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1、永磁同步电动机混沌系统的控制The Control of Chaotic Motions in the Permanent Magnet Synchronous Motors专 业：电子信息与科学学 号： 03111257姓 名： 指导教师： 内容摘要永磁同步电动机(PMSM) 的数学模型,在适当的参数选择和外部输入下,可以呈现出非常复杂的极限环或混沌行为.而混沌运动对电动机的运行可能是有害的。有必要研究一些简单而有效的控制律来控制消除其混沌现象。研究表明采用部分线性化方法和错位自适应控制方法对永磁同步电动机混沌系统模型进行控制，可以实现被控系统的稳定化、平衡化，相对其它的控制方法具有一定的优
2、越性。本文详细的说明了所研究的永磁同步电动机混沌系统的两种控制方法的原理模型，并阐述了如何应用matlab编程求解方程以及如何仿真进行数值研究以证明控制律简单有效。数值研究结果表明控制律简单有效，方便实现，具有重要的工程意义。关键词: 永磁同步电动机 混沌 混沌控制 部分线性化方法 负反馈控制 Matlab 数值仿真AbstractIt is shown that the PMSM model can exhibit a variety of chaotic phenomena under some choices of system parameters and external input
3、s, and it is possibly bad for motors .So its necessary to design some brief and valid method to control or even eliminate the chaotic motion .The study shows that we can realize the stabilization and balance of the system can be realized when partial linearization control and dislocated adaptive con
4、trol method control are used. The most significant is that the method has some advantage to others. In this paper , the detail study and the principle model of PMSM are given ,and it also show how to simulate numerically and how simple and effictive the control law is .Also an easy way of realizatio
5、n by Matlab has been discussed. The result shows that the control law has significant project sense . Key words: permanent magnet synchronous motors, chaos , chaotic control, partial linearization, negative feedback control , matlab, simulate numerically目 录内容摘要.IABSTRACTII第一章 引言.1第二章 永磁同步电动机的混沌模型及其模
6、糊建模.22.1 永磁同步电动机混沌模型.22.2 永磁同步电动机混沌吸引子.2第三章 错位自适应反馈控制法控制永磁同步电动机混沌系统63.1 错位自适应控制.63.1.1 负反馈控制永磁同步电动机混沌系统6 3.1.2错位反馈控制永磁同步电动机混沌模型.73.2数值研究.93.3 结 论11第四章 部分线性化法控制永磁同步电动机混沌系统.124.1部分线性化方法控制永磁同步电动机混沌系统.124.2数值研究.144.3 结 论.16第五章 关于永磁同步电动机混沌系统控制的总结和展望.17参考文献18 第一章 引言20世纪70年代以来, 科学家对电动机的动态特性进行了广泛的研究, 涉及到电动机
