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1、本科毕业论文（设计）( 2014届 ) 题 目： 幂指函数的极限求法 系 （部）： 数学与计算机科学系 专 业： 数学与应用数学 学生姓名： 学号： 指导教师： 职称（学位）： 讲师 完成时间： 2014 年 4 月 25 日 池州学院教务处制学位论文原创性声明本人所提交的学位论文，是在指导老师指导下独立完成的研究成果.本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在文中以明确方式标明.本人依法享有和承担由此论文而产生的权利和责任.声明人（签名）：年 月 日目 录摘 要1Abstract21 引 言32 幂指函数求极限42.1 直接代值42.2 重要极限62.2.1 第二重要极限公式的推广
2、62.2.2 不同于第二重要极限公式的型变形推广62.2.3 应用举例72.3 无穷小等价替换82.3.1 知识预备82.3.2 等价无穷小替换定理82.3.3 举例应用102.4 洛必达法则103 一些带参数的幂指函数极限求法134 总 结16主要参考文献17致谢18摘 要在函数这一领域，幂指函数占有极其重要的地位.在高等数学的学习过程中，以及在日常的实际生活中都会经常遇到它，与此同时计算函数的极限是高等数学中的一个重点，在计算函数的极限过程中，幂指函数极限又是其中的难点.因此，需要更进一步的了解和掌握幂指函数的各种性质，这为解决一些实际问题带来了方便.同时，为了能将函数的学习更好的进行下去
3、，也有必要对幂指函数作进一步的讨论.本文针对幂指函数的极限问题，给出了幂指函数较为全面明晰的定理和求幂指函数极限的一些方法，并做了相应的推广，同时将函数在某点处的极限应用至无穷远处的极限.此外，本文还讨论了不定式型的幂指函数极限的求法，同时给出了带参数的幂指函数的极限求法，并作了相应的举例说明.关键词：幂指函数；重要极限；洛必达法则；等价无穷小；带参数的极限AbstractIn the field of function, power function plays an extremely important role. In the learning process of mathemati
4、cs, as well as in the actual daily life will meet it often limit at the same time, the calculation function is a key point in higher mathematics, in the limit calculation function, exponential function limit is one of the difficult point. Therefore, need to further understand and master the various
5、properties of the exponential function, it is to solve some practical problems of convenience. At the same time, in order to be able to function better on learning, there is a need for further discussion of power exponent function. The limit problem of power exponent function, the power exponent fun
