毕业设计（论文）线性规划问题的求解方法及在经济上的应用.doc

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1、摘 要线性规划是运筹学的一个基本分支，其应用极其广泛，其作用已为越来越多的人所重视，越来越急速地参透于工农业生产，商业活动，军事行动和科学研究的各个方面。它是应用分析、量化的方法、对经济管理系统中的人、财、物等有限资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现有效管理。它广泛应用现有的科学技术和数学方法，解决实际中的问题，帮助决策人员选择最优方针和决策。线性规划的理论和方法在实际应用中非常广泛，具有很高的实用价值。本文由以下三部分组成的：第一部分初步介绍了线性规划产生的历史背景，发展概况，线性规划问题的数学模型及标准形式和线性规划问题中的基本概念；第二部分介绍了线性规划问题中多使用的求

2、解方法其中包括图解法，单纯形法，两阶段法和对偶单纯形法，并对这四种方法进行了举例说明；第三部分介绍了线性规划的实际应用尤其是在经济上的应用。关键词：线性规划；图解法；单纯形法；对偶单纯形法；经济应用目 录第一章 引 言31.1 线性规划发展概述31.2 线性规划问题中的基本概念：41.3 线性规划问题的数学模型及标准形式：7第二章 线性规划问题的求解方法102.1图解法102.2 单纯形法132.3 对偶单纯形法19第三章 线性规划在经济上的应用23结束语29参考文献30致 谢31第一章 引 言线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的

3、一种数学方法。在各类生产管理和经营活动中,经常会遇到两类问题:一类是(资源有限)如何合理的使用现有的劳动力、设备、资金等资源,以得到最大的效益；另一类是(目标一定)为了达到一定的目标应如何组织生产或合理安排工艺流程或调整产品的成分等以使所消耗的资源(人力、设备台时、资金、原材料等)为最少，这样的问题常常可以化成或近似地化成所谓的“线性规划”，简记为LP问题。线性规划的基本特点是：目标函数和所有的约束条件都是线性的，所追求的是在满足约束条件的前提下,实现目标函数的最优化。线性规划已不仅仅是一种数学理论和方法，而且成了现代化管理的重要手段，是帮助管理者与经营者做出科学决策的一个有效的数学技术。1.

4、1线性规划发展概述法国数学家 J.- B.- J.傅里叶和 C.瓦莱-普森分别于1832和1911年独立地提出线性规划的想法,但未引起注意。1939年苏联数学家.康托罗维奇在生产组织与计划中的数学方法一书中提出线性规划问题也未引起重视。1947年美国数学家G. B.丹齐克提出线性规划的一般数学模型和求解线性规划问题的通用方法单纯形法，为这门学科奠定了基础。1947年美国数学家J.von诺伊曼提出对偶理论，开创了线性规划的许多新的研究领域，扩大了它的应用范围和解题能力。1951年美国经济学家T.C.库普曼斯把线性规划应用到经济领域，为此与康托罗维奇一起获1975年诺贝尔经济学奖。50年代后对线性

5、规划进行大量的理论研究，并涌现出一大批新的算法。例如：1954年 C.莱姆基提出对偶单纯形法。1954年S.加斯和T.萨迪等人解决了线性规划的灵敏度分析和参数规划问题。1956年A.塔克提出互补松弛定理,1960年G.B.丹齐克和P.沃尔夫提出分解算法等。1979年苏联数学家L. G. Khachian提出解线性规划问题的椭球算法，并证明它是多项式时间算法。1984年美国贝尔电话实验室的印度数学家N.卡马卡提出解线性规划问题的新的多项式时间算法。用这种方法求解线性规划问题在变量个数为5000时只要单纯形法所用时间的1/50。现已形成线性规划多项式算法理论。50年代后线性规划的应用范围不断扩大，

6、建立线性规划模型的方法。线性规划的研究成果还直接推动了其他数学规划问题包括整数规划，随机规划和非线性规划的算法研究。由于数字电子计算机的发展，出现了许多线性规划软件，如MPSX,OPHEIE,UMPIRE等可以很方便地求解几千个变量的线性规划问题。1.2 线性规划问题中的基本概念：线性规划问题求解线性规划问题，就是从满足约束条件（1-2），（1-3）的方程组中找出一个解，使目标函数（1-1）达到最大值。可行解：满足上述约束条件（1-2），（1-3）的解称为线性规划的可行解。可行域：所有可行解的集合称为可行域。最优解:使目标函数（1-2）达到最大值的可行解，称为为线性规划的最优解。线性规划最优解

