毕业设计（论文）多带余弦调制滤波器组.doc

《毕业设计（论文）多带余弦调制滤波器组.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《毕业设计（论文）多带余弦调制滤波器组.doc（33页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、目 录摘 要2Abstract31. 绪论42. 低通原型滤波器的设计62.1 概述62.2 低通原型滤波器62.2.1 标准低通滤波器的理想特性62.2.2 低通原型滤波器的设计72.3 二次约束原型低通滤波器组72.4 凯泽窗函数设计原型低通滤波器92.4.1 概述92.4.2 凯泽窗函数设计的原型滤波器102.4.3 Kaiser 窗函数的Matlab 实现123 滤波器组的设计133.1 概述133.2 下取样与上取样133.2.1 下取样133.2.2 上取样163.3 逆操作183.4 多带余弦调制滤波器组193.4.1 滤波器组的分析部分203.4.2 滤波器组的综合部分204.

2、 多带余弦调制滤波器组的准确重构244.1 概述244.2 准确重构244.2.1 恒等变换244.2.2 准确重构的充要条件254.3 多带余弦调制准确重建滤波器组255. 多带余弦调制滤波器组的计算机仿真与分析275.1 凯泽窗函数设计的原型滤波器仿真分析275.2 分析滤波器的仿真分析285.3 综合滤波器的仿真分析296. 结 论31致 谢32参考文献33装摘 要首先介绍了滤波器组的概念，然后给出基于此概念的余弦调制滤波器组CMFB(Cosine-Modulated Filter Banks)的设计及实现, 本文提出了一种近似重构的多带余弦调制滤波器组的设计方法。采用凯泽窗设计法设计原

3、型低通滤波器，在精确重组的前提下，对低通滤波器系数进行优化。该方法优化方便，收敛速度快，与其他方法相比滤波器的阻带衰减大。对设计好的原型滤波器再进行余弦调制，即得到余弦调制滤波器组。利用计算机对本文提出设计方法仿真，并进行性能分析。关键词：原型滤波器；余弦调制滤波器组；近似重构；多速率；凯泽窗AbstractIn this paper,the theory of filter banks is firstly overviewed.Then the design and implementation method of the multracarrier modulation based on

4、 CMFB are presented. A method for designing M-band cosine-modulated filter banks with near perfect reconstruction is proposed. Under the presumption of PR ,the coefficients of the lowpass prototype are optimized. Compared with other design methods,the proposed technigue yields PR filter banks with m

5、uch higher stopbank attenuation.A design example is presented to show that cosine-modulated filter banks with high stop attenuation can be achieved using the proposed mothod. This paper consists of two topics: prototype filter design and CMFB perfect reconstruction.Key words: prototype filter; CMFB(

6、Cosine-ModulatedFilterBanks); near perfect reco- nstruction;multirate；Kaiser订1. 绪论1.1 国内外研究现状、水平及存在的问题近些年来，余弦调制滤波器组以其设计简单的优点，获得了在音频、静止图像和视频压缩方面广泛的应用，比较成功的基于余弦调制滤波器组的压缩算法有MP3、DolbyAC-3和MPEG AAC等。由于设计简单且实现效率高，余弦调制滤波器组成为多速率滤波器组的研究热点之一。M带均匀最大抽取滤波器组的重构问题，约在70年代人们就已经开始进行研究，并一直受到重视。近年来随着信息和通信技术的发展，该问题更加受到人

7、们的关注，将之列为信号处理在现在通信中的关键技术之一。但迄今为止，这一课题发展的还不够成熟。主要是因为一方面研究者通常从分析-综合滤波器组完全重构的条件出发，其要求苛刻， 难于进行；另一方面滤波器传输函数通常设为经典参数形式，由于考虑到稳定性等，滤波采用FIR型，效率第二是结构复杂化，因此使问题复杂化。有时存在难以处理的困难。因此目前国内外，大都采用二分带分级树型结构等一些特例。对于工程应用来说，有效设计和实现尤其重要，因此随着精确重构滤波器组的基本理论逐渐趋于成熟，设计上简单及实现复杂度低的调制型多带滤波器组近年来得到了较多的研究。在调制型滤波器组中各个子带滤波器是由一个原型低通滤波器经过调