6、ction more comprehensive and clear theorem and some methods of power exponential function and the corresponding promotion, will also limit function at a certain point application limit to infinity. In addition, this paper also discussed the power exponent method for function limit, and gives the par
7、ameters of the power function method of solving limit, and the corresponding example.Keywords: power exponent function; important limit; hospitals rule; equivalent infinitesimal; limit with parameters1 引 言幂指函数是高等代数的主要内容之一,它为大学生后面的学习做好了充分的铺垫.同时幂指函数的求极限运算又是每个学习者所要求掌握的内容，而且幂指函数及幂指函数的求极限的一些知识在其它的一些教科书、参
8、考资料和最近几年的研究生入学考试中会经常出现；但是在高等数学和数学分析的教课书中涉及到的相关的幂指函数的教学内容非常少，只有幂指函数的定义、求导公式和一些推导，并且课本上相应的例题和课后习题也不多.因此，这就要求我们对于幂指函数的一些性质，有必要进一步的理解与掌握.在幂指函数求极限的计算中，通常，我们是利用幂指函数的性质来简化它的计算.但对于一些特殊结构的幂指函数，使用它的相关性质来计算，显然有些无能无力.所以本论文就幂指函数的极限进行了一些研究和举例应用，希望通过对幂指函数的求极限性质的学习与理解，以及对求幂指函数极限方法的总结归纳，让我们可以对幂指函数有更加深刻的理解和认识，在以后做题时能
9、够快速高效的完成.同时为以后的学生的学习提供方便，也激发了他们的兴趣.2 幂指函数求极限形如的函数称为幂指函数1.换句话说，它有类似于幂函数和指数函数的形状特点，皆可在其身上体现.作为幂函数，它的幂指数是确定的，而幂底数为自变量；同样的，若为指数函数，它的底数不变，但指数可变.幂指函数就是幂底数和幂指数同是自变量的函数.这种函数的推广，就是广义的幂指函数.关于幂指函数求极限，一般只作了简单的介绍，对高等数学教材，没有给出系统的一个总结；然而，我们在计算函数极限时总是会遇到寻求这类函数的极限.下面就介绍一些求幂指函数极限的方法.2.1 直接代值利用恒等式，可以看出幂指函数就是初等函数，则在它的定
10、义域内是连续的，如果是定义域内的点，则有；如果不在其定义域内，或者极限过程为时，故有：定理1 若存在极限1证明: 因为故存在，当时，在此条件下的，又因为，所以.例1 计算.解：因为在函数的定义域内,所以.例2 计算.解：虽然不在函数的定义域内，但故有：.对于定理1中的在做题时经常会出现，这样一些情形，通过证明都是成立的.进一步考虑，如果，我们也可考虑推广.例3 已知，计算.解：因为，所以.例4 已知，计算.解：因为,所以.例5 已知，计算.解：因为所以.在有关幂指函数极限计算时，常常会遇到形如等的不定式极限，然而，对于此类极限的计算就不能利用直接代值了，常用的方法有：2.2 重要极限在高等数学
11、求极限的教学中，第二重要极限是一个很重要的计算极限的工具，其有两个公式：和，其中可以代表一个表达式.观察这两个重要极限的公式，你会发现，求幂指型函数极限型的待定式，即当或者时，幂指函数的底数部分趋近于1，而它的指数部分趋于.因此，我们可以利用第二重要极限的基本形式来解决大量形如型的幂指函数极限问题2.2.2.1 第二重要极限公式的推广例如 通过观察发现的指数部分是与前面的系数乘积.由此我们可以将其推广到：或者.证明方法如上题求解类似.依据第二重要极限公式的特点，我们还可以有如下公式：或者.2.2.2 不同于第二重要极限公式的型变形推广定理2 若，在点（可以是无穷大）的某一领域（点除外）内连续，
