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1、关于铜仁地区降水量和气温变化的简单分析铜仁学院数学与计算机科学系 摘 要：本文根据铜仁气象观测，收集铜仁各个地区2010年1月至2011年9月的月平均降水量和月平均气温，通过对数据的趋势分析、相关分析、最小二乘法和多元线性回归等方法，建立相应的统计回归模型，研究了铜仁地区降水量及气温的变化规律，为未来气候变化趋势进行科学预测和估计、合理利用气候资源、掌握气候变化规律提供了参考依据，为减轻天气气候极端事件的危害提供了有效的参考，并做出了2011年10月至2011年12月铜仁地区降水和温度的趋势预测，铜仁地区降水量和温度的关系，得出较好的结果。关键词： 气象；最小二乘法；线性回归；统计回归模型；温
2、度；降水量一、引言 一个地区的气候变化看似随机，没有什么规律可言，其实不然，气候的变化从统计学的角度来讲存在一定的规律性。每个地区气候变化各不相同，比如温度随季节的变化，白天与夜晚的平均温差，阳光照射强度等，随着地区的不同，有着不同的变化情况。通过收集铜仁地区过去几年的有关气候变化的相关数据，通过建立统计回归模型，利用逐步回归思想和最小二乘拟合等方法，可以得到本地区气侯变化的一些近似有用的结论，对于预测本地区的气候变化有一定的实际意义。影响气象的因素主要有以下几点：第一、受季节的影响，春夏秋冬天气各不同。第二、受地域影响，越靠近赤道一般气温越高。第三、所在地在山南山北或海洋边，即与地形地貌相关
3、联。第四、气压带影响。具体的有温度、湿度、风等。第五、受季风气候的不同影响。衡量天气状况的指标通常有温度、气压、晴雨天数、白天最高温度、晚上最高温度（昼夜温差）、本文选取降水量和气温两个对应指标，研究铜仁地区的降水量和温度的变化情况。医学研究表明，环境温度与人体的生理活动密切相关。环境温度高于28度时，人们就会有不舒适的感觉；温度再高就易导致烦躁、中暑、精神紊乱等异常现象；气温高于34度，并伴有频繁的热浪冲击，还可引发一系列疾病，特别是使心脏、脑血管和呼吸系统疾病的发病率上升，死亡率明显增加1。此外，高温还可加快光化学反应速率，从而提高大气中有害气体的浓度，进一步伤害人体健康，对人体的健康造成
4、危险2。通过收集铜仁地区过去几年的有关气候变化的相关数据，建立统计回归模型，利用逐步回归思想和最小二乘拟合等方法，可以得到本地区气侯变化的一些近似有用的结论3，对于预测本地区的气候变化有一定的实际意义。所以本文研究的气象指标具有一定的理论意义和现实意义。二、基本概念统计回归模型：回归模型（regression model）是对统计关系进行定量描述的一种数学模型4。回归分析：回归分析(regression analysis)是研究一个变量关于另一个（些）变量的具体依赖关系的计算方法和理论。 从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的
5、诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著。利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度。其用意在于通过后者的已知或设定值，去估计和（或）预测前者的（总体）均值。这里，前一个变量被称为被解释变量（Explained Variable）或应变量（Dependent Variable），后一个（些）变量被称为解释变量（Explanatory Variable）或自变量（Independent Variable）5。由于变量间关系的随机性，回归分析关心的是根据解释变量的已知或给定值，考察被解释变量的总体均值，即当解释变量取某个确定值时，
6、与之统计相关的被解释变量所有可能出现的对应值的平均值。最小二乘拟合法：最小二乘法（least square method）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配6。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。对给定数据点，在取定的函数类中，求, 使误差的平方和最小，。从几何意义上讲，就是寻求与给定点的距离平方和为最小的曲线。函数称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法。二次拟合函数：给定数据序列，用二