8、制得到的，本文着重研究精确重构余弦调制滤波器组的设计，首先推导出涉及滤波器的精确重构约束条件，并提出了一种在精确重构约束条件下设计原型滤波器的有效方法，从而得到余弦调制滤波器组。 1.2 选题的目的、意义当要设计和实现的滤波器组子带数量很大是，余弦调制滤波器组是一个有吸引力的选择。它的主要特点是：（1）设计过程简单，包括生成一个低通原型滤波器，其脉冲调制满足准确重建的一些约束条件。（2）就所需要的乘法次数而言，其现实成本低。因为生成分析滤波器组和合成滤波器组是靠DCT变换来实现的，DCT有快速算法，而且每个子带滤波器共享原型滤器的实现成本。众所周知，余弦调制滤波器组的分析滤波器和综合滤波器都是

9、由一个具有线性相位特性的原型滤波器经余弦调制而得到的滤波器。随着多速率滤波器组和调制滤波器组的精确重建理论的建立, 精确重建余弦调制滤波器组(PR - CM FB)渐成为了一种最佳滤波器组。滤波器组在通信、图像编码、语音编码、雷达等许多领域都有广泛的应用。余弦调制滤波器组(CMFB)是一种特殊的多速率滤波器组,它的分析和综合滤波器是由一个或两个低通原型滤波器经过余弦调制得到的。因此,余弦调制滤波器组的设计可简化为原型滤波器的设计。由于设计简单且实现效率高,余弦调制滤波器组成为多速率滤波器组的研究热点之一。近年来，余弦调制滤波器组以其设计和计算简单的优点，获得了在音频、静止图像和视频压缩方面广泛

10、的应用。本设计着重提出了一种多带余弦调制滤波器组的设计，提高其性能，使之可应用于视频会议这样的实时性要求较高的现代通信系统究滤波器组设计基本原理，优化原型滤波器设计，掌握余弦调制方法。1.3 实施方案及主要研究手段该设计提出了一种近似重构的多带余弦调制滤波器组的原型滤波器设计方法，该方法使用凯泽窗函数设计原型滤波器。本设计着重研究精确重构余弦滤波器组的设计。余弦调制滤波器组是一个特殊的多速率滤波器组,它的分析和综合滤波器是由多个低通原型滤波器经过余弦调制得到的。因此,余弦调制滤波器组的设计可简化为原型滤波器的设计. 由于在设计的多带余弦调制滤波器中所有的分析和综合滤波器组都是对原型滤波器进行调

11、制得到的，整个滤波器的设计关键就是原型滤波器的设计。这里采用凯泽窗函数来设计原型滤波器，其中心思想是构造一目标函数，该目标函数是需优化滤波器参数的凸函数，通过求目标函数的极值来获得滤波器的最优参数。由于只需优化一个参数，所以使得设计过程得以简化。这一设计方法在原型滤波器、分析滤波器组和综合滤波器组的阻带衰减特性方面也具有优势。 调制时，选择合适的相位因子，可以消除相邻子带间的混叠（混叠的主要部分）。设计论证了余弦调制滤波器组精确重构的充要条件，提出了一种快速的设计方法，通过优化一个低阶FIR滤波器间接设计高阻带衰减的原型滤波器。1.4 选题的创新之处近年来随着信息和通信技术的发展，余弦调制滤波

12、器中精确重构问题更加受到人们的关注，将之列为信号处理在现在通信中的关键技术之一。完全重构是指没有幅度、相位、混叠、串话失真，即使理论上满足，实际种也做不到在近代通信系统的许多实际应用中，要求系统处理不同抽样速率的信号。多速率信号处理也取得长足的发展。本课题要研究设计一种滤波器组，提高其性能，使之可应用于视频会议这样的实时性要求较高的现代通信系统，研究滤波器组设计基本原理，优化原型滤波器设计，掌握余弦调制方法。2. 低通原型滤波器的设计2.1 概述 本章将介绍低通原型滤波器的设计方法，我们首先讨论常用FIR滤波器的理想频率响应，以及相应的脉冲响应，然后介绍二次约束原型滤波器的设计，最后，给出本设

