个参数用来平衡输入量和状态量的权重。 系统开环仿真与分析在初始状态下系统开环响

41、应图4.1 系统开环响应仿真表明系统开环不稳定，在微小的扰动下都会发散，故需要采取控制策略，使系统稳定。 系统闭环LQR仿真 I初始扰动为，选择，则由K,P,E=lqr(A,B,Q,R)进行求解，K = -1.0000 -1.6567 18.6854 3.4594求解系统闭环特征根为:-0.8494 0.8323i ，-5.5978 0.4070i系统的状态响应和控制作用如图4.2所示： 图4.2 LQR控制系统下输出其中，红线代表摆杆的角度蓝线代表小车位置。仿真表明，LQR控制律镇定了倒立摆，响应的超调量很小，系统能够在初始扰动后自行恢复到平衡位置，但稳定时间和上升时间偏大，小车的位移偏移过

42、大。通过选择Q、R阵，可以调整系统的响应时间和超调量。图4.3 LQR控制力u此外，还往往需要在控制作用和性能指标之间进行权衡，以免出现饱和。 系统闭环LQR仿真 II仿真发现，Q矩阵中，增加Q使稳定时间和上升时间变短并且使摆杆的角度变化减小。取，R=1，初始扰动依然为，此时K=-31.623 -20.151 72.718 13.155，仿真结果如图4.4。图4.4 优化Q矩阵后的LQR控制系统输出从仿真结果可以以看出小车位置和摆杆角度能在1 s时间内趋于稳定，控制效果已能满足要求，说明Q矩阵系数已经配置在比较合理的数值上，可以继续微调Q矩阵各系数使系统性能进一步改善。图4.5 优化Q矩阵后的

43、LQR控制力u由图4.5中结果可见系统性能指标得到了明显的改善，系统可以在更短时间内达到稳定。还可以继续调整Q矩阵使控制力u的输出更加平滑。5 控制系统的MATLAB仿真5.1 MATLAB软件介绍MATLAB是在20世纪80年代初期，由美国的MathWorks软件开发公司7正式推出的一种数学工具软件，它以矩阵运算为基础，把计算、可视化、程序设计有机地融合到一个简单易学的交互式工作环境中。MATLAB拥有功能强大、丰富的函数工具箱，可以实现科学计算、符号运算、算法研究、数学建模和仿真、数据分析和可视化、科学工程绘图以及图形用户界面设计等强大功能7。经过这些年的不断更新，它的交互性越来越好，功能

44、也越来越强大，目前，MATLAB软件已成为了国际上公认的、应用最广泛的优秀数学应用软件之一，MATLAB为用户提供了丰富而实用的资源，它涵盖了许多门类的科学研究，如数学、控制、通信、数字信号处理、数字图像处理和经济等。MATLAB语言具有如下特点7：（1）编程效率高它是一种面向科学与工程计算的高级语言，允许用数学形式的语言编写程序，且比Basic、Fortean和C等语言更加接近我们书写计算公式的思维方式，用MATLAB编写程序犹如在演算纸上排列出公式与求解问题。所以它编写简单，编程效率高，易学易懂。（2）语句简单，用户使用方便MATLAB语言是一种解释执行的语言，灵活、方便，其调试程序手段丰富，调试速度快，需要学习时间少。与其他语言相比，较好地解决了瀑布型的循环问题，把编辑、编译、连接和执行融为一体。（3）扩展能力强MATLAB语言有丰富的库函数，在进行复杂的数学运算时可以直接调用，而且MATLAB的库函数同用户文件在形式上一样，所以用户文件也可以作为MATLAB的库函数来调用。因而，用户可以根据自己的需要方便地建立和扩充新的库函数，以便提高MATLAB的使用效率和扩充其他功能。（4）方便的绘图功能MATLAB的绘图功能十分方便，它有一系列绘图函数，例如线性坐标、对数坐标、半对数坐标以及极坐标，均只需调用不同的绘图命令，简单易行。Simulink7是一个用来对动态系统