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1、6.2.1、可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程.,解法,为微分方程的解.,分离变量法,例1 求解微分方程,两端积分,可分离变量的微分方程典型例题,解:设,将原方程分离变量,得:,两端积分,小结分离变量法步骤:,1.分离变量;,2.两端积分-隐式通解.,注意:通解的形式尽量是最简形式(如取C为特殊形式,可简化通解),两端积分,6.2.2.齐次方程:,的微分方程称为齐次方程.,1.定义,2.解法,作变量代换,可分离变量的方程,小结:齐次方程通过变量替换可化为可分离变量方程.,例 1 求解微分方程,解,化为,微分方程的解为,例 2 求解微分方程,解,微分方程的解为,6.2.3可化为齐次方程的
2、方程,解,代入原方程得,原方程的通解为,为齐次方程.,（其中h和k是待定的常数）,解法,h和k可由方程组,由此可定出h,k,即原微分方程可化为齐次方程 求解.,得通解，代回,作变量替换，令z=ax+by,就化成可分离变量的方程,则方程组中x,y的系数对应成比例，设比例系数为，此时方程可写成,解,代入原方程得,分离变量法得,得原方程的通解,方程变为,1.一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,6.2.4、一阶线性微分方程,例如,线性的;,非线性的.,齐次方程的通解为,1.线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),2.线性非齐次方程,讨论,两边积分,
3、非齐次方程通解形式,与齐次方程通解相比:,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质:未知函数的变量代换.,作变换,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,解:这是一阶线性微分方程,例1,例2 如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.,两边求导得,解,解此微分方程,所求曲线为,伯努利(Bernoulli)方程的标准形式,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,6.2.5、伯努利方程,解法:需经过变量代换化为线性微分方程.,求出通解后，将 代入即得,代入上式,解,例 3,例4 用适
4、当的变量代换解下列微分方程:,解,所求通解为,解,分离变量法得,所求通解为,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解,6.2.6.全微分方程及其求法,1.定义:,则称,若,例如,所以是全微分方程.,满足全微分形式,为全微分方程或恰当方程。,2.解法:,应用曲线积分与路径无关.,通解为,全微分方程,解,是全微分方程,原方程的通解为,例1,解,是全微分方程,将左端重新组合,原方程的通解为,例2,用直接凑全微分的方法.,解,将方程左端重新组合,有,例3 求微分方程,原方程的通解为,2、积分因子法,定义:,问题:如何求方程的积分因子?,1.公式法:,求解不容易,特殊地:,2.观察法:,凭观察凑微分
5、得到,常见的全微分表达式,可选用的积分因子有,解,例4,则原方程为,原方程的通解为,(公式法),可积组合法,解,将方程左端重新组合,有,原方程的通解为,可积组合法,例5 求微分方程,解1,整理得,A 常数变易法:,B 公式法:,例6,解2,整理得,A 用曲线积分法:,B 凑微分法:,C 不定积分法:,原方程的通解为,思考题1,求解微分方程,思考题1解答,为所求解.,思考题2,下列方程是否为齐次方程?,思考题2解答,方程两边同时对 求导:,原方程是齐次方程.,小结,1.齐次方程,2.线性非齐次方程,3.伯努利方程,三、一阶微分方程小结,思考题,求微分方程 的通解.,思考题解答,练 习 题,练习题答案,