13、计中原型滤波器的设计方法凯泽窗函数设计原型滤波器。2.2 低通原型滤波器 2.2.1 标准低通滤波器的理想特性 滤波器的特性通常用他的频率响应来描述滤波器实现基于它的传输函数 （2.2.1）FIR滤波器的设计首先是计算系数而与的关系如下 (2.2.2) (2.2.3)下面将确定理想标准滤波器的和低通FIR数字滤波器的理想幅度响应如图2-1 图2-1 低通FIR数字滤波器的理想幅度响应其理想幅度响应为（2.2.4） 利用(2.2.3)式得到理想低通滤波器的脉冲响应为 = (2.2.5)2.2.2 低通原型滤波器的设计将原型滤波器表示成的形式(其中是最平坦FIR滤波器),通过优化低阶FIR滤波器的

14、通带边缘频率,间接设计原型滤波器。为了得到高质量的重构，一个好的原型滤波器尽可能满足一下两个条件： （2.2.6） （2.2.7）如果满足条件（2.2.6）式则非相邻子带间也没有混叠。如果满足条件（2.2.7）式则滤波器组没有幅度失真。为了便于优化，这里将原型滤波器表示为 （2.2.8）调制时，选择合适的相位因子，可以消除相邻子带间的混叠（混叠的主要部分）。2.3 二次约束原型低通滤波器组通常情况都用最小平方逼近的方法来选择优化目标函数，使低通原型滤波器有最大阻带衰减。即目标函数为： （2.3.1）其中P为一NN正定矩阵，其元素 （2.3.2）为阻带截止频率，在和之间选取。 最后把求原型滤波器

15、系数归结为非线性约束极值问题： , h满足：， （2.3.3）由于在完全重构条件中有一半条件重复，故条件数。解非线性约束极值问题可归结为解非线性方程组。令： （2.3.4）然后对（2.3.4）式各变量求导并令其为零得到： （2.3.5） （2.3.6）（2.3.5）式和（2.3.6）式联立就是所要得到的非线性方程组。然后用牛顿迭代法求解即可。不妨设（2.3.5）式和（2.3.6）式联立所得到的非线性方程组为，其各分量函数为。则牛顿迭代法描述如下： 步1 给出初始近似及计算精度和； 步2 假定已进行了次迭代，已求出了及，计算，其中=，即和； （2.3.7）步3 解线性方程组得；步4 求及；步5

16、若或，则置，输出，及转步6，否则,转步2；步6 结束。2.4 凯泽窗函数设计原型低通滤波器2.4.1 概述窗函数设计滤波器的基本思想，就是根据给定的滤波器技术指标，选择滤波器的阶数N 和合适的窗函数。即用一个有限长度的窗口函数序列来截取一个无限长的序列 获得一个有限长序列,即。并且要满足以下两个条件：（1）窗谱主瓣尽可能地窄,以获得较陡的过渡带；（2）尽量减少窗谱的最大旁瓣的相对幅度，也就是能量尽量集中于主瓣，使峰肩和纹波减小，就可增多阻带的衰减。这就给窗函数序列的形状和长度选择提出了严格的要求。 FIR滤波器的设计建立在对期望滤波器频率特性的某种近似基础之上，不同的逼近方法构成的FIR滤波器

17、的不同设计方案，有多种设计方案可以设计FIR滤波器，比如窗函数设计法、差值逼近法、最小平方逼近法和一致逼近法等等。其中，窗函数设计技术使FIR滤波器设计的主要方法之一，由于其运算简便，物理意义直观，已成为工程应用中最广泛的方法。窗函数设计的基本思想 窗函数设计FIR滤波器就是根据给定的滤波器技术指标，选择滤波器长度M和窗函数，使其具有最窄宽度的主瓣和最小的旁瓣。其核心就是给定的频率特性确定有限长单位脉冲响应序列。考虑到数字滤波起的频率响应是以为周期的周期函数，若指标所要求的频率响应为，则与它相对应的序列为，根据DTFT变换对的关系有 （2.4.1） （2.4.2）为了满足设计要求，得到一个有限

