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1、7.2一元二次不等式及其解法1.考查一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关系问题；2.会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型；3.以函数、导数为载体，考查不等式的参数范围 问题复习备考要这样做1.结合二次函数的图像，理解“三个二次”的关系，掌握二次不等式的解法；2.理解简单的分式不等式、高次不等式的解法，和函数单调性结合解一些指数不等式、对数不等式1一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2bxc0 (a0)或ax2bxc0)(2)求出相应的一元二次方程的根. (3)利用二次函数的图像与x轴的交点确定一元二次不等式的解集2一元二次不等式与相应的二
2、次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式b24ac000)的图像一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x10)的解集x|xx2x|xx1x|xRax2bxc0)的解集x|x1 xx2难点正本疑点清源1一元二次不等式的解集及解集的确定一元二次不等式ax2bxc0(或0)的形式，其对应的方程ax2bxc0有两个不等实根x1，x2(x10)，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集2解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏1不等式x21的解集为_答案x|1x1解析x21，则1x1，不等式的解
3、集为x|1x0对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围为_答案(，)(，)解析由题意，知441(k21)2，k或k.4(2012重庆)不等式0的解集为()A. B.C.1，) D.1，)答案A解析0等价于不等式组或解得x1，解得x，原不等式的解集为.5若不等式ax2bx20的解集为x|2x4的解集为x|xb，(1)求a，b的值；(2)解不等式ax2(acb)xbc4的解集为x|xb，所以x11与x2b是方程ax23x20的两个实数根，b1且a0.由根与系数的关系，得解得(2)不等式ax2(acb)xbc0，即x2(2c)x2c0，即(x2)(xc)2时，不等式(x2)(xc)0的解集为x|2xc
4、；当c2时，不等式(x2)(xc)0的解集为x|cx2；当c2时，不等式(x2)(xc)2时，不等式ax2(acb)xbc0的解集为x|2xc；当c2时，不等式ax2(acb)xbc0的解集为x|cx2；当c2时，不等式ax2(acb)xbc0的解集为x|2x0的解集为_答案x|3x0的解集为x|3x0时，原不等式化为(x1)0x或x1.当a1，即a2时，原不等式等价于1x；当1，即a2时，原不等式等价于x1；当2，原不等式等价于x1.综上所述，当a2时，原不等式的解集为；当a2时，原不等式的解集为1；当2a0时，原不等式的解集为(，1.题型二一元二次不等式恒成立问题例2已知不等式ax24xa
5、12x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围思维启迪：化为标准形式ax2bxc0后分a0与a0讨论当a0时，有解原不等式等价于(a2)x24xa10对一切实数恒成立，显然a2时，解集不是R，因此a2，从而有整理，得所以所以a2.故a的取值范围是(2，)探究提高不等式ax2bxc0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a0时，b0，c0；当a0时，不等式ax2bxc0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a0时，b0，c0；当a0时， 当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是_答案(，5解析方法一当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立m在x(1,2)上恒成立，设(x)，(x
6、)(5，4)，故m5.方法二设f(x)x2mx4，因为当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立，所以即解得m5.题型三一元二次不等式的实际应用例3某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为x (0x0，解此不等式即可得x的范围解(1)由题意得y12(10.75x)10(1x)10 000 (10.6x) (0x1)，整理得y6 000x22 000 x20 000(0x1)(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有即解得0x，所以投入成本增加的比例应
7、在范围内探究提高不等式应用题常以函数、数列为背景出现，多是解决现实生活、生产中的最优化问题，在解题中主要涉及到不等式的解法等问题，构造数学模型是解不等式应用题的关键 某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是_答案20解析由题意得，3 860500500(1x%)500(1x%)227 000，化简得(x%)23x%0.640，解得x%0.2，或x%3.2(舍去)x20，即x的最小值为20.解与一
8、元二次不等式有关的恒成立问题典例：(12分)设函数f(x)mx2mx1.(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围；(2)若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围审题视角(1)对于xR，f(x)0恒成立，可转化为函数f(x)的图像总是在x轴下方，可讨论m的取值，利用判别式求解(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：方法一是利用二次函数区间上的最值来处理；方法二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般方法二比较简单规范解答解(1)要使mx2mx10恒成立，若m0，显然10；若m0，则4m0.所以4m0.4分(2)要使f(x)m5在1,3上恒