7、次多项式函数拟合这组数据。设做出拟合函数与数据序列的均方差： （1）由多元函数的极值原理，的极小值满足 （2） 整理得二次多项式函数拟合的法方程： 解此方程的解在均方差最小意义下的拟合函数。方程组（2）称为多项式拟合的法方程，法方程的系数矩阵是对称的。当拟合多项式阶时，方程的系数矩阵是病态的，在计算中要用双精度或一些特殊算法保护解的准确性。三、符号说明表一 ：重要符号说明符号 符号说明 2010年铜仁地区季度平均降水量 2010年铜仁地区月平均降水量 2011年19月铜仁地区月平均降水量 2010年铜仁地区季度平均气温 2010年铜仁地区月平均气温 2011年19月铜仁地区月平均气温 表示月份
8、 表示月降雨量 表示月平均气温 表示季度降雨量 季度（2010年铜仁地区月平均降水量） 表示季度平均气温 季度（2010年铜仁地区月平均气温） 常数（实数范围内） 回归系数 随机误差 表示没有相互影响 表示有相互影响 表示温度方差 表示降水方差 表示回归偏差情况 表示检验统计量。四、问题描述及模型建立4.1.1、问题 1建立铜仁地区气象的预测模型，收集铜仁各个地区2010年到2011年9月的每月的平均降水量（）和每月的平均温度()，用数学方法分析它们存在的数学规律性，并求出这一关系的表达式，用这一关系式预测下一阶段铜仁各个地区每月的平均降水量（）和每月的平均温度（），并分析降水量与温度之间的关
9、系，预测结果与实际情况做比较，得出的结果与实际结果的误差。表二：铜仁各个地区2010年1月到2011年9月的月平均降水量和月平均温度表地区 指标月份平均值铜仁市松桃江口玉屏万山沿河德江思南印江石阡1月R0.730.760.720.820.80.72-0.620.80.780.74T1.81.3-12.32.22.21.31.51.51.81.62月R939.419.519.500.31.40.47.1T3.77.38.75.65.69.78.29.48.19.23月R78.8110.485.0561.461.479.381.560.362.651.7T11.710.411.68.38.312.
10、811.812.811.712.44月R81.1104107.5105.6105.675.882.261.677.871.2T15.3待添加的隐藏文字内容314.31511.611.615.814.815.414.915.25月R243293117.8215.7215.7152.6230.1178.1216.3195.4T20.819.620.517.217.220.82020.620.120.56月R239.5230.2221.1271.8271.8275.4275.2231.7242.9195.1T23.622.523.320.120.123.622.722.922.622.67月R98.
11、315668.66969105.9149.676.9101.155.7T292828.625.125.128.527.428.527.728.58月R227.7250159.9179.3179.8117.2168.7160.7128.3184.7T28.928.528.2252528.627.228.32727.79月R105.6164.1133.4168.3168.393.598.773.976.5114.2T23.922.723.3202024.223.123.82323.410月R92.9116.9131.7122.1122.1123136.4138.4131.3114.6T17.316
12、16.613.713.717.716.517.216.411.611月R34447.641.141.341.337.831.930.83624.2T13.412.313.110.910.913.913.113.812.613.412月R8052.281.288.388.312.515313863.8T8.47.28.14.94.98.97.98.27.47.81月R31.817.427.452.264.89.91219.714.617.9T2.51.52.21.9-1.43.52.33.12.22.42月R13.418.914.919.42885.73.66.79.9T8.57.78.48.9
13、5.69.48.59.68.59.53月R23.829.42437.443.621.622.522.513.612.4T10.39.19.89.46511.410.110.89.910.14月R3734.933.535.852.736.650.229.122.930.4T37.416.517.217.214.81817.117.516.815.85月R14.599.886.693.3133.393.5142.9121.1101.847.8T22.221.221.621.9192321.622.321.322.16月R343.3321.9305.7294.1288.6159.8278.4221.