7、的起动、调速和振动。在电动机的动力学研究领域1, 仍有许多问题需要进一步研究, 诸如电动机调速系统的低速特征, 即低频“振荡”。这些问题与数学与物理学中对非线性系统的混沌研究密切相关。众所周知, 电动机的数学模型是多变量、强藕合的非线性系统。对非线性动力系统的动态特性的进一步研究必然涉及到混沌。混沌是非线性系统领域的一个活跃的前沿, 理解和利用非线性控制系统丰富的动态特性对现代科技具有重要的影响。需要更多的努力致力于这一科学和工程的挑战。到目前为止, 对永磁同步电动机混沌现象的研究还非常有限。文 2 讨论了无刷直流电动机的动态特性,该文给出永磁同步电动机混沌研究的一些初步结果。首先, 给出满足
8、常输入电压、常外部扭矩的电动机稳态特征的表达式, 通过求解一个三阶多项式方程可得到稳态值; 其次, 讨论如何调节无外部输入和负载的PMSM 的参数, 使其本身呈现极限环或混沌行为; 此外, 讨论更一般的情形,即有外部输入和负载的情形。还给出调节系统参数的方法, 使之呈现极限环或混沌。最后, 计算机仿真证实了PMSM 中的混沌现象。目前,大多数研究处于理论分析和仿真研究阶段24 。所谓电机的混沌运动是指电机参数模型运行参数取样时,计算其取样数列的Lyapunov 指数大于零或用混沌判定的其它方法判定系统具有混沌的特征 24 。所谓混沌控制就是把混沌系统转化为非混沌系统,而混沌反控制5就是非混沌的
9、系统转化为混沌系统。如何采用有效的方法研究电机的混沌控制与反控制问题是电机性能研究中一个具有挑战性的问题。在电机混沌现象的研究中,文献 6研究了永磁同步电动机混沌运动的模型, 文献 7 利用Lyap unov 指数和容量维对该模型进行分析,进一步验证了永磁同步电动机中混沌运动的存在性,文献8 采用纳入轨道和强迫迁徙方法控制了永磁同步电动机中的混沌现象,文献9 研究了永磁同步电动机中混沌运动的延迟反馈控制,取得了较好的效果。研究混沌时, Poincare 映射是一种公认的有效方法。然而, 在Poincare 映射中系统振动的有些信息没有很好地反映10 。文献 11 从故障诊断的角度出发, 研究了
10、动力系统在有周期激扰力作用时的周期采样峰-峰值图方法, 可以作为识别系统不同非线性响应的一种方法。文献12讨论了部分线性化方法控制LV系统.然而,这些控制方法在性能上却各有各的不够完善之处。文献8提出的采用纳入轨道和强迫迁徙方法控制PMSM中的混沌，该控制在理论上虽然有效，但是由于它的控制目标不允许是给定系统自身的轨道或状态，并且需要系统轨道处于吸引域中时才能施加控制，因而在系统实际中很难实现。再者其控制策略本质属于开环控制，不能保证控制过程的稳定性；文献9利用状态延迟反馈研究了PMSM中的混沌控制，但是该方法很难确定控制的周期目标轨道与延迟时间的关系，而且不容易到预知的轨道。为了研究更优的控
11、制方法，本文首先介绍永磁同步电动机混沌模型，然后在该模型的基础上研究如何采用负反馈控制方法13和部分线性化控制方法14对永磁同步电动机混沌模型进行控制，消除混沌，将系统控制到指定的平衡态，数值研究结果表明控制律简单有效。 第二章 永磁同步电动机的混沌模型及其模糊建模2.1永磁同步电动机混沌模型以为状态变量，利用坐标轴，永磁同步电动机可写成： 式中，、分别为轴定子电压；是转动惯量；是粘性阻尼系数；是定子绕组；是轴定子电感；是永久磁通；是极对数；是电流；是角频率；为外部输入转距。 通过仿射变换和时间尺度变换，可将上述方程变换成无量纲状态方程15。 考虑情况，即气隙均匀的永磁同步电动机混沌模型。模型
12、为： （1） 2.2 永磁同步电动机模型的混沌吸引子对于的情形，它可以看成系统在稳定运行一段时间后,突然断电的情况.为明确说明,给出PMSM如下参数:;初始条件为如取 = 5. 46 ,分别为 = 14. 1 , = 14. 93 和 = 20 时的仿真结果如图13. 说明在经过一段时间的运行后,突然断电,系统在不同的参数选择下呈现不同的动态特性.对于和和和为一般的情形,有相似的结论 .当时,原系统状态方程的等价为： (2)和分别取不同的值时，系统表现出极限环、混沌特性15，系统在不同参数下，呈现不同的动态特性由于和时，系统出现混沌现象，以后的讨论均取、。令方程（2）左边为0，解得平衡点为:。
