物理学毕业论文电磁场与电磁相互作用.doc

《物理学毕业论文电磁场与电磁相互作用.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《物理学毕业论文电磁场与电磁相互作用.doc（36页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、1 引言早在十九世纪的时候,人们对宏观的电磁现象就有了较系统的认识,把电磁场的运动规律用Maxwell方程组表示,对于宏观的电磁作用力,经典的电磁理论认为电磁作用是电荷与电磁场的作用或电荷之间通过电磁场的相互作用,电磁场是传递电磁力的媒介,它是一个矢量场。在这种理论中,场本身既是一种客观存在的物质,又是力的传递者,这种场的运动,变化满足Maxwell方程组 。用它来描述电磁场运动的波动性是非常成功的。后来人们发现了电磁场的粒子性,用经典的电磁理论就不能描述电磁场运动的粒子性。从人们对自然的认识过程来看,起先,人们认为在宏观世界里场与粒子是相互独立的，连续物质和不连续物质间存在一道“鸿沟”,当在

2、微观领域里发现物质的波粒二象性后,即所有物质在一定条件下表现为续连形态,而在另一条件下表现为不连续形态,如光既可以看成是光子,又可以看成是电磁场,从波粒二象性来讲,电磁场和实物是完全一样的。十九世纪以前,人们利用电磁场的波动性几乎解决了所有光学问题,在应用此理论来解释黑体辐射的能量分布时,理论和实验发生了不调和的矛盾。为解决此矛盾,Planck于1901年提出了一个假设,他设频率为的电磁波能量只能是的整数倍,称Planck常数,其值为6.59尔格秒,即存在一个最小的能量单位,人们称它为能量子,用它后理论和实验一致。后来人们发现这种假设能很好地解释光电效应。Einstein于1905年明确提出了

3、光具有粒子性,这种粒子就是光子,它的能量为,动量为,用它还可以解释Compton散射等实验。1927年Dirac从电磁场出发,将其量子化,从而得到了电磁场的量子性,他是将电磁场的经典波动分解成无穷多个不同频率的简谐振动,他发现每个简谐振动状态都满足Schrdinger方程,此方程的解是量子化的,具有确定频率的简谐振动可取的能量值是的整数倍,最小的能量就是,它是一个光子的能量,能量为。加的态中有n个光子,不同的态中有不同数目的光子,当电磁场受到激发时,会产生一些光子或湮没一些光子,即在这样的理论中光子是可以产生和湮没的,这一点和观察到的事实相符。同时，电子的发现，使电磁学和原子与物质结构的理论结

4、合了起来，Lorenz的电子论把物质的宏观电磁性质归结为原子中电子的效应，统一地解释了电、磁、光现象。对电磁场在微观领域的研究具有十分重要的意义。本文将首先通过规范变换，磁矢势的Fourier展开，Lagrange方程，Hamilton正则方程等过程首先对电磁场进行二次量子化。引入产生算符和消灭算符在粒子数表象中研究光子数确定的状态及其性质，进而引入光子数状态的一种特殊态真空态进行详细的描述，结合一些实验对真空涨落及其可观察效应进行分析和计算。在电磁场相干时，通过产生和消灭算符及粒子数表象可建立起相干态表象，在此表象下研究电磁物理量的性质，并讨论光子数与相角的测不准关系。在光子场起伏时会产生光

5、场压缩态，文中会简要分析之。带电粒子在电磁场中会受到电磁作用，Hamilton会发生变化，本文最后将通过对存在电磁场时带电粒子的Schrdinger方程进行分析并讨论各种电磁相互作用和现象。量子力学中对相位的研究占据着举足轻重的地位，对波函数进行相位变换可解释电磁场中Schrdinger方程的规范不变性。A-B效应与规范变换具有密切的联系，我们将通过数学推导和物理诠释加深这方面的理解。2 电磁场的正则量子化为了讨论原子、分子和其他带电系统发光和吸收光的过程，需要将电磁场量子化，最常用的方法就是正则量子化。正则量子化又称二次量子化。2.1 二次量子化真空中电场强度，电位移,磁感应强度,和磁场强度