14、4233.215.2T2523.824.324.521.525.124.124.524.224.47月R24.3109.538.420.737.423.554.123.449.513.2T28.927.127.628.225.128.927.228.527.328.38月R112.662.966.567.866.367.922.42824.525T28.42727.427.420.429.328.129.727.728.49月R48.953.6132.954.758.899.248.841.584.867.3T2422.52323.419.724.523.524.523.423.9为了尽可能的
15、减小理论结果与实际情况的误差，使理论更好地联系实际，同时，根据气象工作者的采集数据的经验（通常保留一位小数）使数据便于本文的研究，对所有求平均值数据采用四舍五入法保留两位小数。4.1.2、分析与假设1假设铜仁地区所受到纬度影响是固定的；2假设降水量和温度是主要的气象指标；3假设铜仁地区的气候特征较稳定，不出现较大的自然灾害；42010年到2011年9月份的统计数据能够全面地反映该地区的气候特征；5该市的气候不会因环境的变化而发生较大的变化；6不考虑其他地区对该地区的影响；7假设其他的气象指标对我们研究的指标影响较小；8假设铜仁各地区指标的平均值能够体现该地区的气象特征；说明：气象学上阳历的四季
16、划分方法是3月到5月为春季，6月到8月为夏季，9月到11月为秋季，12月到第二年的2月为冬季。因此，在以季节为单位时，对于2010年1月和2月的降水量和温度情况本文不做研究，但作为检验数据。为了求解铜仁地区一年内的平均降水量和平均气温随季节的变化情况，方便做同期比较和预测，我们将整个地区的月平均降水量和月平均气温求和后按季节划分，根据四舍五入的方法保留两位小数，得到整个地区的季度平均降水量和季度平均气温。由于本文采集数据的时间是2011年10月中旬，而所有数据均按月记录，无法采集到2011年9月以后的数据，所以，我们将对2011年10月，11月，12月的数据进行预测。为了研究铜仁地区一年内的月
17、平均降水量和月平均气温随月份变化的定性规律，以作下月的预测，我们将各地方的月平均值相加后取平均值，同样采用四舍五入的方法得到地区月平均降水量和月平均气温。设月份为，2010年季度平均降水量为，季度平均气温为,月平均降水量为，月平均气温为，2011年月平均降水量为，月平均气温为，基于上面的分析，我们首先用和来建立相应的预测模型。一般而言，对一个地区来说，在不考虑其它因素的情况下，降雨量和气温随着时间的变化是会按照一定趋势发生变化的。记月降雨量为，月份为，月平均气温为，时间（月份）为，季度降雨量为，季度为，季度平均气温为,季度为，基于上面的分析，我们利用，来建立，的预测模型。4.1.3、模型建立
18、根据铜仁各个地区2010年1月到2011年9月的月平均降水量和月平均温度表，为了计算的方便，我们把铜仁各个地区的温度求他们的平均值，作出表格和散点图如下：表三：2010年铜仁地区月平均气温（）月份（t）123456789101112气温（T2）0.277.911.4114.7220,0222.6727.9227.7223.0615.9712.967,71为了大致地分析与的关系，根据上表数据作出对的散点图：图1 2010年铜仁地区月平均气温根据数据序列，及散点图走势，由二次多项式函数拟合方程： （3）得拟合曲线的均方误差： 4.1.4、模型求解（1）由matlab7计算得回归系数：表四：回归系数
19、77.452321.3551-1.422864.7529所以得到的拟合函数为： （4） （5）拟合函数图象：图2 2010年铜仁地区月平均气温散点图与函数图象由表四及图2知，若影响的其他因素作用都包含在随机误差中，如果模型选择合适，应大致服从均值为零的正态分布，经计算得到2010年气温随月份的变化呈二次函数变化，因此本文认为2011年气温随着月份的变化也是呈二次函数变化的。假设为： （6）同理：也是符合均值为零的正态分布。于是用二次多项式拟合得：曲线拟合方均差：4.1.4、模型求解（2）由Matlab的回归系数如下表：表五：回归系数-7.09109.2905-0.65715.9246所以得到的
20、拟合函数为： （7）4.1.5 结果分析：根据（5）式和图2显示，铜仁地区2010年的温度随月份的变化的确是呈二次函数变化的，对气象研究表明，同一地区，在一段时间内，如果没有发生突发性自然天气变化，那么，它的四季天气变化是呈周期性变化的，从2010年到2011年的过渡中，铜仁地区的天气没有发生反常性大规模的严重变化，因此，用二次函数模拟2011年铜仁地区的气温变化是可行，并且所得结果与实际结果相差较小。4.1.6、模型预测将回归函数的估计值代入模型（5），即可预测2011年10月，11月，12月的温度，设预测温度为，得到模型（6）的预测方程为： （8）只需将月份10、11、12代入（8），就可