18、长的脉冲响应，一种最简单的办法就是对进行截断并移位，使时，=0。即取 （2.4.3）该法由于通过加窗，取有限的脉冲响应，所以成为窗函数法（也称窗口法）。常用窗函数 工程实际中常用的窗函数有6种，即矩形窗、巴特里特窗、汉宁窗、哈明窗、布莱克曼床和凯泽窗。它们之间的性能比较如下表。在本设计中主要采用凯泽窗函数来实现原型滤波器的设计。窗口的计算公式 根据工程实际的经验，给定，和，则窗函数设计的经验公式如下：归一化过渡带=滤波器阶数=当时，当时，2.4.2 凯泽窗函数设计的原型滤波器由于在设计的多带余弦调制滤波器中所有的分析和综合滤波器组都是对原型滤波器进行调制得到的，整个滤波器的设计关键就是原型滤波

19、器的设计。这里采用凯泽窗函数来设计原型滤波器，其中心思想是构造一目标函数，该目标函数是需优化滤波器参数的凸函数，通过求目标函数的极值来获得滤波器的最优参数。由于只需优化一个参数，所以使得设计过程得以简化。这一设计方法在原型滤波器、分析滤波器组和综合滤波器组的阻带衰减特性方面也具有优势。 在逼近重构余弦调制滤波器组时，混叠几乎被消除，失真也近似于一个延迟。设原型滤波器 是线性相位的，则对应 的近似重构条件可由以下公式给出 ， （2.4.5）式中 （2.4.6） （2.4.7）(2.4.5)式中的近似程度决定混叠误差的大小，(2.4.6)式中的近似程度决定失真误差的大小。利用 Kaiser 窗函数

20、，一个长度为的滤波器可由下式表示 （2.4.8）式中 （2.4.9）其中是截止频率为的理想滤波器的冲激响应。是 Kaiser 窗函数。 （2.4.10）其中是零阶修正 Bessel 函数 （2.4.11）参数 可由选定阻带衰减确定。这样原型滤波器的设计可利用 Kaiser 窗函数确定、和来实现。根据确定的阻带衰减和适当的过渡带宽，窗函数长度可近似为 （2.4.12）Kaiser 窗函数完全确定。截止频率是唯一未知参数。定义 （2.4.13）根据式（2.4.6），可近似认为是长度为的 Nyquist 滤波器。也就 （2.4.14）其中为单位冲激响应。目标函数定义为 （2.4.15） 取最小值时的

21、 即使得最优。根据该 Kaiser 窗函数法设计子带个数，阻带衰减=60的原型滤波器。2.4.3 Kaiser 窗函数的Matlab 实现Kaiser 窗函数的语法格式为Kaiser ( n ,BETA) ,其特点是可以在主瓣与旁瓣之间自由地选择它们之间的比例。对于长度为n 的凯泽窗,由BETA 控制旁瓣高度,不同BETA 即得相应的旁瓣高度。(取50) 不变的情况如图2-2 ,BETA(取4) 不变的情况如图2-3。图2-2 不变时不同BETA旁瓣变化情况图2.3 改变n 旁瓣高度变化情况3 滤波器组的设计3.1 概述在许多应用中，需将一个数字信号分解成为多个子频带。分解后的信号比原是信号中

22、的样点数多，但是可以对每个子频带进行抽样（下取样），以使分解后的数字信号样点数和原始信号一样多。问题是怎样从抽取后的子带完好地恢复出原始信号。通常这个目标的系统成为滤波器组。在信号分析、编码和传输等许多应用中，需要将数字信号分解成多个子带，如图3-1所示。H0(z)H1(z)HM-1(z) 图3-1 数字信号分解成各子频带在这种情况下，每个子带信号，,的样点数至少和原始信号一样。这意味着分解成个子带后的信号的样点数是原始信号的倍。在许多应用中，这是要避免的。通常，信号的频谱被等分成多个子带，且各个子带的带宽相等。那么每个子带的带宽是原始信号的，可以对每个子带以抽样（临界抽样）而不会损失原始信号