6、满足无源Maxwell方程 （1）且有关系 （2）其中真空介电常数 和真空磁导率 有关系 （3）其中c为光速。可用标势与矢势表示电磁场，它们与场强的关系 （4）此外还满足洛伦兹规范条件 (5)为满足（1），标势和矢势均应满足dAlembert方程 (6)任何满足（4）（6）的和 都可以表示电磁场，然而（4）（6）却不能把与 定下来。设 为任一满足dAlembert方程的函数，则 , (7)与一样满足方程（4）（6）. 变换 (7)叫规范变换。电磁场理论在规范变换下不变。令，这时就采用了Coulomb规范。在这种规范下（4）（6）变为 (8) (9) （10）电磁场用一个矢量 表示。作Fouri

7、er展开，其中 和 为互相垂直的三个单位矢量，表示偏振。将 取在 的方向， 和 垂直于 ，由（9）可知因此，从而 (11)此式表明偏振方向恒与垂直，即电磁波是横波。也就是说（9）是横波条件。为简化书写采用下列符号: , (12) (13)为 的简写，（11）变为 . (14)将此式代入达朗贝尔方程（10），注意 与位置无关，与时间无关，且得 （15）其中 上的圆点代表对时间的微商，。将（14）代入（8）得 ，, (16)(12)表明， 为具有复分量的矢量。有时偏振 的分量也取成复矢量。复矢量除了通常矢量运算外还有取复共轭的运算。矢量的复共轭为 与 正交的定义推广为显然，如果 与 正交则 与 正

8、交。用 和 表示波矢量为的平面波的一对彼此正交的偏振矢量。取，并对定义，则，。由于是实的， ,因此，一般为复数。注意知 ， （17） （18）由（16）（18）可算得电磁场能量 （19）(14)表明，可用 作为表示电磁场的广义坐标，（15）是电磁场的运动方程，（16）和（19）则表示电磁场的各种动力学变量可以用这组广义坐标和它们对时间的一次微商来表达。（19）中含 的项可当作动能，其余当作势能。电磁场的Lagrange量可取作 （20）由此得到的拉氏方程正是（15）。由这个Lagrange量还可以得到广义动量 （21）由此得电磁场的Hamilton量 （22）Hamilton量（22）即能量（

9、19），由此得Hamilton正则方程 ， （23）其中第一式即广义动量的定义（21），两式一起就是运动方程（15）。电磁场是一个正则系统。古典力学中广义坐标和广义动量 间的Poisson括号为，。正则量子化方法设量子力学中有与此对应的关系，只是用量子Poisson括号代替经典Poisson括号： ， （24）这样就将广义坐标和广义动量变成了算符，并规定了它们的对易关系。一切经典动力学变量都可以用广义坐标和广义动量表达，因此也都变成了算符，对易关系也可由（24）求得。经典理论就这样量子化了。2.2 产生消灭算符，电磁场的粒子性但不是实数，。对应的算符也就不是自伴的，且。由 可得，与此对应，有

10、引进算符 （25）取Hermite共轭算符 （26）由对易关系（24）得 ， （27） ， ， （28） ， （29） （30）（27）和（30）表示不同代表不同的自由度，（28）则表明各自由度间没有相互作用，可分别考虑。而且，每一自由度 的哈密顿量都类似一维简谐振动，自由电磁场相当于一组无穷多个简谐振子。设为的归一化本征态矢量，本证值为: （31）与一维谐振子类似，对易关系（27）导致为正整数或零，而且 （32） （33）（28）和（30）表明，电磁场能量的本征态即各共同确定的本征态，能量本征值即 （34）为模式的电磁振动量子数，亦即态光子的光子数。为相应的光子数算符。（32）和（33）分别

11、表明为光子的消灭算符，为光子的产生算符。也可以将消灭算符 和产生算符 当作基本的场算符，各模式 的广义坐标和广义动量，从而一切场量均可由他们表示出： ， （35） （36） （37） , （38） （39）由（38）和（39）还可算得电磁场的平移动量算符 (40)可见各态光子数算符 的共同本征态也是电磁场平移动量 的本征态，本证值为即等于各光子动量之和。到此为止，我们已将电磁物理量磁矢量及由它所构造的电场磁场等都变成了算符。这些算符是坐标的函数。将这些坐标表象中的力学量算符转化到粒子数表象，我们发现此时该场系统的能量、动量和角动量等算符的本征值均分别等于某个基本量的整数倍，因此说该电磁场被量子