7、的几种情况： 线性规划有最优解时，可能有唯一最优解，也可能有无穷多个最优解，但当最优解不唯一时，一定有无穷多个最优解。线性规划没有最优解时，也有两种情况，一是可行域为空集，二是目标函数值无界（求最大时无上界，求最小时无下界）。 有界可行集必有最优解。 当线性规划有最优解时，一定可以在可行域的某个极点上取到，当有唯一解时，最优解就是可行域的某个极点。当有无穷多个解时，其中至少有一个是可行域的一个极点。最优值：最优解的目标函数值称为线性规划的最优值。基:设为约束方程组（1-2）的阶系数矩阵（设），其秩为。是矩阵中的一个阶的满秩子矩阵，称是线性规划问题的一个基,不失一般性，设 中的每一个列向量称为基

8、向量，与基向量对应的变量程为基变量。基（基本）解:在约束方程组（1-2）中，令所有非基变量，又因为有，又个约束方程可解出个基变量的唯一解。将这个变量加上非基变量取0的值有称为线性规划问题的基解。基可行解:满足变量非负约束条件的基本解称为基本可行解。可行基:对应于基可行解的基称为可行基。典式：我们把表示的个方程称为对应于基的典则方程组，简称典式。检验数向量：相应于基本可行解的向量有重要的作用，我们称它为基本可行解的检验数向量。转轴元：若为进基变量，为离基变量，称元素为转轴元。松弛变量：如果线性规划具有不等式约束，即当约束条件为式时,我们可在不等号的左边加上一个新非负的变量, 使不等式成为等式。使

9、不等式成为等式的称为松弛变量。剩余变量：如果线性规划具有不等式约束，即当约束条件为式时，可在不等号的左边减去一个新非负的变量, 使不等式成为等式。使不等式成为等式的称为剩余变量。1.3 线性规划问题的数学模型及标准形式： 1.3.1线性规划问题的数学模型通常称现实世界中人们关心，研究的实际对象为原型。模型是将某一部分信息简缩，提炼而构造的原型替代物。数学模型则是对现实世界的一个特定对象，为达到一定目的，根据内在规律做出必要的简化假设，并运用适当数学工具得到的一个数学结构。线性规划问题的数学模型包含三个组成要素：（1）决策粗变量，只决策者为实现规划目标采取的方案，措施，是问题中要确定的未知量；（

10、2）目标函数，指问题要达到的目的要求，表示为决策变量的函数；（3）约束条件，指决策变量取值时受到的各种可用资源的限制，表示为含决策变量的等式或不等式。如果在规划问题的数学模型中，决策变量为可控的连续变量，目标函数和约束条件都是线性的，这类模型称为线性规划问题的数学模型。一般线性规划问题的数学模型可表示为以下几种形式： 以上模型的简写形式为 式中：表示求极大值；表示求极小值；表示受约束于或约束条件;为目标函数; 为决策变量;，和分别是消耗系数，需求系数和收益系数, 在具体的线性规划问题中具有不同的经济学意义，一般都是已知实数。1.3.2线性规划问题的标准形式：在工业、农业、商业、行政、军事、公用

11、事业等各个领域，存在着大量的线性规划问题。有些规划问题本身是非线性的，但往往可以通过改变标度或采用分段线性化等方法，转化为线性规划模型。由于目标函数和约束条件内容和形式上的差别，线性规划问题可以有多种多样，为了便于对求解线性规划模型建立一个有效的的算法，我们有必要对线性规划模型规定它的标准形式。线性规划问题的标准型，都是指下列形式：标准形式的线性规划模型具有如下特点: (1)目标函数为最小；(2)决策变量为非负变量；(3)约束条件全为等式； (4)约束条件右端常数项全为非负值，变量的取值为非负。例1： 将下面的线性规划问题化为标准型解：我们通过以下步骤把该模型化成标准形式：（1）用代替原来的目

12、标函数，把求改变为求；（2）用替换，为非负变量；（3）对自由变量用代替，其中；（4）对第一个不等式约束引进松弛变量；（5）对第二，第三个不等式约束分别引进剩余变量。于是，便得到了标准形式的LP问题：第二章 线性规划问题的求解方法线性规划问题的求解方法有图解法、单纯形法、改进单纯形法、对偶单纯形法、原始对偶方法、分解算法和各种多项式时间等算法。这若干个求解方法中最基本的常用的方法是图解法、单纯形法、对偶单纯形法。2.1图解法对于只有两个变量的简单的线性规划问题，可采用图解法求解。这种方法仅适用于只有两个变量的线性规划问题。它的特点是直观而易于理解，但实用价值不大。2.1.1 图解法的基本步骤：