13、利用matlab编程计算平衡点方法17：syms x1 x2 x3 f1=-x1+x2*x3; f2=-x2-x1*x3+20*x3; f3=5.46*x2-5.46*x3; x1,x2,x3=solve(f1,f2,f3) solution=x1,x2,x3 在平衡点附近作线性变换，其特征方程为： 是平衡点坐标。求得相应平衡点的特征根：(-13.91, 7.46, -1.0)、(0.15.2 i , -7.67)、(0.0541.8i ,3.35),所以这些平衡点是不稳定点。 利用matlab编程计算平衡点的特征根方法：x01=0;x02=19;x03=19; y01=0;y02=-sqrt
14、(19);y03=-y02; z01=0;z02=y02;z03=y03; a1=-1 z02 y02;-z02 -1 -x02+20;0 5.46 -5.46 d02 s02=eig(a1);d02 a2=-1 z03 y03;-z03 -1 -x03+20;0 5.46 5.46 d03 s03=eig(a2); d03主要程序如下：在编辑窗口建立函数文件dzdt05.m，在命令窗口调用求解函数，并画图function dz=f(t,z) dz(1)=-z(1)+z(2)*z(3); dz(2)=-z(2)-z(1)*z(3)+20*z(3); dz(3)=5.46*(z(2)-z(3);
15、 dz=dz(1);dz(2);dz(3); H=0,40;z0=2 0.2 1; t z=ode45(dzdt05,H,z0);subplot(321); plot3(z(:,1),z(:,2),z(:,3),k-) xlabel(x) ylabel(y) zlabel(z)系统的混沌吸引子和波形如图4、5所示： 图4 永磁同步电动机混沌系统的混沌吸引子 图5 永磁同步电动机混沌系统的函数图第三章 错位自适应反馈控制法控制永磁同步电动机混沌系统3.1 错位自适应反馈3.1.1 负反馈控制永磁同步电动机混沌系统考虑一种典型情况, 它可以看成是系统稳定运行一段时间后，突然断电的情况。原系统状态方
16、程的等价为：原系统状态方程的等价为： （2） 由于和时，系统出现混沌现象，以后的讨论均取、。在方程（2）的第二式加反馈：-ky得受控系统为： （3）令方程（3）左边为0，解得平衡点为： 编程计算如下：syms x1 x2 x3 k f1=-x1+x2*x3; f2=-x2-x1*x3+20*x3-k*x2; f3=5.46*x2-5.46*x3; x1,x2,x3=solve(f1,f2,f3)在平衡点附近作线性变换，其特征方程为： (4)对点则为：(x+1)*(x2+323/50*x-5187/50+k*x+273/50*k)=0 (5)主要程序如下：syms k x0 y0 z0x0=0;
17、y0=0;z0=0;A=-1 z0 y0;-z0 -1-k -x0+20;0 5.46 -5.46Poly(A)由霍尔维茨判据知,特征方程（5）满足：则全部特征值具有负实部，方程的零解全局渐进稳定。计算得：当时，系统将趋于平衡点。同理：对平衡点，特征方程为：x3+373/50*x2+k*x2-627/50*x-5187/25-273/25*k=0 （6）主要程序如下：syms k x0 y0 z0 x0=19.-k;y0=(-19.-1.*k)(1/2);z0=y0; a=-1 z0 y0;-z0 -1-k -x0+20;0 5.46 -5.46; poly(a) 当12.54k19时，系统将
18、趋于平衡点3.1.2错位自适应反馈控制永磁同步电动机混沌模型定义：将第一个变量x 自适应反馈控制到第二个方程右边,或者将第二个变量y 自适应反馈控制到第一个方程的右边,从而有效地将混沌系统控制到非稳定平衡点。我们称这种方法为错位自适应控制方法在方程（2）的第二式加负反馈：-kx得 （7）令方程（7）左边为0，解得平衡点为:编程计算如下： syms x1 x2 x3 k f1=-x1+x2*x3; f2=-x2-x1*x3+20*x3-k*x1; f3=5.46*x2-5.46*x3; x1,x2,x3=solve(f1,f2,f3) solution=x1,x2,x3在平衡点附近作线性变换，其