23、中的信号，就可以将一个信号分解成多个子带而不增加总的样点数。3.2 下取样与上取样3.2.1 下取样 取样信号为，设是对模拟信号以周期取样得到的数字信号即。以因子对信号抽取或下取样就是减少取样速率倍，等效于每隔保留一个取样值，此操作用途如图3-1所示的符号表示，=2的情况如图3-2 线图3-1 倍下取样下取样后的信号和原始信号之间的关系可以直观的表示为 （3.2.1）在频域，如果的频谱是，则下取样的频谱为 （3.2.2） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 图3-2 2倍下取样如图3-3所使得2的情况，式说明将的频谱扩展被以后为周期延拓到的频谱（等价于将的频谱

24、先以位周期延拓，在扩展倍）。这意味着，要避免下取样后的混叠，信号带宽必须限制在。因此，通常在下取样之前先经过一个如图3-4所示的低通滤波器，其频率响应近似为= （3.2.3）加入滤波器以后，下取样信号是对信号和滤波器脉冲响应卷积结果每隔的取样值，即 （a） (b)图3-3 （a）原始数字信号的频谱 （b）时原始信号取样函数的频谱 （3.2.4） 图3-4 一般下取样操作 下取样的一些重要结论（CrochiereRabiner,1983）：时变性，即如果输入信号时移，输出信号通常不是相应的时移。下取样称为周期性时不变操作。从（3.2.4）式可知，如果滤波器是FIR，它的输出只需要计算每隔个取样点

25、的卷积结果，其实现复杂度是普通滤波器运算的（PeledLiu,1995）。而IRR不具有该特性。则可以放宽对滤波器的限制，为 （3.2.5）3.2.2 上取样 对数字信号内插或上取样倍，即在信号的样点之间插入个0，此操作用图3-5表示。 图3-5 倍上取样内插信号表示如下 （3.2.6）的内插操作如图3-6所示。在频域，设的频谱为，直观地，可以得到内插信号的频谱（CrochiereRabiner,1983） （3.2.7）图3-7是信号和内插因子为L的内插信号的频谱。 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10图3-6 2倍内插因为原始信号的频谱以为周期，所以内插信号

26、的频谱周期为。要得到的平滑内插信号，内插信号要和原始信号有一样的频谱形状，这可以通过滤除中处在 (a) (b)图3-7 (a) 原始数字信号频谱 （b）倍内插后的信号频谱之处的频谱来实现。因此，通常在内插操作的接一个低通滤波器见图3-8。其频率响应近似为 （3.2.8）这样内插操作等价于低通滤波器和（3.2.6）式定义的信号的卷积。考虑到只有的非零样点的索引值是M的倍数，将式（3.2.6）改写为 （3.2.9）从这个等式容易看出，在时域，滤波后的内插信号变成 （3.2.10） 图3-8 一般内插操作内插操作的一些重要结论（CrochiereRabiner,1983）：和下取样操作不同，内插是时

27、不变操作。具体地讲，是内插倍运算符，信号，则。从（3.10）式可知，计算滤波器的输出只需在输入信号中每隔点取一个样点，因为器它的样点值都为零。这意味着其实现的复杂度是普通滤波的。如果信号限带于，则内插后，信号频谱只在周围半径为的范围内出现。因此，可以同样地放宽对滤波器的限制，得 （3.2.11）(3.2.8)和(3.2.11)式中的增益因子可以这样理解，因此只保留信号的个样点中的一个值，信号的平均能量减少为原来的倍，因此，内插滤波器的增益必须是L，以弥补这个能量损失。3.3 逆操作 现在，一个很自然的问题是： 倍下取样和L倍内插操作是互逆操作吗？显而易见，只要两个操作定位准确，内插时在样点之间

28、插入的个零点，在下取样是正好被去掉；如果没有定好位，将得到零信号。另一方面，其其通常不是自反操作，因为下取样将信号中每个样点中的个去掉，然后内插操作在样点间插入个零。因此它们的级联相当于将信号中每个样点中的个样点的值替换为零。但是，如果信号在下取样前，经过限带于的滤波器，在内插之后，经过一个同样的滤波器如图3-9，则成为一个自反操作。这样频域很容易证明，先经过限带滤波器，下取样后的信号不会有混叠，频谱处在。再经过倍内插，信号的频谱在区间内周期性重复，第二个限带滤波器只保留之间的频谱，即对应的原始信号频谱。 图3-9 (a) 先M倍下采样再倍上采样图3-9 (b) 先倍上采样再倍下采样 3.4