13、(1)做出问题的可行域D；(2)标出目标函数的梯度方向； (3)画出目标函数的等值线，使其与可行域D有交点。若求最大值，将等值线沿梯度方向推进；若求最小值，将等值线沿负梯度方向推进，直至临近状态（与可行域有交点，但继续下去将无交点，此时称临近状态）。临界等值线与D的交点即为最优解，等值线的值为最优值。 例2： 用图解法求解下列线性规划问题；解：这一问题的可行区域如图所示。变量的非负约束决定了可行区域必须在第一象限；不等式约束决定了以直线为边界的右下半平面；其它两个不等式也决定了两个半平面。所以，可行区域是由三个不等式约束所决定的三个半平面在第一象限中的交集，即图中的区域。在区域的内部及边界上的

14、每一个点都是可行点。目标函数的等值约束（取定某一个常值）沿着它的法线方向移动，当移动到点时，在继续移动就与区域不相交了。于是点就是最优解，而最优值为。图中画出了和的等值线。上面求解的过程称为对两个变量的线性规划问题的图解法。如果将例中的目标函数改为求的最小值，可行区域不变，用图解法求解的过程如图所示。平行约束沿着它的负法线方向移动，当移动到与可行区域的一条边重合（此时）时，在继续移动就与不相交了。于是，线段上的每一个点均为该问题的最优解。特别地，线段的两个端点，即可行区域的两个顶点均是该线性规划问题的最优解。2.1.2图解法得到的启示 图解法虽然只能用来求解只具有两个变量的线性规划问题，但它的

15、解题思路和几何上直观得到的一些概念判断，对下面要讲的求解一般线性规划问题的单纯形法有很大启示:(1) 求解线性规划问题时，解的情况有:唯一最优解;无穷多最优解;无界解;无可行解。(2) 若线性规划问题的可行域存在，则可行域是一个凸集，顶点个数只有有限个。(3) 若线性规划问题的可行域非空且有界则必有最优解，若可行域无界，则可能有最优解，也可能无最优解。(4) 若线型规划问题的最优解存在，则最优解或最优解之一一定是可行域的凸集的某个顶点。(5) 针对以上四个启示，得到新的解题思路(为单纯形法做铺垫):先找出凸集的任一顶点，计算顶点处的目标函数值。比较周围相邻顶点的目标函数值是否比这个大，如果为否

16、，则该顶点就是最优解的点或最优解的点之一，否则转到比这个点的目标函数值大的另一顶点，重复上述过程，直到找到最优解。2.2 单纯形法求解线性规划问题的基本方法是单纯形法，单纯形法是寻求最优可行解的最有效的方法之一，现在已有单纯形法的标准软件，可在电子计算机上求解约束条件和决策变量数达 10000个以上的线性规划问题。2.2.1单纯形方法的基本思路首先从可行域中找一个基可行解，然后判别它是否为最优解，如果是有最优解,则停止计算；否则就找一个更好的基可行解，再进行检验，如此反复迭代，直至找到最优解或者判定它无界(即无有限最优解)为止。2.2.2单纯形解法的一般步骤1.建立初始单纯形表(1)把线性规划

17、模型化为标准型；(2)找出一个现成的可行基作为初始可行基； (3)将目标函数非基化。2.最优解检验，若不是最优解，则进入下一步3.换基迭代(1)确定“进基”变量；(2)确定“出基”变量；(3)确定转轴元素。 4.返回第2步检验是否为最优解例3：求解问题 解 这里是一个单位矩阵，且，故基是可行基，为基变量，为非基变量，基对应的基本可行解为，其目标函数值。方程组已是典式，得到第一张单纯形表如下表 RHS0 1-2 0 0 01-2 1 0 0 20 -3 1 0 10 1-1 0 0 2 第0行的元素应是将目标函数化成等价的方程后的相应元素。 检验数，故当前解不是最优解，列中有两个元素均为正数，取

