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1、用概率论的方法证明恒等式摘 要 概率论是一门研究随机现象的数学分支，主要是运用数学上的方法来研究问题，但反过来，我们也可以运用概率论的方法来研究数学问题并加以求解。本文顺着这个思路主要探讨了如何用概率论的方法研究组合恒等式以及级数恒等式的证明过程。通过分析研究恒等式的结构形式，必要时，对恒等式加以变形构造出适当的概率模型，然后，全文以必然事件的概率为1的思想对构造出的概率模型加以求解，从而完成用概率论的方法证明恒等式的过程。关键词 概率模型 组合恒等式 完备事件组 数学期望1、构造模型证明恒等式 就是根据要证的恒等式，通过我们熟悉的一些常见的概率模型，构造一个适当的随机试验，计算其概率，从而得
2、到我们要证的恒等式结果。这种方法贯穿全文，为此，单独在这儿通过两个实例做一介绍。例1：求证其中A,a都是正整数，且Aa.证明：先建立如下概率模型，设袋中有A个球，其中有a个白球，A-a黑球，不放回随机取出，第k次才首次取出白球的概率为，k=1,2,A-a+1。则有 ,故有等式两边同乘以得例2设n是正整数，当且时，证明。证明：先建立如下概率模型，某人在三分线以外向篮筐投球，假设他投中三分的概率为x,投不中的概率为y,则x+y=1。该选手连续投篮n次投进k次的概率记为(k=0,1,n)。记为“投篮n次投进k次的事件” (k=0,1,n)。则且，则 而 故 2、运用等概率事件证明恒等式 运用等概率事
3、件证明恒等式，就是先写出构造出的事件A的概率结构，然后再从A的对立事件出发计算出他的对立事件不发生的概率，在通过这一关系式,证明所要证明的恒等式。例3：证明 证明：对于这个式子我们可以运用等概率的思想加以证明，先构造如下概率模型，某人抛一枚硬币，在一次试验中正面和反面出现的概率各为，现独立地重复抛掷n次问出现正面的概率为多大？记事件为抛掷n次，出现正面为k次（k=1,2n）。A为n次中出现正面这一事件。则 现在求的对立事件的概率。则对立事件可记为而于是有 即 故 3、运用完备事件组证明恒等式引理：如果构成一个完备事件组，即互不相容，且，则。运用完备事件组证明恒等式，首先要构造适当的概率模型，然
4、后从这个引理出发从而证明了恒等式。例4：证明组合恒等式： 证明:首先利用完备事件组的性质,构造如下概率模型:一批货物共个，准备批发出厂，若已知其中有一个是废品，先从中随机抽取个货物出来，问废品的被抽到的概率是多少？抽出个使货物中无废品的概率又是多少？若记时间A为“抽出个货物中没有废品”的事件，那么事件就是“抽到个货物中有废品”的事件，即和为两个对立事件有：由于,且，所以,即：成立，故有：成立例:5：证明组合恒等式（其中）证明：现在利用完备事件组的性质构造如下概率模型：设盒子中有张红色卡片和张白色卡片，每次取出张卡片，求得到张红色卡片的概率，（）记事件为“取得张红色卡片和张白色卡片”（）则，且，
5、互不相容，于是又因为这样得出即4、用数学期望证明恒等式 用数学期望证明恒等式就是从两种不同的角度出发，写出所构造出的随机变量的期望表达形式，然后，由期望表达的唯一性可令随机变量的期望的两种形式相等，从而证明恒等式。例6：证明考虑如下随机试验：盒中有n张白色卡片和m张黑色卡片，先从中随机抽取k张卡片，用表示取到黑色卡片的张数，则的分布列为 ,i=0,1,2,k 故 = = （1）另一方面，令 则 ，而 ， （2）于是，故由（1）式和（2）式可得.即例7：证明证明：先建立如下概率模型，某运动员按照他平时打靶的记录来看，他在一次试验中，打中10环的概率为，打不中10环的概率为，记为n次试验中，打中10环的次数，则 （1）另一方面，令又，i=1,2,n故 （2）由（1）（2）知即5、数学分析级数恒等式的证明例8 ：证明级数恒等式 证明 建立一个广义贝努利模型（7）：令只有在两种基本事件， ，试验独立重复次，在第次实验中，事件出现的概率为，事件出现的概率则为。令表示次独立试验中首次出现在第次的概率，则有。令， 则有。取，则 。故：参考文献1 张元收.几个数学恒等式的概率证明J.潍坊学院2008年5月第27卷第5期2 陈凌.概率方法与恒等式的证明J.重庆工贸职业技术学院2007年3月第23卷第一期3 谢兴武.概率统计释难解疑M.科学出版社