29、多带余弦调制滤波器组当要设计和实现的滤波器组子带数量很大是，余弦调制滤波器组是一个有吸引力的选择。它的主要特点是：设计过程简单，包括生成一个低通原型滤波器，其脉冲调制满足准确重建的一些约束条件。就所需要的乘法次数而言，其现实成本低。因为生成分析滤波器组和合成滤波器组是靠DCT变换来实现的，DCT有快速算法，而且每个子带滤波器共享原型滤波器的实现成本。分析和综合滤波器组都是由一个原型低通滤波器通过调制得到的，这里所用的原型滤波器就是用2.4节中提到的凯泽窗函数设计的。用来进行调制的函数可以是指数函数，也可以是余弦函数或正弦函数，分别称为DFT 调制滤波器组和余弦调制滤波器组。在 DFT 调制滤波

30、器组中，采用的低通原型滤波器在时域是一个符号帧长的矩形脉冲，频域为 sinc 函数。由于能量集中度不够，较多的能量通过旁瓣泄漏到邻近子带，造成子带间干扰。为了消除由此带来的影响，一般采用加隔离带（即循环前缀）的方法。而在余弦调制滤波器组中，采用的低通原型滤波器时域的长度一般有若干个符号帧长，不同符号帧的脉冲在时域上相互交叠，可以通过频谱优化，使子带滤波器的能量更加集中，阻带能量达到最小，从而减小邻近子带间干扰。这对于通信系统中实际存在的各种窄带干扰及其它干扰的抵抗力较强。余弦调制滤波器具有设计简单，易于实现的优点。除此之外，对于余弦调制滤波器组，由于只需优化原型滤波器，需要优化的参数少，所以应

31、用广泛。3.4.1 滤波器组的分析部分 分析部分由两部分组成：分析滤波器组和抽取器组（如图3-5（a）。分析滤波器组 它由具有共同输入的长度为的数字滤波器组成。分析滤波器的转移函数有, 表示，且其频率响应略有重叠。输入信号分割成用表示的一组信号，这组信号称为子带信号。抽取器组 根据子带信号的带宽都必须小于整个频带信号带宽，对子带信号进行抽取（down-sample）。第个倍（L-fold）抽取器采用子带信号以产生如下输出信号 , （3.4.1）抽取器得到的仅仅是发生在倍数时刻的样值。3.4.2 滤波器组的综合部分 综合滤波器还包含如下两个功能块如图 3-5(b)所示。内插器 用来对其各个输入信

32、号进行内插（up-sample）。第 个内插器采用信号以产生如下输出信号 （3.4.2）综合滤波器组 它由具有共同输出的一组个数字滤波器并联组成。综合滤波器的转移函数有表示，其输出结果用表示。输出信号不同于输入信号 是由于：(1) 在分析部分对抽取信号进行的外部处理；(2) 混叠误差。在我们讨论的范围内，混叠指在抽取形式频谱中高频分量呈现出与低频分量一样特性的现象。由于分析滤波器的非理想特性所发生的这种现象也包括由于抽取产生了多个副本所引起的低频分量混入到高频带。对于低频带信号，其它一些地方出现这一现象也是可能的。令表示整个多速率数字滤波器（即分析/综合滤波器）的转移函数。在对分析滤波器输出信

33、号不作任何处理的条件下，选择分析滤波器转移函数, 和 (a) 分析部分(b) 综合滤波器图3-10 数字滤波器 对应综合滤波器转移函数，使是一个纯粹的时延，即 （3.4.3）式中是标量因子，是分析滤波器与综合滤波器级连所引入的处理时延。当这个条件满足时，就说无混叠多速率滤波器具有理想重构特性。信号经过分析滤波器组分为各子带信号后，可对子带信号进行抽取以降低运算复杂度。图 3-11 中 D 为抽取过程， D 为内插过程，D为抽取（内插）因子。抽取（内插）因子D和滤波器个数相等时称为最大采样或临界采样；抽取（内插）因子D小于子带个数时称为过采样。临界采样时计算量较小，但过采样的约束条件数量比临界采

