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1、特殊平行四边形提高练习21将一张长方形纸片按照图示的方式进行折叠：翻折纸片，使A与DC边的中点M重合，折痕为EF；翻折纸片，使C落在ME上，点C的对应点为H，折痕为MG；翻折纸片，使B落在ME上，点B的对应点恰与H重合，折痕为GE根据上述过程，长方形纸片的长宽之比=2如图，正方形ABCD的边长为4+，点E在对角线BD上，且BAE=，EFAB，垂足为点F，则EF的长是3请同学们认真阅读、研究，完成“类比猜想”及后面的问题习题解答：习题如图13（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，EAF=45，连接EF，则EF=BE+DF，说明理由解答：正方形ABCD中，AB=AD，BAD=ADC
2、=B=90，把ABE绕点A逆时针旋转90至ADE，点F、D、E在一条直线上EAF=9045=45=EAF，又AE=AE，AF=AFAEFAEF（SAS）EF=EF=DE+DF=BE+DF习题研究观察分析：观察图（1），由解答可知，该题有用的条件是ABCD是四边形，点E、F分别在边BC、CD上；AB=AD；B=D=90；EAF=BAD类比猜想：（1）在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，B=D时，还有EF=BE+DF吗? 研究一个问题，常从特例入手，请同学们研究：如图13（2），在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当BAD=120，EAF=60时，还有EF=BE
3、+DF吗? （2）在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，B+D=180，EAF=BAD时，EF=BE+DF吗? 归纳概括：反思前面的解答，思考每个条件的作用，可以得到一个结论“EF=BE+DF”的一般命题： 4已知ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（点D不与B，C重合）ADF是以AD为边的等边三角形，过点F作BC的平行线交射线AC于点E，连接BF（1）如图1，求证：AFBADC；（2）请判断图1中四边形BCEF的形状，并说明理由；（3）若D点在BC 边的延长线上，如图2，其它条件不变，请问（2）中结论还成立吗? 如果成立，请说明理由 5定义：有一组对角相等而另一
4、组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”（1）已知：如图1，四边形是“等对角四边形”，求，的度数（2）在探究“等对角四边形”性质时： 小红画了一个“等对角四边形”（如图2），其中，此时她发现成立请你证明此结论 由此小红猜想：“对于任意等对角四边形，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”你认为她的猜想正确吗? 若正确，请证明；若不正确，请举出反例（3）已知：在“等对角四边形”中，求对角线的长 6如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作分、FGCD，交AE于点G连接DG（1）求证：四边形DEFG为菱形；（2）若CD=8，CF=4，求的值7四边
5、形ABCD是正方形，AC与BD，相交于点O，点E、F是直线AD上两动点，且AE=DF，CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G，连接AG，直线AG交BE于点H（1）如图1，当点E、F在线段AD上时，求证：DAG=DCG；猜想AG与BE的位置关系，并加以证明；（2）如图2，在（1）条件下，连接HO，试说明HO平分BHG；（3）当点E、F运动到如图3所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接写出BHO的度数 8如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE（1）求证：DEAG
6、；（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转角（0360）得到正方形OEFG，如图2在旋转过程中，当OAG是直角时，求的度数；若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF长的最大值和此时的度数，直接写出结果不必说明理由 9已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：AF=DE；AFDE成立试探究下列问题：（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论，是否仍然成立? （请直接回答“成立”或“不成立”），不需要证明）（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上
7、，且CE=DF，此时，上述结论，是否仍然成立? 若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和BF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论 10如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（3，3）将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度（090），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG（1）求证：AOGADG；（2）求PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；（3）当1=2时，求直线PE的
8、解析式；（4）在（3）的条件下，直线PE上是否存在点M，使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由11如图1，已知是等腰直角三角形，点是的中点作正方形，使点、分别在和上，连接，（1）试猜想线段和的数量关系是并证明（2）将正方形绕点逆时针方向旋转，判断（1）中的结论是否仍然成立? 请利用图2证明你的结论； 12已知ABCD，对角线AC与BD相交于点O，点P在边AD上，过点P分别作PEAC、PFBD，垂足分别为E、F，PEPF（1）如图，若PE，EO1，求EPF的度数；（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BFBC34，求BC的长 13如图，A
9、BCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5，在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到MNK（1）若1=70，求MKN的度数；（2）当折痕MN与对角线AC重合时，试求MNK的面积（3）MNK的面积能否小于0.5? 若能，求出此时1的度数；若不能，试说明理由； 14我们知道平行四边形有很多性质现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折会发现这其中还有更多的结论，如图，已知平行四边形ABCD中，B30，将ABC沿AC翻折至，连接【发现与证明】：如图1：求证：AGC是等腰三角形；【应用与解答】：如图2：如果AB，BC1，与CD相交于
10、点E，求AEC的面积【拓展与探索】如果AB，当BC的长为多少时，ABD是直角三角形? 15如图，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的三角形BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕BEF”是一个 三角形（2）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，当它的“折痕BEF”的顶点E位于AD的中点时，画出这个“折痕BEF”，并求出点F的坐标；（3）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最大的“折痕BEF”
11、? 若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标? 若不存在，为什么? 16如图，ABCD中，点E是BC边上的一点，且DE=BC，过点A作AFCD于点F，交DE于点G，连结AE、EF（1）若AE平分BAF，求证：BE=EG；（2）若点是边上的中点，求证： 17如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DEAG于点E，BFDE且交AG于点F（1）求证：AE=BF；（2）如图1，连接DF、CE，探究线段DF与CE的关系并证明；（3）如图2，若AB=，G为CB中点，连接CF，直接写出四边形CDEF的面积18如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，CAB的平分线分别交BD、BC于点E、F，作BHAF于点H，交AC于点G，连接GE、GF（1）求证：OAEOBG；（2）求证：四边形BFGE是菱形