18、故转轴元为为进基变量，为出基变量。进行旋转变换后的下表 RHS 0 0 1-1 0-1 1 0-5 2 0 4 0 1-3 1 0 1 0 0 -1 1 1它对应的基本可行解为，其目标函数值为。但，仍不是最优解，此时为转轴元进行旋转变换后的下表RHS 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 它对应的基本可行解为，其目标函数值为。此时检验数向量，故为最优解。2.2.3两阶段法如果一个LP问题在给出的约束矩阵中含有一个阶的单位矩阵，且，那么我们已经有了一个明显的可行解，且方程组 已是典式，可以将目标函数的表达式化为典式，单纯形法就可以进行。但是实际问题往往并非如此，为找第一个基本可行解，即

19、初始解，下面介绍常用的两阶段方法。所谓两阶段法，就是将线性规划问题的求解过程分成两个阶段，第一个阶段是判断线性规划是否有可行解，如果没有可行解，当然就没有基本可行解，计算停止；如果有可行解，按第一阶段的方法可以求得一个初始的基本可行解，使运算进入第二阶段。第二阶段是从这个初始的基本可行解开始，使用单纯形方法或者判定线性规划问题无解，或者求得一个最优解。例4：求解解：增加人工变量得到辅助LP问题形成如下形式的表RHS-5 0-21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1-1 0 1-1 6-1 0 1 0 2 1 1 2 0-1 0 1 1将表中第一行，第二行加到关于的第0行中，使基变量的检

20、验数为零，得到辅助问题的第一张单纯形表，然后按单纯形法跌代。此处要注意的是两个检验数行都要进行变换。RHS-5 0-21 0 0 0 0 0 2 0 8-1-1 0 0 3 1-1-1 0 1 0 2 1 1 2 0-1 0 1 1RHS 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 -1 1 RHS 0 00 0 0 0 0-1-1 0 0 1 1 0 第一阶段结束得到辅助问题的一个最优解，同时得到原问题的第一个基本可行解，它对应得典试也在这张单纯形表中去掉人工变量对应的行、列、直接开始第二阶段运算。因为，转轴元为，得到下一张单纯形表。RHS0001 1 20 从而得到原问题的最优解，其最优

21、值为。2.3对偶单纯形法随着线性规划问题的提出，人们发现，任何一个线性规划问题都伴随着另一个与之相互关联的线性规划问题，这个新问题具体非常重要的性质，利用这些性质可有效地获得原来问题的解为区别起见，我们称原来的问题为原问题,新的问题为对偶问题。2.3.1对偶问题概念对偶理论就是研究线性规划及其对偶问题的理论是线性规划理论的重要内容之一。每一个线性规划问题必然有与之相伴而生的另一个线性规划问题，其中的一个问题称为“原始”的，记为（P），则另一个称为“对偶”的，记为（D）。这两个问题有着非常密切的联系，本内容主要涉及三个问题：一是给定了LP问题（P）后，如何写出（P）的对偶问题（D）；二是问题（P

22、）与（D）之间的关系；最后给出接LP的对偶单纯形算法。根据原始问题和对偶问题之间的关系,我们可归纳得到建立一般线性规划问题的原始问题（P）和对偶问题（D）之间的如下规律：原始（P） 对偶（D）原始LP问题（P）和它的对偶LP问题（D）之间形式上的关系：首先，原始问题求的是极小，而对偶问题求的是极大。原始问题的不等式约束是“大于或等于”，而对偶问题的不等式约束是“少于或等于”；其次，与原始问题中个等是约束相对应的是对偶问题中个自由变量，与原始问题中个不等是约束相对应的是对偶问题中个非负变量。反之亦然，即原始问题中的个非负变量对应的是对偶问题中的个不等是约束，而原始问题中的个自由变量对应的是对偶问

23、题中的个等是约束；第三，原始问题目标函数中的价值向量，就是对偶问题约束中的右端向量，而（P）的右端向量就是（D）目标函数中的价值向量。例5：写出下面原始问题的对偶问题 解：这里 按分量形式写出的对偶问题是2.3.2对偶单纯形法的算法步骤： 找一个基，建立初始对偶单纯形表，检验数全部非负。 若b列元素非负，则已经是最优基。反之，则取相应行的基变量为出基变量。 为保证能对基的可行性有所改进，则将来的主元应该为负数。为保证下一个基还能是对偶可行基，应使检验数仍为非负的。 转轴元变换。例6：求解问题解：引进非负的剩余变量将不等式约束化为等式约束若用原始单纯形法求解，需在引进两个非负的人工变量，然后利用