9、成立，即m2m60时，g(x)在1,3上是增函数，8分 所以g(x)maxg(3)7m60，所以m，则0m；10分当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m60，所以m6，所以m0.综上所述：m的取值范围是m|m0，又因为m(x2x1)60，所以m.8分因为函数y在1,3上的最小值为，所以只需m即可10分所以，m的取值范围是.12分对于给定区间上的不等式恒成立问题，一般可根据以下几步求解：第一步：整理不等式(或分离参数)；第二步：构造函数g(x)；第三步：求函数g(x)在给定区间上的最大值或最小值；第四步：根据最值构造不等式求参数；第五步：反思回顾
10、，查看关键点，易错点，完善解题步骤温馨提醒1.与一元二次不等式有关的恒成立问题，可通过二次函数求最值，也可通过分离参数，再求最值2解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数3对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方4本题易错点：忽略对m0的讨论这是由思维定势所造成的.方法与技巧1“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a0时的情形2f(x)0的解集即为函数yf(x)的图像在x轴上方的点的横坐标的集合，充分利用数形
11、结合思想3简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解失误与防范1对于不等式ax2bxc0，求解时不要忘记讨论a0时的情形2当0 (a0)的解集为R还是，要注意区别3含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1不等式0的解集为()Ax|2x3 Bx|x2Cx|x3 Dx|x3答案A解析不等式0可转化为(x2)(x3)0，解得2x3.2已知不等式ax2bx10的解集是，则不等式x2bxa0的解集是()A(2,3) B(，2)(3，)C. D.答案A解析由题意知，是方程ax2bx10的根，所以由根
12、与系数的关系得，.解得a6，b5，不等式x2bxa0即为x25x60，解集为(2,3)3若集合Ax|ax2ax10，则实数a的值的集合是()Aa|0a4 Ba|0a4Ca|0a4 Da|0a4答案D解析由题意知a0时，满足条件a0时，由得0a4，所以0a4.4已知函数f(x)ax2bxc，不等式f(x)0的解集为x|x1，则函数yf(x)的图像可以为()答案B解析由f(x)0的解集为x|x1知a0，yf(x)的图像与x轴交点为(3,0)，(1,0)，f(x)图像开口向下，与x轴交点为(3,0)，(1,0)二、填空题(每小题5分，共15分)5已知关于x的不等式0的解集是(，1)，则a_.答案2解
13、析由于不等式0的解集是_答案x|3x3解析不等式可化为0，即(x3)(x3)(x2)0，利用数轴穿根法可知，不等式的解集为x|3x37若关于x的不等式ax26xa20的解集是(1，m)，则m_.答案2解析根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax26xa20的一个根，即a2a60，解得a2或a3，当a2时，不等式ax26xa20的解集是(1,2)，符合要求；当a3时，不等式ax26xa2a2 (aR)的解集解原不等式可化为(3xa)(4xa)0.当a0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为x|xR且x0；当a0时，不等式的解集为x|x9(12分)某商品每件成本价为80元，售价为100元，每
14、天售出100件若售价降低x成(1成10%)，售出商品数量就增加x成要求售价不能低于成本价(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式yf(x)，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围解(1)依题意，y100100.又售价不能低于成本价，所以100800.所以yf(x)40(10x) (254x)，定义域为x0,2(2)由题意得40(10x)(254x)10 260，化简得8x230x130.解得x.所以x的取值范围是.B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1不等式ax2bxc0的解集为x|1x2
15、ax的解集为()Ax|0x3 Bx|x3Cx|2x1 Dx|x1答案A解析由题意知a2ax，即为a(x21)a(x1)2a2ax，x23x0，0x0对一切实数xR恒成立，则关于t的不等式at22t30对一切实数xR恒成立，则(2a)24a0，即a2a0，解得0a1，所以不等式at22t30，解得t1，故选B.3若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是()A(，4 B4，)C4,20 D40,20)答案B解析设f(x)x24x(1a)，根据已知可转化为存在x01,3使f(x0)0.易知函数f(x)在区间1,3上为增函数，故只需f(1)4a0即可，解得a4.二、填空题(每小题5分，共15分)
16、4已知f(x)则不等式x(x1)f(x1)3的解集是_答案x|x3解析f(x1)，x(x1)f(x1)3等价于或，解得3x1或x1，即x3.5设关于x的不等式x2x2nx (nN*)的解集中整数的个数为an，数列an的前n项和为Sn，则S100的值为_答案10 100解析由不等式x2x0；(2)若不等式f(x)0的解集为(1,3)，求实数a，b的值解(1)f(1)0，3a(6a)b0，即a26a3b0，即b6时，方程a26a3b0有两根a13，a23，不等式的解集为(3，3)综上所述：当b6时，原不等式的解集为；当b6时，原不等式的解集为(3，3)(2)由f(x)0，得3x2a(6a)xb0，即3x2a(6a)xb0.它的解集为(1,3)，1与3是方程3x2a(6a)xb0的两根解得或