12、化了。这种量子化电磁场理论统一反映电磁场的波粒二象性。3 光子数确定的状态3.1 光子数表象属于各平面波 的光子数算符的集合 组成电磁场的完备力学量组。它们共同确定的态 就是电磁场能量确定的状态，即定态。相应的能量本证值为 。 所有各态的光子数 全为零的态是电磁场能量最低的状态，称为它的真空态，记作。光子数确定的状态可用产生算符 作用在真空态上组成： （41）为归一化因子，因为按（27）是电磁场的一组完备正交归一化态矢量，任何电磁场状态可用它展开： （42） 是态 的光子数表象。由（32）和（33） （43）再由（37）（39）得 （44）即光子数确定的状态中，矢势、电场强度和磁场强度的平均值

13、都是零。由（37）得矢势的均方差 （45）由 （38）和 （39）分别得电场强度和磁感应强度的均方差 （46） （47）（45）（47） 表明，光子数确定的状态中，矢势、电场强度和磁感应强度的不确定度都是无穷大。它们和 （44） 一起表明在光子数确定的状态中，矢势、电场强度和磁感应强度诸场量的平均值虽是零，这些场却是存在的，它们在零值上下猛烈涨落，涨落程度即使对真空态也达到无穷。只是没有建立起相干的电磁场罢了。3.2 坐标表象与动量表象由于 和 ，的实部 和虚部 可以同时确定，因而可考虑 的本征态 ，且其本证值有性质 。由 （24）知 也是电磁场的完备力学量组。将它们的共同本征态记作 任意态可

14、用它们展开： （48）“波函数” 是态 的 表象。由（24） 知在这个表象中，广义动量的算符可取为 考虑真空态的 表象 。由 和（25） 知由此得 ， （49） （50）归一化条件为 （51） （52） 和 为 的实部和虚部： 。引进无量纲变量 （53） 变为 （54）连乘坐标写作 表示一对 只在乘积中贡献一个因子。将有 个 光子的态 的 表象写作 。由 （26）（41）（53）（54） 得 （55）有 个 光子和 个 光子的态的， 表象为 （56） （57）多项式 （57）可在（56） 中用数学归纳法求得。任何光子数确定的状态 的 表象为 （58）同样由于 和 的实部 和虚部 可同时确定，因

15、而可考虑 的本征态 ，且其本证值有性质 。由 （24）知 也是电磁场的完备力学量组。将它们的共同本征态记作 ，任意态可用它们展开： （59）函数 是态 的 表象。由(24) 知在这个表象中，广义坐标的算符可取为考虑真空态的 表象 ，由 和 (25) 知由此得 （60） （61）引进无量纲变量 , (62) 变为 (63)将有 个 光子的态 的 表象写作 。由(26)(41)(62)(63)得 (64)有 个光子 和 个 光子的态的 表象为 (65)多项式 的定义如 。任何光子数确定的状态 的 表象为 (66) （49）表明真空态 中几率随 的分布是Gauss型的，最大值在 处。到 处几率下降到

16、最大值的 ，称这个分布的宽度为 (67)（60）表明 态中几率随 的分布也是高斯型的，最大值在 处，宽度为 (68)由 (61) 知 (69)恰好符合测不准关系。Gauss分布的平均值就是最可几值，因此真空态中 和 的平均值也都是零。4 真空态与真空涨落的可观察效应真空态是电磁场的一种特殊状态，前文已提过。而对其如何观察呢，Casimir效应则提供了一种思路。也是电磁相互作用的表现。4.1 电磁场的真空态及其能量一方面，由Planck对黑体腔内电磁场的处理以及其他许多关于电磁场分析的例子可以知道，电磁场可以看作是一系列具有各种频率的简谐振动的集合。电磁场局域形状不同会导致这些振动模的频率分布不