19、特征方程为： （8）对点则为：(x+1)*(x2+323/50*x-5187/50)=0 （9）主要程序如下：syms k x0 y0 z0 x0=0;y0=0;z0=0; a=-1 z0 y0;-z0-k -1 -x0+20;0 5.46 -5.46; poly(a)根据霍尔维茨判据知：特征方程（9）满足 （10）则全部特征值具有负实部，方程的零解全局渐进稳定。计算得：当时，系统将趋于平衡点。同理：对平衡点，特征方程为：x3+373/50*x2+273/100*x*k2-273/100*x*k*(k2+76)(1/2)+1273/50*x-273/100*k*(k2+76)(1/2)+273
20、/100*k2+5187/25 （11）主要程序如下：syms k x0 y0 z0 x0=19.-1.*k*(-1/2*k+1/2*(k2+76)(1/2);y0= -1/2*k+1/2*(k2+76)(1/2);z0=y0; a=-1 z0 y0; -z0-k -1 -x0+20; 0 5.46 -5.46; poly(a)计算得：当 时，系统将趋于平衡点或。3.2数值研究取系统初值, 时，方程的零解全局渐进稳定，系统状态最终将被吸引到稳定平衡态（0, 0, 0）。将初值带入前面的程序中，得数值模拟结果如图6所示，（a）是到平衡态的相空间轨迹，（b）是在控制作用下，随时间变化趋于指定的平衡
21、态过程。平衡态的相空间轨迹 在控制作用下随时间变化过程 图6 混沌状态的控制k=20系统初值相同，取，方程的零解全局渐进稳定，系统状态最终将被吸引到稳定平衡态或。数值模拟表明，系统经一定时间后，趋于指定的平衡态（9，-3，-3），结果如图7所示，（a）是到平衡态的相空间轨迹，（b）是在控制作用下，随时间变化趋于指定的平衡态过程。 （a） (b)(a) 平衡态的相空间轨迹 (b) 在控制作用下随时间变化过程图7 混沌状态的控制k=103.3 结 论本方法对永磁同步电动机混沌模型的混沌行为进行了探讨，研究如何采用负反馈控制方法对永磁同步电动机混沌模型进行控制，控制到指定的平衡态，如何应用matla
22、b编程求解方程；如何应用matlab编程仿真进行数值研究，验证控制律的简单有效。理论计算指出，在方程（2）的第二式加负反馈：-kx情况下，当控制参数时，系统将趋于平衡点；当时，系统将趋于平衡点。数值研究结果与理论结果一致，表明控制律简单有效。由于从目前研究结果看，混沌现象对永磁同步电动机运行可能是有害的，本研究设计了简单有效控制器控制永磁同步电动机运行中的混沌，具有重要的工程意义。第四章 部分线性化法控制永磁同步电动机混沌系统4.1部分线性化方法控制永磁同步电动机混沌系统 由于闭系统的稳定性并不要求闭系统的线性性，因而可利用部分线性化的方法控制永磁同步电动机混沌系统，通过部分线性化的方法消除部
23、分非线性项，使永磁同步电动机混沌系统由一个复杂的控制问题逐步简化为一系列的次复杂问题。为了控制方程（2）对应的混沌系统，在其第2个状态方程的右边增加一个控制项，则此系统变为如下形式： （8）以下，我们称之为被控系统。为区别原系统与被控系统，我们称原系统为期望系统，把它重新写为如下形式： （9）定义跟踪误差向量，表达式为：通过计算，可以得到误差动力系统（10）： （10）根据式（8）的第2个状态方程，定义一个非线性控制项： （11）代入式（8）的第2个状态方程，整理简化，显然式（8）的第2个状态方程已经被线性化，消除了同状态1和状态3的耦合项。 下面将证明通过这样一个控制项可以使永磁同步电动机混
24、沌系统全局稳定。 根据式（9），误差动力系统式（10）可以简化为： （12） 使用下列matlab程序： syms e2 t d=De2=-e2; e2=dsolve(d) 则式（9）的第2个方程的解析解为： （13） 其中，。因此可知永磁同步电动机混沌系统的状态即电流的跟踪误差是以指数速度收敛到0，当。 同理，使用下列matlab程序：syms e1 t a C2 d=De1=a*( C2*exp(-t)-e1); e1=dsolve(d)式（12）的第3个方程化为： （14）则式（12）的解析解为： (15) 其中，。因此可知永磁同步电动机混沌系统的状态即角频率的跟踪误差也是以指数速度收敛