34、样时少，因此在在设计低通原型滤波器是具有更大的自由度。 图3-11 分析和综合系统 对于余弦调制正交镜像滤波器组，其分析滤波器传递函数和综合滤波器传递函数 ,是分别通过对一个具有线性相位特性的低通滤波器进行余弦调制获得的。因此分析滤波器和综合滤波器的冲激响应如下 （3.4.4） （3.4.5）其中，是子带个数，是原型滤波器阶次。分析滤波器和综合滤波器具有如下关系 （3.4.6）这里滤波器和具有相同的长度，是的共轭转置。 ， （3.4.7） 尽管原型滤波器具有线性相位，但分析和综合滤波器都没有线性相位。整个滤波器组的输出可表示为 （3.4.8）其中 定义总的混叠误差为 (3.4.9)因为 是的自

35、相关(对称) 的 变换,故 具有线性相位。也就是说，整个滤波器组没有相位失真，只有幅度和混叠失真。4. 多带余弦调制滤波器组的准确重构4.1 概述本章着重研究精确重构的余弦调制滤波器组的设计，首先提出滤波器精确重构的约束条件，得到凯泽窗函数设计的原型滤波器，经过余弦调制，从而得到余弦调制滤波器组。4.2 准确重构4.2.1 恒等变换图4-1所示的恒等变换涉及到滤波器和抽样操作或内插操作的位置交换，这对于多率值系统和滤波器组的分析很有用。图4-1（a）中的恒等变换说明，将信号倍抽取后再经过滤波器等价于将信号限经过滤波器再倍抽取。在滤波器脉冲响应的相邻样点间插入个零就得到滤波器。其数学表达式为 （

36、4.2.1）式中是倍抽取操作符。图4-1（b）中的恒等变换说明，将信号先经过滤波器再倍内插等价于将信号倍内插后再经过滤波。其数学表达式为。式中，是倍内插操作符。图中的恒等变换可以直观的证明，先经过滤波在内插，则可以得到，这显然和先内插后经过滤波器的表达式一样。(a) (b) 图4-1 恒等变换： （a）抽取 （b）内插4.2.2 准确重构的充要条件分析滤波器 （4.2.2） 综合滤波器 （4.2.3）多相分量 （4.2.4） （4.2.5）分解和综合多相矩阵是矩形，大小分别为精确重构的充要条件是： （4.2.6）4.3 多带余弦调制准确重建滤波器组定义：和分别是滤波器组系统的输入和输出，则称其

37、为完全重构的，如果系统没有混叠失真、幅度失真和相位失真。因此完全重构系统的输出和输入一定满足 （4.2.7）令 （4.2.8）则系统的输出可表示为： （4.2.9）因此要消除混叠失真必须使得，要确保完全重构必须有为一延迟。 滤波器的多相表示如图3-11由于 （4.2.10）用矩阵形式可表示为 （4.2.11）其中 （4.2.12）可用1-型多相位表示 , （4.2.13）则有 （4.2.14）其中 同理可用2-型多相位表示 , （4.2.15）则有 其中 综合以上式子我们可以得到 （4.2.16）令，则有 (4.2.17) 这样我们就得到了滤波器组的多相位表示。其完全重构条件完全可通过来描述。 特性可列表如下： 滤波器组特性 对应性质消除混叠失真 伪循环矩阵 消除混叠失真、幅度失真和保持单变量相位仿酉矩阵、伪循环矩阵 完全重构 仿酉矩阵、伪循环矩阵和线性相位 5. 多带余弦调制滤波器组的计算机仿真与分析5.1 凯泽窗函数设计的原型滤波器仿真分析采用凯泽窗函数来设计原型滤波器，其中心思想是构造一目标函数，该目标函数是需优化滤波器参数的凸函数，通过求目标函数的极值来获得滤波器的最优参数。由于只需优化一个参数，所以使得设计过程得以简化。 根据确定的阻带衰减和适当的过渡带宽，窗函数长度可近似为