17、同。一般情况，这些振动模的数目无穷多，也即电磁场（即便是局域的电磁场）自由度为无穷多。另一方面，从量子力学观点看，腔内电磁场便是一系列具有各种频率的量子谐振子的集合，这个集合便是量子电磁场。具有各种频率 和量子数 的量子态也就是量子电磁场在该频率下的各种激发态，而 便是相应的场量子。这个量子电磁场的基态，也即没有任何场量子的态（其实是构成场的全体量子谐振子的基态的直积），称之为量子电磁场的真空态，这便是从量子逻辑观点所理解的经典物理学的真空。这个真空态显然不是一无所有的“虚无”,它只是指明不存在各种场量子 而已（仿佛是一段紧绷未经激励的琴弦，在其上虽无任何振动模存在，但并不是一无所有的“虚无”

18、，而是一个物理系统的最低能量状态）。 由于量子谐振子的基态存在零点振动和相应的零点能，量子电磁场的真空态也存在着零点振动和零点能。量子电磁场所有模的这种振动称为量子电磁场的“真空涨落”，虽然涨落的平均值为零，但均方值并不为零。于是，经典电动力学中的真空，按量子论的观点来看，其实具有能量，它便是所有量子谐振子零点能之和， 量子电磁场真空态能量 （70）这个数是无穷大，因为振动模（自由度）的数目为无穷多（何况还有高频的模存在）。虽然如此，由于零点能并不参与场的状态变化的任何物理过程，一般情况下可以把它当作一个不动的“本底”事先予以减除，即“定义”它为零，从而不必去理会它。但这并不排除在某种特定情况

19、下，它会表现出可观测的效应，因为它毕竟是客观存在着的。4.2 Casimir效应这是关于量子电磁场真空态能量的一个可观测效应。真空态能量本身不可观测，但它的变化是可以观测的。考虑两块平行并足够大的方形理想导体板，板间距。我们研究两板之间体积内振动模的数目。设z轴垂直两板。由于L很大，在x y方向几乎无空间区域的限制，对于波数从到近似连续变化；而两板表面应当为分量波的波节，于是只能取分立值。由于每种波都有两个独立的横向极化状态，计算模数目时应当乘以2。 注意，一个振动模的零点能为，而在附近之内的模数目为。于是，放入两块平行板的前和后，在体积内真空态能量的相对变化为 （71） 由此可得两板之间每单

20、位面积上的作用力为 ， （72）引入新变数：，由于，有，代入上式得 （73） 大括号中的两项都是发散的，但它们之间的差可以是不发散的。在被积函数中引入衰减因子，再作积分、求和与相减。待完成全部计算之后，再令，以求得这个有限的差数。于是有 （74）利用展开式其中为Bernoulli数：，, 。代入表达式，微分之后，令取极限，最后得： （75）这里的单位为微米。这是一个十分微弱的吸引力，表明由于两板之间的允许模数目随增大而增大，导致随增大而增大。Spanaway于1958年观测到了这个力的大小以及它和板间距离的依赖关系。5 相干态，光场压缩态 5.1 相干态的引入对任意复数 可定义态 (76)它是

21、消灭算符 的本征态： (77)本证值就是 。这个态的 表象为 中与 无关的因子已除去。注意 ，此式变为 (78) 为实相角。再由（62）得 (79)同样可得态 的 表象 = (80) 为实相角。再由(62) 得 (81) (79) 和(81) 表明，态 中几率随 和 的分布均为高斯型，宽度分别为 和 与真空态类似。然而 的最可几值和平均值挪到了 (82)处， 为 的相角： ； 的最可几值和平均值则变为 (83)由(82) 得 态中 模式的电磁场矢势的最可机值和平均值为 （84）磁感应强度的最可几值和平均值为 (85) 为 方向的单位矢量。由 和 得电场强度的最可几值和平均值为 (86)可见态

22、中建立起了相干的电磁场， 称为相干态。如 时态矢量是 ，其它时刻的态矢量就是 。因此，如 时态矢量是 ，其他时刻的态矢量就是 (87)即相干态 随时间的变化除相因子 外仅表现为 变成 ，或它的相角由 变成 。于是广义坐标和广义动量的最可几值或平均值分别变为 (88) (89)矢势、电场强度和磁场强度的最可几值或平均值分别变为 (90) (91) (92)它们表明，相干态 的电磁场是以一定频率沿一定方向传播，具有近似确定的相角的平面波。实际上相干这个名称指的就是它有一定相角。激光或一般宏观电磁波正是这种相干状态的电磁场，可用态矢量 表示。5.2 激光，粒子数与相角的测不准关系我们已经得出这样一个