25、到0，当。为了证明通过式（11）这样一个部分线性化控制项可以使永磁同步电动机混沌系统全局稳定，下面必须证明跟踪误差也是收敛到0，当。 当期望轨线式（9），是一个稳定状态，即是一个常向量，误差动力系统式（10）的第1个状态方程化为： （16）因此式（16）的解析解是确定的，通过计算可以得到跟踪误差的解为： （17） 式中， 由式（17）可得：当期望轨线式（9）不是常量，也就是，则跟踪误差可以用上面的方法来确定它的一个上界和下界函数、： （18） 取 ，, 。 由于永磁同步电动机混沌系统是一个混沌吸引子，由混沌的基本特性知，和必然有界，因而将会取有限值，则，跟踪误差被两个趋于0的函数所界定。可知永
26、磁同步电动机混沌系统的状态即电流的跟踪误差也是收敛到0，当。 综上所述，被部分线性化式（11）所控制的永磁同步电动机混沌系统是全局渐进稳定的。4.2数值研究取期望系统初值, ；取误差系统初值，。利用式（9）和Matlab的ode45函数，得到期望系统（9）状态变量和随时间变化的数值解。 利用式（12），和的数值解以及Matlab的ode45函数，得到跟踪误差（12），和随时间变化的数值解。 利用，和可以得到被控系统状态变量和的数值解。利用式（11）得到控制项的数值解。期望系统与时间的函数关系图见图8，其中前一部分期望轨线式（9）不是常量，也就是；后一部分是一个常向量，=（9，3，3）。被控系统
27、与时间的函数关系图见图9。被控系统与期望系统之间跟踪误差与时间的函数关系图见图10。非线性控制项与时间的函数关系图见图11。从图8，9和10可以看到被控系统能够很好地跟踪期望系统，且跟踪误差，和均很快趋于0；从图11可以看到非线性控制项在全部的跟踪过程中一直有界。具体主要语句为：%期望系统初值，误差系统初值C2=0.5;C3=-1;y2=0.2;y3=1; C1=-1+50/223*C3*y2+C2+50/273*C2*C3;%计算误差e1,e2,e3e2=-exp(-t); x2=e2+z(:,2);e3=-273/223*exp(-t)+0.5*exp(-5.46*t);x3=e3+z(;
28、,3); for i=1:1193 e1(i)=(-50/223*C3*z(i,2)*exp(-223/50*t(i)-C2*exp(-t(i)-50/273*C2*C3*exp(-273/50*t(i)+C2*z(i,3)*t(i)+273/223*C2*z(i,2)*t(i)+C1)*exp(-t(i);end%画被控系统跟踪误差向量图subplot(321), plot(t,e1,k-,t,e2,t,e3,r) %计算非线性控制量x1=e1+z(:,1); for i=1:1193 u=-20*e3(i)+x1(i)*x3(i)-z(i,1)*z(i,3); end%画非线性控制量 su
29、bplot(323),plot(t,u) 图8 期望系统函数图图9 被控系统函数图图10被控系统跟踪误差向量图 图11 非线性控制量的函数图4.3 结 论本方法对永磁同步电动机混沌模型的混沌行为进行了讨论，研究如何采用部分线性化方法控制对永磁同步电动机混沌模型进行控制，并且控制项使永磁同步电动机混沌系统全局稳定。在证明过程中应用matlab编程来求解方程,并详细说明了如何应用matlab编程仿真进行数值研究，验证控制律的简单有效。数值研究结果表明控制律简单有效。由于从目前研究结果看，混沌现象对永磁同步电动机运行可能是有害的，也可能有益，本研究设计了简单有效控制器控制永磁同步电动机运行中的混沌，