12、并且满足下面的条件：（1），；（2）；则有.证明: 令，则，因为，在点附近连续，且，所以，又因为，所以，故有，即.2.2.3 应用举例例6 计算 4. 解：因为且，所以.例7 计算 .解：因为，所以.例8 计算.解：原式可改写为因为，所以.2.3 无穷小等价替换无穷小等价替换是计算函数极限的一种有效的方法，但大多数高等数学教材中提到：无穷小的等价替换只适合于乘法运算，实际上，在一些幂指函数中也可以通过使用无穷小等价替换定理，达到简化计算的效果.下面就型，型的不定式进行全面探讨.2.3.1 知识预备引理1.1 设，（1）如果存在，则有也存在；（2）如果，则有3.引理1.2 设，都为某变化过程中的
13、无穷小.如果则有.定理3 幂指函数极限（）存在的充要条件是存在，且有时，3.2.3.2 等价无穷小替换定理（型） 当为型时，为时，如果，且，由引理1.2可知，再由引理1.1可以得到，.故有.于是可将引理1.1推广到幂指函数中有：引理2.1 设，和，都为某变化过程中的无穷小.如果，且，则.引理2.1表明了当时，中，都可等价无穷小替换为，.因为无穷小与自身是等价的，所以就有了如下的推论：推论2.1 设，和都为某变化过程中的无穷小.如果，且，则.推论2.2 设和,都为某变化过程中的无穷小.如果，且，则.上述的推论2.1和推论2.2表明：或时，我们可以对中的部分用等价无穷小替换.（型） 幂指函数极限的
14、型可以表示为，其中为某变化过程中的无穷小.由于，其中为型，再由引理2.1可以得到相应的平行引理2.2.引理2.2 设，和,都为某变化过程中的无穷小.如果，且，则.（幂指型必定式）设,都为某变化过程中的无穷小，用，分别表示幂指型函数型、型极限.则由上述的引理2.1和引理2.2得到：定理2.2【等价无穷小替换定理】 设，如果上述幂指型不定式型、型中的、全部或者部分替换为等价无穷小、后极限存在，则原来的极限也存在，且它们的极限值相等.2.3.3 举例应用例9 求 型.解：当时，所以；又因为,所以 .例10 求（型）.解：当时，,所以.2.4 洛必达法则在高等数学求极限的教学中，应用重要极限，主要解决
15、了学生不容易掌握的幂指函数型的求极限问题，一般是要把幂指函数变成（为实数）.然后利用幂函数的连续性可得.但用这种方法求幂指函数的极限是非常有限的.对于型的幂指函数还要靠洛必达法则（导数法）.对于定理1，如果条件，时失效，这时变成型不定式，此型确定其值可以利用洛必达法则：首先，将幂指函数变成；然后，将变成型，再转换为或型，利用洛必达法则计算.例11 已知，求解.解：由题知 ，用洛必塔法则：因为,所以,.例12 已知：，求解.解：由题意得因为 且，则所以.有的学生在学习了“洛必达法则”之后，看到一个幂指函数，便只考虑到求函数极限需要用洛必塔法则来，经常忘记定理的情形，而将简单的问题变得复杂化.事实
16、上，对于不同类型的不定式极限，洛必达法则基本都适用，但某些情况下，更为复杂的，如果它与“重要极限”和“无穷小等价替换”综合使用，可使计算更容易；对于型的极限运算，也可以更快捷.例13 求 .解：这是型，因为而 所以.例14 求.解：这是型.因为所以.3 一些带参数的幂指函数极限求法这一部分，通过给出两个重要结论及其简单证明，从而获得了求解幂指函数的极限，不仅仅是将幂指函数的极限转化为较简单的复合函数极限，而且计算过程简单，能够有效地避免带参数的幂指函数极限的解体过程中出现逻辑上的不严密性，充分体现了其优越性.定理4 对于形如的函数，如果，那么.为了证明这个结论,我们将引入如下的两个极限公式5.
17、证明: 分两种情况来讨论.(1) 当时, ,，从而；(2)当时，由已知条件和知：从而，由定理1及已知条件可知：；故由(1)和(2)可知，结论成立.需要注意的是：（1）在做题时，常常会遇到将定理中的换位，的情况，然而相应的结论任然成立.（2）定理中可以恒等于1，于是此结果推广了文献5的命题2.例15 .解:因为，故由定理知：原式=.错误解答：=.错误解析：当时，表达式没有意义.例16 设是常数，求极限.解: 因为，原式=.错误解答：.错误解析：当时，没有意义.例17 已知在处可导，且为自然数，求极限.解: 因为在处可导，且，则原式=.错误解答：原式 .错误解析：当是正常数函数时，满足题设条件，但