23、结论，光子数或能量确定的状态中电磁场是不相干的，即无确定相角。则表明，将具有不同光子数或能量的状态叠加起来，可使电磁场有近似确定的相角，成为相干的。因而相干态中光子数或能量不确定。即光子数和相角不能同时确定。由(76) 可得态 中几率随光子数 的分布 (93)恰是一泊松分布。它是归一化的:因此态矢量 是归一化的。光子数的平均值为 (94)均方差为 (95)相对偏差为 (96)可见，只有在条件 亦即 (97)下，态 中的光子数或能量才相对的近似确定。另一方面， (67) 和(82) 表明， 也只有在这个条件下相角才能较好的确定，组成较好的相干场。 是电磁场的古典近似条件。当取遍所有复数时态 是完

24、备的： （98） （99）证明如下：然而对应不同 的相干态 （100）且 （101）完备性（98）和不正交性（101使一个相干态 可用其他相干态 展开： = （102）态系 的这种性质称为“过完备性”或“超完备性”。设 ， 。 代入（101） 得 （103）它表示平均光子数为 的相干态相角偏离 的几率。我们更需注意：由于具有不同相角的相干态不正交，这里谈的不是相角的不同取值间的几率分布，而是测得某相干态的性质或测不到该相干态性质两种不相容事件间的几率分布。定义使几率 降至 的相角偏离 为相干态 的相角的不确定程度，则 （104）利用 （95） 此式变为 （105）它表达了粒子数不确定程度与相角

25、不确定程度的相互制约关系，即为粒子数与相角的测不准关系。通常变为 （106）这就是粒子数相角测不准关系的通常的表达式。 5.3 光场压缩态5.3.1 压缩态的由来压缩态是一个正交相中的偏离方差小于相干态时的值时的量子态。所差的部分必须靠另一个正交相中的涨落之增大来补偿，以满足Heisenberg测不准关系。5.3.2 光场众所周知,光是一种场,具有电场和磁场两个正交相位分量,其场量子为光子,属于玻色子。光子自身不带电,其自旋量子数为1,自旋角动量为h,它不受Pauli不相容原理的限制,即处在同一状态上的光子数没有限制,大量光子的集合(即光场)服从BoseEinstein统计。光场不仅具有纯属于

26、波动特征的经典效应,如干涉、衍射、偏振等,而且更具有纯属于量子特征的非经典效应,如压缩效应,光子反聚束效应,亚Poisson光子统计等。5.3.3 光场压缩态的产生 对于构成叠加态光场的两个宏观上完全可以分辨的两激光束(光场态)和而言，同一激光束中不同频率光子之间的量了几率十涉现象、不同激光束中同一频率光了之间的量了几率干涉现象、以及不同激光束之间的量于几率干涉现象等等，将导致呈现出非经典的压缩效应.叠加态光场的压缩效应实质是通过光场的非线性过程产生，这主要包括光场的简并或者非简并多波混频等非线性过程;光场的参量上转换即和频过程;光场的参量下转换即差频过程等等，这就是光场压缩态的产生机理.5.

27、3.4 散粒噪声极限量子力学的测不准原理使光场的相位和振幅两个可测量囿于一个不可同时测准的极限区，称为量子极限，实验上就是可观测量的非零色散现象，它导致电磁场的量子起伏。在以光波作为信息载体的光学测量与光学通讯系统中，这种量子起伏噪声是限制灵敏度提高的根本原因。散粒噪声极限是在光学物理中经常碰到的量子极限，它代表一对共轭场变量起伏的最小测不准乘积，且两个共轭量的起伏相等。真空态(零点起伏)或相干态光场则具有上述起伏特性，因此测量中以它们的起伏作为量子噪声基准，称之为真空噪声或相干态噪声，即为标准量子噪声极限。压缩态光场是将光波场的共轭变量之一的起伏“压缩”到相应的真空起伏以下;同时，另一场变量