21、得预测值，20.104 15.5954 9.7726从而2011年温度表为：表六：2011年月铜仁地区月平均气温（）月份（t）123456789101112气温（T2）2.028.4615.5918.8321.6224.1427.7127.3823.2420.115.69.77根据Matlab作图，得2011年温度曲线如下：图3 2011年月铜仁地区月平均气温如图3可以观察到，图形的走势与2010年铜仁地区月平均气温的走势即图（2）基本上是一致的，而且他们最高气温的月份都是8月份，在1月份的时候达到最低，所以说，我们所建立的模型是基本正确的，所预测气温也较为准确的，因此，我们可以用它来预测天气
22、。预测2012年1月，2月的温度分别为：1.5424 8.8616因此：2011年各季节平均温度如下表：表七：2011年各季节平均温（）季 度春夏秋冬平均气温(T1)18.6826.4119.656.724.1.7、预测分析 将10、11、12.代入（8）式求得20.104, 15.5954, 9.7726,预测值与真实值虽然存在一定偏差，但在误差允许范围内，预测值还是较准确的反映了铜仁地区这一时期的温度变化，因此，作为2012年1月，2月的温度预测，1.5424 8.8616也是可用的。4.2.1、问题2根据铜仁各个地区2010年1月到2011年9月的月平均降水量和月平均温度表，为了计算和研
23、究的方便，把铜仁各个地区的温度求他们的平均值，并且把它们分成季度来计算，得出铜仁地区季度平均温度和季度平均降水量如下：表八：2010年铜仁地区月平均降水量()月份（t）123456789101112降水(R2)0.755.9275,784.7214,18245.3298.78176.15123.02123.5867.2353.87表九：2010年铜仁地区月平均气温（）月份（t）123456789101112气温（T2）0.277.911.4114.7220,0222.6727.9227.7223.0615.9712.967,71表十：2010年铜仁地区季度平均降水量（）季度春夏秋冬平均降水量(
24、)12486173.38104.6131.16表十一：2010年铜仁地区季度平均气温()季度春夏秋冬平均气温()15.3826.117.336.062010年降水和气温数据显示，随着季节的变化，温度随着季节呈一定的趋势发生变化，降水也呈一定趋势变化，如下散点图：图4 2010年铜仁地区季度平均降水量图5 2010年铜仁地区季度平均温度由此，本文猜想，随着季节的变化，温度和降水呈一定变化趋势。不妨假设呈线性变化的趋势，由于随机因素的干扰，两变量的线性关系中应包括随机误差项，即有一元回归模型：其中,为常数项， 为回归系数，为随机误差，并假设,现为验证降水量和温度之间是否线性相关性的影响，特作如下显
25、著性检验，用表示没有相互影响，表示有相互影响，若不成立，说明回归显著，否则回归不显著，表示温度方差，表示降水方差，表示回归偏差情况，表示检验统计量。记，检验假设： 检验统计量为：当成立时，否定域：，查表得将样本观测值代入计算得：由于否定，即认为温度和降水互相影响显著8，从而建立如下回归模型模型建立：随着季节的变化，温度和降水呈一定量的显著性影响，由下表：表十二：2010年3月2011年2月铜仁地区季度平均降水量与平均温度季度春夏秋冬平均降水124.86173.38104.6131.16平均气温15.3826.117.336.06由上表数据作如下图：图6 2010年铜仁地区季度平均降水量与平均温
26、度根据数据序列及如上散点图走势，建立如下线性回归方程： (9),表示回归系数，为随机误差，并假设因为 由一元线性回归方程中参数、的估计方法，有所以，拟合的线性回归方程为 (10)由上式可知，温度和降水呈线性相关性，得如下图：图7 铜仁地区降水量与温度的关系由此本文认为2011年的降水和温度也呈线性相关性，从而得到如下模型：。 （11）因为服从均值为0的正态分布，所以将模型优化为 （12）同理，、为回归系数。4.2.2、模型求解由于本文写作时，没有收集到2011年秋冬季节的相关数据，现将2011年春夏季节的数据列表如下：表十三：2011年19月铜仁地区月平均降水量（）月份（t）123456789
27、降水（R3）26.7712,8525,0836.3193.46246.1639.454.3969.05表十四：2011年19月铜仁地区月平均气温（）月 份（t）123456789气温（T3）2.028.4615.5918.8321.6224.1427.7127.3823.24表十五：2011年铜仁地区季度平均降水量与平均温度季度春夏平均气温18.6826.41平均降水51.62113.32将上表中的数据代入（12）式求得： 所以，拟合回归模型为 （13）4.2.3、结果分析 由检验统计量,知温度和降水问题的影响显著，在模型5中，从而，及，理论上是可用的。在表十五中的数据是由精确值所求，所以预测