30、具有一定的工程意义。第五章 关于永磁同步电动机混沌系统控制的总结和展望混沌控制是当前混沌运动研究的一个新领域。是实现混沌应用的关键环节。多年来，人们对混沌运动的性质产生了一些广为接受的认识，即混沌轨道的长期趋势是不可预言的，并且混沌运动是难以控制的。1990年E.Ott、C.Grebogi和J.A.Yorke1提出控制混沌的思想（OGY控制）产生广泛影响。以后十年，新的研究成果不断涌现2。以上方案无须改变系统固有参数，即可实现对混沌系统的有效控制，但是，要求系统参数是定常的。当混沌系统具有不确定参数时，以上方案将失效。近年来，关于不确定参数的混沌系统的控制已引起重视3。电力系统中存在着许多混沌
31、现象4。其中永磁同步电动机的数学模型是多变量、强耦合的非线性系统，能呈现出非常丰富的动态行为，如极限环和混沌5-6。对其如何进行控制也是一个重要的研究课题。对于不确定线性系统，基于Riccati方程和线性矩阵不等式（LMI）提出了一系列的鲁棒控制器设计方法7-11。对于不确定非线性系统，现有的研究成果还很少。实践证明，具有线性后件的T-S模糊模型充分利用局部信息和专家经验，能以任意精度逼近实际的控制对象12-14。在考虑模型不确定性的情况下，文献15-16提出了模糊鲁棒控制的概念，并取得了一定的成果。本文针对一类由T-S模糊模型表示的不确定连续非线性系统，导出了最优保代价控制器存在的充分条件。
32、闭环系统不但渐近稳定，而且性能指标小于某一代价值。采用线性矩阵不等式（LMI）技术，给出了该控制器的设计方法和参数化表示。并将所得的控制器应用到永磁同步电动机混沌系统中，建立了永磁同步电动机混沌系统的T-S模型，针对不包含不确定参数和包含不确定参数两种情况，均得到了满意的控制效果。参考文献1许镇琳，王江，王家军. 基于逆变压器死区的永磁同步电动机系统的变结构控制J, 控制理论与应用，2002,19(4):579-5822HematiN.Strange attractors in Brushless DC motorsJ.IEEE Trans Circuits and Systems- I;Fu
33、ndamental Theory and Applications,41(1):40-45.3曹志彤,郑中胜.电机运动系统的混沌特性J.中国电机工程学报,1998,18(5):318-322.4张 波,李 忠,毛宗源,等.电机传动系统的不规则运动和混沌现象初探J. 中国电机工程学报,2001,21(7);40-45.5 毛宗源，李忠，张波. 永磁同步电动机的混沌特性及其反混沌控制J, 控制理论与应用，2002,19(4):545-549。6张波，李忠，毛宗源。等。Poincare映射的数值算法及其在永磁同步电动机混沌分析中的应用J。控制理论与应用，2001，18（5）：589-800。7 张波
34、，李忠，毛宗源。等。利用Lyapunov指数和容量维分析永磁同步电动机仿真中的混沌现象J。控制理论与应用，2001，18（4）：589-5928 李忠，张波，毛宗源。等。永磁同步电动机系统的纳入轨道和强迫迁徙控制J 控制理论与应用。2002，19（1）：53-56。9任海鹏，刘 丁，李 洁。永磁同步电动机中混沌运动的延迟反馈控制J。Ren H P,Liu D,Li J2003 Proc.CSEE.23 175(in Chinese)中国电机工程学报，2003，23（6）：175-178。10刘秉正。非线性动力学M。北京：高等教育出版社。2004。11杨永锋，任兴民，秦卫阳。一种描述非线性动力学
35、响应的新方法J。中国机械工程。2005，16（16）：1468-1470。12 于永光，张锁春. 利用部分非线性方法控制L系统.13 陈关荣，吕金虎. Lorenz系统族的动力学分析、控制与同步M. 北京：科学出版社，200314 张静. 永磁同步电动机混沌系统的部分线性化方法控制研究J,煤矿自动化2006.215 张波，毛宗源，李忠. 永磁同步电动机的混沌模型及其模糊建模J, 控制理论与应用，2002,19(4):545-54916Li z.zhang B,Mao Z Y.Strange attractor in permanent-magnet synchronous motorsA.IEEE Proceedings of 1999 International Conference on Power Electronics and Drive SystemsC.Hong Kong .1999.150-155. 17Matlab/help