24、两阶段法求解，由本列所具有的特点，我们只要将等式两端同乘以（-1），就直接得到原问题的一个基本（不可行）解和对偶问题的一个可行解（检验数向量）其对应的单纯形表如下RHS-1 -1-100 0-3 -1-110-1 1-101-2直接利用对偶单纯形法求解。，所以为离基变量，有以下比值决定进基变量。因而为进基变量，以 为旋轴元进行旋转变换得下表RHS0000110显然为离基变量，计算确定为进基变量，以为转轴元作旋转变换得RHS0010 01此时故原问题的最优解为，其最优值为。第三章 线性规划在经济上的应用 随着经济全球化的不断发展，企业面临更加激烈的市场竞争。企业必须不断提高盈利水平、增强其获利能

25、力、在生产、销售、新产品研发等一系列过程中只有自己的优势、提高企业效率、降低成本、形成企业的核心竞争力，才能在激烈的竞争中立于不败之地。过去很多企业在生产、运输、市场营销等方面没有利用线性规划进行合理的配置，从而增加了企业的生产，使企业的利润不能达到最大化。在竞争日益激烈的今天，如果还按照过去的方式是难以生存的，所以就有必要利用线性规划的知识对战略计划、生产、销售各个环节进行优化从而降低生产成本，提高企业的效率。利用线性规划我们可以解决很多问题。如：在不违反一定资源限制下，组织安排生产，获得最好的经济效益（产量最多、利润最大、效用最高）。也可以在满足一定需求条件下，进行合理配置，使成本最小。同

26、时还可以在任务或目标确定后、统筹兼顾、合理安排、用最少的资源（如资金、设备、原材料、人工、时间等）去完成任务。在经济管理中，线性规划使用较多的是下述几个方面的问题：(1)投资问题确定有限投资额的最优分配，使得收益最大或者见效最快。 (2)计划安排问题确定生产的品种和数量，使得产值或利润最大，如资源配制问题。用m种资源生产m种产品。已知各种产品每生产一单位可得的利润和所需的各种资源的数量，以及各种资源的限额。问如何计划各种产品的生产量，使总的利润为最大?(3)任务分配问题分配不同的工作给各个对象(劳动力或机床)，使产量最多、效率最高，如生产安排问题。(4)下料问题如何下料，使得边角料损失最小。将

27、一批固定规格的条材或板材裁剪成具有规定尺寸的若干种毛坯，并已设计出若干种下料方式。问采用哪种下料方式，能使各种毛坯满足所需数量，又使总的用料最省?(5)运输问题在物资调运过程中，确定最经济的调运方案。某产品有n个产地，m个销地。已知各产地的产量和各销地的销量，以及各产地到各销地的单位运价，问如何安排各产地到各销地的运量，使总的运费为最少?(6)库存问题如何确定最佳库存量，做到即保证生产又节约资金等等。下面介绍了线性规划在经济上的应用案例。案例1：投资组合选择问题在金融行业中，投资组合管理人可以利用线性规划工具定量化地确定投资比例。假设中国投资基金正在发行一个固定收益共同基金，基金经理预测到发行

28、结束之后，可以售出1亿份基金（1份基金等于人民币1元）。基金管理人的首要目标是获取投资收益，第二个目标是通过分散投资控制风险。假设该固定收益基金经理所面临的企业债券情况如表所列。企业债券基本情况债券名称当前收益率到期年份等级A8.52010非常好B9.02019很好C10.02006一般D9.52007一般E8.52011非常好F9.02014很好为了符合分散投资目的，基金管理人决定投资于任何一只债券的资金额不能超过总基金的25%，至少有一半以上资金投资于长期债券（2009年以后），投资在等级为“一般”债券上的资金额不能超过总计金额的30%。建立线性规划模型的第一步是确定决策变量。在这个问题中

29、，显然投资在每只企业债券上的资金额为决策变量，那么一共有6个变量：投资在第只企业债券上的资金额（万元）。显然，。第二部是确定目标函数。投资目标是选择， 是收益最大，根据上面的表第二列，当前基金的收益率为：最后一步是找出所有约束条件。我们可以看到，这个问题共有9个约束条件，第一个约束条件是投资在6只企业债券上的资金额相加之后应等于10 000万元，接下来的约束条件是投资于债券金额不能超过25%的上限；投资于长期债券（2009年以后）的金额必须超过50%；以及投资在等级为“一般”债券上的资金额不能超过总资金额的30%。由于共同基金的初始资金为10 000万元，用于购买债券的资金必须满足：投资于债券

