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1、本科毕业论文论文题目： 等价关系在近世代数中的地位和作用 姓 名：郝晓玉学 号：2007051132系（部）：数学系专 业：数学与应用数学班 级：2007级1班指导教师：李秀平完成时间： 2011 年 04 月摘 要讨论了等价关系与集合分类的关系，进一步综合分析了等价关系与子集的陪集、不变子群、商群等的联系，最后介绍通过等价关系建立起来的群即商群与模的剩余类加群。关键词：等价关系；群；陪集；商群在高等代数中，有许多概念关系都是等价关系，如矩阵的相似关系、合同关系、矩阵的等价.而在近世代数中，等价关系更具有一般性，抽象性，具有十分重要的作用.将这个一般的概念运用到群论中去，可以得到陪集，商群的概
2、念，利用等价关系分类得到的自然同态也就是群的同态基本定理的雏形，并且环论与等价关系也有密切的联系.因此，等价关系在近世代数中有重要的意义及广泛的应用.通过实例来加强对等价关系这个概念的理解及有关性质的证明，论述等价关系与群，陪集，商群之间的联系来说明等价关系在近世代数中的地位及重要性.关键词：等价关系；群；陪集；商群AbstractWe first discuss the relation of equivalence relation and set classification,and then synthetically analyze the relations of equivale
3、nce relation and coset, subgroup, quotient group etc. Finally, we introduce the quotient group and the remainder plus group of mould n which are established by the equivalence relation. Keywords: Equivalence relation; Group; Coset; Quotient groupMany concept relations are equivalence in advanced alg
4、ebra,such as similar relations of matrix,contract relations and the equivalence of matrix.while in modern algebra,equivalence relation is more general and abstract and plays a very important role as well.When this general concept is used in theory of group,we can get coset and the concept of quotien
5、t group.When a group is classified by equivalence relation,we can get natural homomorphism,which is also the rudiment of fundamental theorem of homomorphism.ring theory and equivalent relation are closely linked.Therefore,equivalent relation is of important significance in modern algebra and is wide
6、ly used.Some examples can be used to strengthen the comprehension of equivalent relation and the proof of cosets and relevant properties.The status and importance of equivalence relations,groups,consets an quotient groups.Relation in modern algebra can be illustrated by discussing the relations of e
7、quivalence.Keywords:equivalence relation;group;cosets;quotient group目 录目 录前言11 等价关系的概念11.1关系的定义11.2等价关系的定义22 等价关系与集合的分类22.1 集合分类22.2 同余关系33 等价关系、子集的陪集、不变子群、商群的联系33.1等价关系与陪集43.2不变子群的陪集与商群44 商群与模的剩余类加群6结论6谢辞7参考文献8前 言等价关系是一类特殊的二元关系，在近世代数中有重要的作用，群、陪集、商群等概念都与等价关系有密切的联系，所以，等价关系在代数系统中有着重要的地位和广泛的应用.1 等价关系的概
8、念映射是两个集合之间建立联系的一种方法，利用这种联系来对两个集合进行比较，通过这种比较就能由一个集合的性质去推测另一个集合可能有的性质.除了这种认识事物的方法以外，有时也需要把一个集合分成若干个子集，对各个子集进行分门别类的研究或者对某些特殊的子集加以讨论，这种讨论有益于对原来的集合的研究.这种从局部到整体的认识事物的方法，在高等代数中已屡见不鲜，而在近世代数中更是不可缺少的，甚至是无处不有的.这里将分两个层次分别介绍集合的分类以及将集合进行分类的一般原则等价关系.首先看关系的定义.1.1 关系的定义定义11 一个到的映射叫做的元间的一个关系.若=对，我们说，与符合关系，记成.若=错，我们说，