28、值，虽然与精确值有所偏差，原因是存在一定的误差，因此，认为结果可用9。4.2.4、模型预测由问题1，本文已预测了2011年秋冬季节的温度，现将其代入（13）式，便可预测2011年秋冬季节的降水量为： 由此，得到2011年各季度平均温度和降水量如下表所示：表十六：2011年铜仁地区各地区季度平均温度和降水量季度春夏秋冬平均气温18.6826.4119.656.72平均降水51.62113.3259.3743.81并由此表得下图：图8 2011年铜仁地区各地区季度平均温度和降水量4.2.5、预测分析首先，通过铜仁地区2010年1月到12月的月平均降水量和月平均温度，通过观察数据，发现其散点图近似呈
29、二次函数变化，因此通过线性回归模型，运用最小二乘法二次线性拟合，分别得出铜仁地区2011年月平均降水量与温度的关系式，并作出函数图象，通过散点图与所得的函数图象进行对比，得出函数图象与散点图基本一致，因此我们认为我们所采用的研究方法行之有效。将降水量和温度进行比较，猜想：随着季节的变化，温度和降水量呈线性变化，建立一元回归模型，通过检验假设，并且检验假设成立，得出这一关系的表达式，并用这样的关系式计算得出2011年10、11、12月的降水量与温度，作出散点图，比较2010年，所得图形的变化趋势大致相同。五、结论及模型评价分析 首先，我们在铜仁气象局收集了铜仁各个地区2010年到2011年9月份
30、的月平均气温和月平均降水量，再由这些数据求出2010年四个季度的季度各个指标的均值，把季度平均值与季度分别作为自变量和因变量，用最小二乘法法求出各自的关系式，所以我们用这两个关系式分别对2011年的温度和降水量的预测，并与我们已知的19月份的天气情况做比较，比较结果叫为准确。通过预测得出2011年10、11、12月的相关指标数据，对比观察，发现温度和降水量其实是存在线性关系，并求出了这一近似关系。 以下为研究的具体结果：1、铜仁地区的年降水量和四季降水量的长期变化趋势为：年降水量春夏季有明显上升的趋势；夏季的降水是一年中最多的，秋冬季降水有增加的趋势。冬季的降水在一年中是最少的。 2、铜仁地区
31、的年平均温度和四季的温度变化趋势：铜仁地区年平均温度及四季的温度变化都是春夏呈上升趋势秋冬呈下降趋势的，其中夏季的气温变化幅度最小，冬季降温的幅度最大。 3、运用相关分析方法研究了铜仁地区温度和降水的时空分布特征：指出了年降水和温度及春夏秋冬各季的温度降水存在定性的变化规律，并表明了铜仁地区多水期和少水期的月份。 4、利用现实资料对统计回归模型的预测能力进行了检验，结果表明该统计回归模型对铜仁地区的温度和降水有较好的预测能力，利用该模型预测出了铜仁地区2011年10月至12月的温度和降水的趋势。并发现未来几年春季降水是先减少再增加；秋季降水是逐渐减少；夏季的降水量大，趋势比较平稳，而后缓慢下降
32、；冬季降水是呈下降的趋势。未来几年的年的平均气温是春季气温先是下降，后是上升的，夏季气温的波动不大，是比较平稳的升高，局部地区有超过30的高温，但总平均值稳定在2530之间。秋季和冬季气温都是下降的，虽然有局部地区会出现零下几度的情况，但总体气温会稳定在310之间。5、对气候进行简单比较：2011年的降水量明显少于2010年，2011年春季和夏季温度脚2010年明显偏高，秋季和冬季无明显变化。6、模型评价与推广本文中我们建立线性回归模型，并用最小儿乘法求解，所得结果比较准确；我们用季度平均值求关系式时，数据叫少，处理比较简单，但有误差；我们在模型假设时，没有考虑其他因素对气候的影响，所得结果与
33、实际的测量值会有一定的差值；本题所用模型的求解步骤较多，过程较复杂；本文体现了数学知识在现实生活中的运用。本为对所得结果用曲线图表示出来，使得结果更直观；本题所建模型可以运用到城市规划、资源开发等方面。六、 参考文献1 高绍凤，陈万隆，朱超群，朱瑞兆，郑有飞，无息应用气候学M气象出版社，20012 吕美仲，侯志明，周毅动力气象学M气象出版社，2004178180.3 吴洪宝，吴蕾气候变率诊断和预测方法M气象出版社，20054 孙淑清，高守亭现代天气学概论M气象出版社，2005221226.5 李崇银，刘式适，陈嘉滨动力气象学导论M气象出版社， 20056 姜启源，谢金星，叶俊数学模型(第三版)M高等教育出版社，20037 罗建军，杨绮MATAB M电子工业出版社，2005161164.8 万星火概率论与数理统计M科学出版社，200711120.9 张韵华，奚梅成，陈效群数值计算方法和算法M科学出版社，2000