30、的上限要求：投资于长期债券（2009年以后）的要求：投资等级的限制：投资金额不能为负的要求：最后，给出债券投资计划完整的线性规划模型：案例2：最佳广告投放方案企业的市场部门可以利用线性规划合理规划企业在各种媒体，比如，电视、广告、电台、路边广告牌和杂志等媒体上的最佳广告投放方案。例如，强力体育用品厂生产网球拍、高尔夫球用具等高档体育用品。企业的市场部正在规划本年度广告投放方案，年度广告总预算是100万元人民币，选择大众体育，体育世界和人民体育3中杂志作为广告投放对象，广告投放形式是1/4广告杂志页。投放在体育世界的广告不能超过5次，但至少在大众体育和人民体育杂志上刊登两次以上。统计数据表明，各

31、种杂志的广告效果与投放量和有效顾客群相关。假设3种杂志的基本数据如下表所列。杂志基本信息大众体育体育世界人民体育读者数量（百万人）1000600400有效顾客10%15%7%广告价格（万元）1056广告效果1009028为了构造广告投放计划的线性规划模型，首先需要定义决策变量。在本例中，决策变量是投放在每本杂志中1/4广告页的数量：投放在大众体育杂志中1/4广告页的数量，投放在体育世界杂志中1/4广告页的数量，投放在人民体育杂志中1/4广告页的数量。然后，确定广告投放计划线性规划模型的目标函数。显然，市场部的目标是取得最大的广告效果，根据表中最后一行，那么，广告投放计划的目标函数为最后，确定广

32、告投放计划线性规划模型的约束条件。共有两类约束，一类是广告预算约束，另一类是投放次数约束。投放在体育世界上的广告次数不能超过5次：即至少需要在大众体育和人民体育杂志上刊登两次以上：投资次数不能为负：最后，给出广告投放计划完整的线性规划模型：结束语 从论文可以看出现性规划的求解方法中图解法对于两个变量的线性规划问题来说是一个简单易行，形象直观的求解方法，当决策变量多于两个时，图解法就失效了。因此有必要研究线性规划问题更一般的解法，这种方法就是单纯形法。该方法是从可行域的一个角点出发，寻找目标函数在彼此有所改进的另一角点。这样迭代重复下直到求的一个最优解为止。在原始单纯形算法中，先根据检验数和符号

33、选取旋转列（即先决定进基变量），而后在选取的第列中正元素与其对应的右端向量元素的比值中选取最小者以决定离基变量，而在对偶单纯形算法中，先根据右端向量元素的符号选取旋转行（即先决定离基变量），然后再以选取的第行中的负元素与其对应的检验数比值中选取最小者以决定进入基的旋转列（即后决定进基变量）。 线性规划作为运筹学的重要分支，它在辅助企业经营决策、计划优化、对于企业优化配置资源、降低成本、实现效益最大化等方面都具有重要的作用，因此有必要学习线性规划知识，为科学决策，合理规划做必要的知识准备。参考文献 1. 刁在筠，刘桂真，马建华，宿洁.运筹学（第三版）.北京：高等教育出版社，20072. 管梅谷，

34、郑汉鼎.线性规划. 济南：山东科学技术出版社，19833. 钱颂迪.运筹学. 北京：清华大学出版社， 19904. 牛映武.运筹学. 西安：西安交通大学出版社， 19945. 魏国华，王芬. 线性规划. 北京：高等教育出版社，19896. 运筹学教材编写组.运筹学.北京: 清华大学出版社，2005 7. 郎艳怀.经济数学方法教程.上海:上海财经大学出版社，2004 8. 吴方.线性规划初步.沈阳:辽宁教育出版社,1985致 谢 在论文完成之际，我的心情万分激动。从论文的选题、资料的收集到论文的撰写编排整个过程中，我得到了许多的热情帮助。 我首先要感谢热西旦老师，她对我的论文提出了很多宝贵的意见，使我的论文有了目标和方向。在这近的时间里，她对我进行了悉心的指导和教育，使我能够不断地学习提高，而且这些成果也成为了本论文的主要素材。同时，热西旦老师渊博的学识、严谨的治学态度也令我十分敬佩，是我以后学习和工作的榜样。还要再次感谢热西旦老师对我的关心和照顾， 在此表示最诚挚的谢意。 最后，感谢所有关心我、帮助过我的老师、同学和朋友！