9、与不符合关系.例1 设为整数集，规定为,存在,使.解 由题意可知，显然对或 二者必居其一，即存在，使，或不存在，使，二者必居其一，也即或，二者必居其一.故为的一个关系.例2 设是有理数集，对，规定为解 由题意可知，.若同号，则，所以.若有一个是0，则，所以.若异号，则，所以，故为的一个关系，实际上为“异号关系”.实际生活中，集合的元素之间也具有不同的关系，比如数学系全体在校学生，有同年级的关系、同班的关系、同宿舍的关系、同省份的关系、性别的关系等等.1.2 等价关系的定义定义21 集合的元间的一个关系叫做一个等价关系，假如满足以下规律：. 反射律：，不管是的哪一个元. 对称律：. 推移律：，若
10、，我们说，与等价.高等代数中介绍过，矩阵的相似关系、合同关系、矩阵的等价等都是等价关系的具体例子.2 等价关系与集合的分类2.1集合分类定义31 若把一个集合分成若干个叫做类的子集，使得的每一个元属于而且只属于一个类，那么这些类的全体叫做集合的一个分类.定理1 集合的一个分类决定的元间的一个等价关系.例3 设是上一切二阶矩阵组成的集合，令易知，的这些子集（三个子集）满足以下特征：（1）（2）（3）这三条特征说明，实数域上的全体二阶矩阵作成的集合恰好是三个两两不相交的非空子集的并，而每个子集恰好是由秩相同的二阶方阵组成的.因此对于，秩秩这个关系便是的元间的一个等价关系.定理21 集合的元间的一个
11、等价关系决定的一个分类.该定理表明：若把所有与的一个固定元等价的元都放在一起，作成一个子集，用来表示.所有这样得到的子集就作成的一个分类.并且：（）（）的每一个元属于且仅属于一个类.等价关系的重要意义正是在于它是造成分类的一般准则.通过等价关系将集合分类时，做到了“不重不漏” 2 ，如例4 设，由分类的定义知不是的一个分类，也不是的一个分类，而是的一个分类.2.2 同余关系定义4 符号表示能整除，这显然是一个等价关系.这个等价关系普遍叫做模的同余关系，并且用来表示（读成同余模）.同余关系是一种重要的等价关系.此等价关系决定整数集的一个分类，称为模的剩余类，记作，其元素为：.每一类恰好是由除以余
12、数相同的整数组成的.特别地，取时,被分解成偶数子集和奇数子集.模的剩余类是说明近世代数中许多问题的范例.在群论中，模的剩余类关于类的加法作成群，称作剩余类加群，它是循环群的代表.若设是由生成元生成的循环群，当为无限阶循环群时，与整数加群同构；当是阶为的有限阶循环群，则与模的剩余类群同构.3 等价关系、子群的陪集、不变子群、商群的联系研究子群陪集的思想是用与群的子群有关的等价关系将群的元素进行分类,进而研究群.3.1等价关系与陪集定义51 设为一个群,为的子群,令：可以证明此关系是群的元间的一个等价关系,由此等价关系而产生的等价类叫做子群的右陪集, 若用表示所在的等价类,那么恰有.同样的讨论定义
13、61 若令此关系也是群的元间的一个等价关系, 由此等价关系而产生的等价类叫做子群的左陪集,若用表示所在的等价类,那么恰有.因此子群的陪集正是与元素相乘的积,当从右方去乘时,得到右陪集.反之得到左陪集.但是,子群的一个左陪集与相应的右陪集未必相等,如：令，.则 因此 .3.2不变子群的陪集与商群群的每一个子群都能“引导”出一批陪集，但对于该群中任一个元素,其所在的左陪集和右陪集未必相等3.什么样的子群能够使得对于该群中任一个元素,其所在的左陪集和右陪集相等呢？答案是不变子群.正是因为不变子群的这一特点，才可以规定陪集间的乘法运算，进而产生商群，具体如下：设，由子群通过等价关系“引导”而形成的全部
14、右陪集为，能否在某种规定的运算下作成群？由于是以陪集为元素的集合，这个乘法运算如何规定才“合理”？定理3 设和如上所示，那么，它们之积仍是的一个右陪集的充要条件为有.证明:，由条件知仍是一个右陪集设为.但 又知 令 任取,由知，存在,使所以，由的任意性知,由的任意性:用分别乘两端: 所以有 这种满足条件“”的子群对群而言具有及其重要的意义.定义71 设，如果对于中任一个元，都有，那么称为的不变子群，记为.（不变子群也叫正规子群）如果是不变子群，那么的左（右）陪集统一叫做的陪集.定理4 设，那么中定义的运算是一个代数运算.证明 且.如果又有使,且须证 因为 ,即因为 ,即因为 ， 所以 即 这说
15、明：尽管可能，或，但只要且一定有，即运算与代表元的选择无关.由此引出商群定义81 设，那么关于运算“”作成一个群.我们称它为关于的商群，并记为.与其商群具有密切的联系，揭示这个内在联系的定理是群的同态基本定理.这里用群同态映射为纽带建立了一套同态理论4.于是有（）到有单同态意味着在同构的意义下就是的一个子群；（）到有满同态，则意味着就是的商群（在同构下）；因此群的同态象可以设想是的一个“粗略”的模型，而只是忽略了中的某些元素间的差异而又维持了其中的运算关系.该定理确立了不变子群与商群在群的理论中的重要地位.并且揭示了“同态象”的实质.4 商群与模的剩余类加群例5 设为整数加群，为的不变子群，求
16、商群解 利用等价类，使这说明中不同的整数，当且仅当它们被除余数相同时才属于同一类，即类为，故.因此从商群角度看，模的剩余类加群就是的一个商群，产生这个商群的子群恰好就是由的所有整数倍组成的集合，它是整数加群的一个子群.结 论以上分析总结了等价关系与群，陪集，商群的联系，通过总结可以发现等价关系在近世代数中有重要的地位及作用.谢 辞整个论文的完成首先要感谢我的指导老师李秀平老师，是她给我的论文指明方向，并不辞辛苦的耐心改正.特别是李老师体谅我参加了工作，从不要求我因为论文的事情而耽误工作，并多次主动联系我指导我的论文，李老师的重视和关心我真的难以回报.当然也要感谢我身边的同学和朋友，感谢他们给我提出的意见和想法.是这些人让我的论文更加充实，更加真实，更加完善，因此在此对所有帮助我指导我的人致以深深的谢意.参 考 文 献1 张禾瑞近世代数基础M北京：高等教育出版社，197852 曾祥金“等价关系”教学浅谈J荆州师专学报，1984年第二期3 李荣元，李景清等价关系与集合的分类,求子群的陪集、商群、商环的元素的联系J高等函授学报，第14卷第1期，200124 吴健辉，黄顺发等价关系作用的认识J景德镇高专学报，第17卷第2期，20026