18、是却没有意义.注：从以上的三个例子中，我们能够观察出，利用定理的结论可以非常容易的的避免在此类带参数的幂指极限的解答过程中逻辑上出现的不严密性，因为在解答的过程中，相关表达式的分子分母位置没有发生变化.4 总 结通过对幂指函数求极限这篇论文的写作，幂指函数求极限方法的总结，为解决考试中所遇到的问题提供了十分有效的手段.对幂指函数求极限方法的推广，不仅需要对幂指行数的形式特点及性质熟练的掌握，而且还要灵活的运用，善于把知识之间的联系衔接起来，因此需要我们不断地分析典型的题目找出内在的规律，总结出幂指函数求极限的方法，从而才能在考试中、做题时熟练的应用幂指函数求极限的方法.总而言之，以上问题的形式
19、变化多端，题目不仅有一定的难度性，还有一定的技巧性，只要我们善于思考，总结，就能找到问题的突破口，最终解决问题.通过已经学习的相关求极限定理以及求极限的知识，例如：重要极限，等价无穷小替换定理，罗比达法则等等，将这些求极限方法推广到了求解幂指函数不定式中的极限问题中；同时，本文还总结出了一些带参数的幂指函数的极限求法，并以实例演练出了该方法的可行性.在写作的过程中，也给了我一定的启示：在幂指函数求极限中给题目定性并找到作题方法是解决问题的难点也是关键点.要巧妙运用这些方法，必须将高等代数知识熟练掌握、融会贯通.这篇论文有一定的局限性，概括不是面面俱到，由于个人的能力有限，这里提供的只是求幂指函
20、数极限的几种方法，不能提供更多的有关幂指函数求极限的方法.以后我会继续学习有关的知识，争取做到更好.在今后的研究中将不断的研究探讨，发现更多解决幂指函数求极限的方法，为学习者提供更多的帮助.除了中文所涉及的方法外，根据问题不同还有其他的方法，这些方法有待我们进一步探讨研究.主要参考文献1同济大学应用数学系. 高等数学M,北京: 高等教育出版社, 2006.2张芳.无穷小量在型极限中的应用.高等数学研究,2005,5:25-26.3冯变英.幂指函数中等价无穷小代换的探讨J.运城学院学报，2006,(5).4冯加才.幂指函数的极限问题J.焦作工学院学报，1999,(5).5李进，郭军，郑美琳.一类
21、特殊的幂指函数极限求法M.高等函授学报（自然科学版），2008,21（6）：30-31.6盛祥耀.高等数学上册M.北京:高等教育出版社,2004.7常州工业技术学院学报(自然科学版),1998,12(4).8逯文超.型幂指函数极限的一种计算方法M.河南教育学院学报（自然科学版），1990,8（2）：16-17.致谢在我的导师王老师的细心指导下本论文已顺利完成了.在这篇论文的写作过程中，我的指导老师王小可倾注了大量的心血，从课题的选择到开题报告，从论文写作提纲，到一遍又一遍论文的修改，王老师都严格把关，循循善诱，不辞辛苦的、耐心的为我讲解论文写作中遇到的各种难题.这整个过程中，花费了王老师不少的
22、宝贵时间和精力，在此我要向我的导师表示衷心地感谢！此外导师严谨的治学态度，开拓进取的精神和高度的责任心也将使学生受益终生！同时我还要感谢在我学习期间给我极大关心和支持的各位老师以及关心我的同学和朋友.写作毕业论文是一次再系统学习的过程，毕业论文的完成，同样也意味着新生活的开始. 从论文选题到搜集资料，从写稿到反复修改，期间经历了喜悦，焦虑，痛苦和彷徨，在论文的写作过程中心情是如此的跌但起伏，如今伴随着这篇论文的最终成稿，复杂的心情也就烟消云散了，自己甚至还有点小小的成就感. 在这里我有太多要感谢的人，首先要感谢我的导师，她为人随和热情，治学严谨细心，在论文的写作和措辞等方面总会以“专业标准”严格要求，也非常感谢我同寝室的人，因为有了他们，我才有了写论文的重要工具电脑.还要感谢池州学院数学与应用数学专业的所有曾给予我知识的老师，谢谢你们这几年的辛勤栽培以及你们在教学的同时更多的是传授我们做人的道理.为期一个学期的毕业论文（设计）已接近尾声了，我的大学生涯也即将圈上一个句号.此刻我的心中、脑海里满满的都是那些熟悉的数学系的恩师们和各位可爱的同学们，我们也即将挥手告别了，谢谢你们,大学因有了你们的陪伴而美好！