28、起伏则增加。虽然起伏乘积依然受测不准关系制约，但当我们将光学信号编码于起伏被压缩的场分量时，测量灵敏度将高于散粒噪声极限。从原理上讲，某一场变量的起伏可以被压缩到趋近于零。6 电磁作用与规范不变性前文重点讨论了电磁场，本章主要讨论电磁相互作用6.1 最小电磁作用与规范不变性经典力学中，一个带电荷 的粒子在没有电磁场时的Hamilton量若为 ，则存在矢势为 的电磁场时Hamilton量就变为 ，电磁场与电荷间的相互作用通过如下替换规则： （107）引入，其中 为机械动量算符， 为正则动量算符。这一规则叫做最小电磁相互作用原理。它符合对应原理。一个非相对论粒子的Hamilton量为电磁场 中的H

29、amilton量变为 (108)相应的方程变为 (109)它在规范变换（7）下不变。要求变换后仍为Coulomb规范，必与时间无关。矢势变为 (110)对波函数作相应变换 (111)于是 (112)得到 可见方程形式在此变换下不变，这被称为波函数的规范变换。由于，即相位的变换随位置改变，所以又称为定域规范变换。方程在定于规范变换下的不变性，是一种对称性。根据波函数的几率解释，这一变换不影响可观察量如模的平方： (113)一般来说，物理学中一个不可观察量（这里指波函数的相角）的对称性变换常常可能导致一个可观察量的守恒定律，或者导致一种选择定则，或者，像在这里，导致一种特殊相互作用的耦合方式。我们

30、可以说，电磁相互作用之所以必须靠 来引入，而不是靠直接可观察的 和 来引入，就是因为波函数总是具有相角变换的自由度，它必须靠 的规范变换来吸收掉。换言之，电磁相互作用是靠规范不变性这一对称性原理引入的，因此电磁场是一种规范场。规范变换实际上是相位变换。规范对称性原理已成为物理学中最基本和最重要的原理之一。在存在均匀磁场而无外加电场 情况下，取 即 （114）显然 (109)式展开并将 (114) 代入得 (115)其中 为轨道角动量。此式右方第三项表明，与轨道角动量相应有一轨道磁矩 （116）它与磁场的相互作用能为 （117）此相互作用使磁矩与磁场方向较一致的状态能量较低。在热平衡时大部分磁矩

31、与磁场方向成锐角，这又使磁场较强处的磁矩能量较低。促使磁矩向磁场较强处移动。这就是顺磁现象。可见永久磁矩导致顺磁现象。 (115) 式右端的第四项 （118）恒为正。它促使带电粒子系统向磁场较弱处移动。这就是反磁现象。6.2 反常电磁作用 除最小电磁作用外，我们还可引进其它规范不变的电磁作用。直接用电场强度 或磁场强度 表示的作用都是规范不变的。最小电磁作用以外的电磁作用叫作反常电磁作用。考虑电子自旋 时，存在自旋磁矩与磁场的作用以及自旋轨道的耦合。先考虑自旋磁矩与磁场的相互作用，电子的自旋磁矩为 。 （119）与磁场的作用能为 （120）在非相对论量子力学中，它不能纳入最小电磁作用，因而是反

32、常的。类似轨道磁矩与磁场的作用，它也导致顺磁现象。自旋轨道耦合时会造成谱线的精细分裂，下面举几个例子。a碱金属双线结构：典型的为钠黄光，在无外加磁场时，考虑电子自旋轨道耦合，由于自旋角动量与轨道角动量的平行或反平行，钠黄光会分裂为两条的情况。b.正常Zeeman效应：发生在强磁场中且总自旋为零（即独态）的原子上，一条谱线外磁场作用下一分为三，且彼此间间隔相等，为一个Lorenz单位。c.反常Zeeman效应：发生在外磁场很弱且总自旋不为零的原子上，此时 和 对磁场取向的附加量小于自旋轨道耦合能，一条谱线会分裂为多条，且间隔不一定是一Lorenz单位。d. Paschen-Back效应：当磁场十分强时，电子轨道磁矩和自旋磁矩与外磁场的作用明显大于自旋轨道间的作用,反常塞曼效应会重新表现为正常塞曼效应，也就是说，谱线的多重分裂会重新表现为三重分裂，这是Paschen和Back分别于1912和1913年发现的,故名Paschen-Back效应。在电场中原子会发生Stark效应e. Stark效应原子或分子存在固