《非负矩阵在一类代数方程中的应用毕业论文.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《非负矩阵在一类代数方程中的应用毕业论文.doc（5页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、非负矩阵在一类代数方程中的应用 摘 要：本文运用非负矩阵理论中的Perron- Frobenius定理,讨论了在计算数学中大量出现的一类代数方程的根分布情况.关键词：Perron -Frobenius定理；代数方程；根分布定理引 言 形如, , j = 1, 2, , n, ( 1)的代数方程作为许多差分方程的特征方程,在计算数学中大量出现，因而,对(1)的根分布情况,特别是其最大模的根进行讨论是很有意义的.本文利用非负矩阵理论中著名的Perron -Frobenius定理,得出了(1)的根分布定理.该定理较全面地反映了其根的分布情况,它将关于(1)的结果统一在一起,并且有所推广,此外,本文还
2、给出了(1)的最大模正根的二个估计式最后还运用本文的结果,讨论了常微分方程数值解法中的一类含参数的线性多步法的零稳定性 .1 预备知识定义1 定义n阶矩阵： （2） 其中, j = 1, 2, , n,则称为方程(1)的友阵,显然这里的是非负矩阵.引理1 由(2)所定义的n阶矩阵A的特征方程是(1) .证明 通过行列式计算，整理后结果显然是：即为(1) .定义2 设为n阶不可约非负矩阵,又令h为的特征值的模等于谱半径指导教师：杨 芳作者简介：李小鹏(1985)，男，陕西陇县人.的特征值的个数,若h=1,则称为本原阵;若h 1,则称为具有指标h的循环阵.我们不加证明地叙述如下的Perron-Fr
3、obenius定理(证明见2或3)定理1设为n阶不可约非负矩阵,则1）的谱半径是的特征值,2）对应于的特征向量x 0,3）是的简单特征值,4）当的任一元素增加时,也增加.定理 2 若为具有指标h( h 1)的n阶不可约非负矩阵,则的模为的h个不同特征值是:， （3）其中,j=0,1, ,h-1.也就是说，它们均匀地分布在以原点为圆心为半径的圆周上（证明从略）.定理3 设+,这里，不为0，1 =n ,为不可约非负矩阵的特征多项式，设A的循环指标为h,则h是，的最大公因子，即.2 主要结果定理4 对方程(1),设其n个根分别为记最大根的模为p ,即p = m ax,则p是(1)唯一的正单根,所有其
4、它根的模均不超过.若在（1）中，只有不为0，11时，p仍是（1）唯一的正单根，但此时（1）有h个模等于p的根：，j=0,1, ,h-1. （5）其余n-h个根的模均小于h.方程(1)的系数增加时,则其最大正单根p也增加.证明 首先证明(1)的友阵是不可约非负矩阵.当时，的直接图显然是强连接的，故为不可约非负矩阵.若在中有些不为0，则在A的直接图中增加了连通路径，这显然不消弱直接图的强连接性，所以是不可约非负矩阵.下面证明定理中的各个结论:由引理1知，方程（1）的n个根等于（2）所定义的非负矩阵的n个特征值，所以.于是，由定理1中的4）可得出，又由定理1中的1）可知p是（1）的简单正根，p的唯一
5、性证明如下：将（1）式中的n次多项式除以定义为上的函数，即 : （6）则在R上，与的零点相同，又因， （7）所以，在单调增，故是唯一使=0，亦即使（1）式成立的正实数，于是得证，而和则可由定理2，定理3直接得出，其中所涉及到的p的唯一性可同上推证.定理5 对于方程（1）的最大正单根，有如下估计式:， （8）和 . （9）证明 对于不可约非负矩阵，易证 ， （10） ，将此结果应用与（1）的友阵A便可得证. 推论1在（1）中，当时，有p=1.3 一个应用在常微分方程的数值解法中, 有一类含参数的线性多步法： （11）其中sR是一个可调整的实参数 6中曾断言：“此类方法的绝对稳定域可以任意的增大，
6、且不会破坏零稳定”，本文指出:在零稳定性条件的限制下，方法(11) 的绝对稳定区域有时不可能无限增大(例如,当k = 4时) .定理6 含实参数s的线性多步法(11)为零稳定的,其充分必要条件是s满足： （12）证明 （11）的第一特征多项式是： （13）则（11）为零稳定的充分必要条件是它满足根条件，亦即的所有根均在单位圆内或圆上，而在单位圆上的根只能是单根，仍记p= ,下面按照s的值进行讨论：1）若s1,则有1,知p1.2）若0s1,则 （i）当s=0，根为0（k-1重根）和1（单重根）； （ii）当 s = 1,根为，这里,j=0,1, k-1,均为单根； （iii）当0s1,z=1是单
7、根，又因,由定理4，知，p=1是的唯一的模等于1的根，所有其它根的模均小于1.3）若s0,则由（13）， ， （14）令 . （15）由于上s0，由定理4知在上有的唯一正单根，记为，且所有其它根的模均小于，又在上定义实函数， （16）则在 ( 0, + )上与的零点相同，因为 ， （17）所以在上单调增，又由于在时，,故存在使,又因,故由的单调性和Rolle定理知(a) 当时，, ；(b)(c)(d) 待添加的隐藏文字内容3当时，（由（14）知，为的二重根）；(e) 当时，,.综上所述，使（11）为零稳定的充分条件是（12）成立，定理证毕. 例1： 当k=4时，线性多步法（11）为： ， （1
8、8） 其中的可有待定系数法确定： ；由定理6，使（18）为零稳定的充分必要条件是： （19）当时，由根轨迹法可确定出（18）的绝对稳定区域是 ， （20）显然，在s满足（19）的前提下，无论怎样变动参数s的值，都不会无限增大. 作者对雷刚老师的指导表示衷心的感谢！参考文献：1 蔡大用.数值代数.北京：北京清华大学出版社M，1987.2 VargaRS.Matrix Iterative Analysis Englewood C liffsM, New Jersey:Prentice 2 all,1962.3 苏育才，矩阵理论.北京：科学出版版社M，2006.4 刘人丽,李春光.一类代数方程根的一
9、个定理J.四川：四川师范大学学报 ( 自然科学版) , 1990, 13 ( 1) : 697.5 廖安平.矩阵论.湖南：湖南大学出版社M，2005.6 刘发旺. 一类含有稳定参数的 Adams 型隐式方法及其新算法J.福建：福州大学学报( 自然科学版), 1987, 9（4）: 365372.All gebraic equation by using of nonnegative matrix theory Abstract： By using of the Perron-Frobenius theorem in nonnegative matrix theory,the distributing of the roots of a class of algebraic equation, which often exisits in computational matihematics, is discussed in this paper.Key words：Perron-Frobenius theorem,Algebraic,Distribution of roots.
