微分方程一ppt课件.ppt

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1、高等数学,高等数学,第六章 微分方程,第一节 基本概念,一、实例 例6-1、6-2例1：一曲线通过点（1，2），曲线上任意点的切线斜率为2x，求曲线方程。解：设所求曲线为 y= f(x),则,第一节 基本概念,例2：在理想环境中，某细菌的增殖速率与它的即时存在量成正比。试建立细菌在时刻的存在量满足的微分方程。,第一节 基本概念,例3：自由落体问题,第一节 基本概念,二、常微分方程定义1：含有自变量、未知函数和未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。(Ordinary differential equation),第一节 基本概念,常微分方程：未知函数为一元函数的微分 方程。（只有全导数，没

2、有偏导数）偏微分方程：未知函数为多元函数，出现偏导数的方程。本章只讨论常微分方程一般形式：,第一节 基本概念,微分方程中未知函数的导数 （或微分）的最高阶数，叫微分方程的阶。(order)三、常微分方程的解定义2：满足微分方程的函数，叫作微分方程的解。(solution),第一节 基本概念,(1)通解：含有独立的任意常数、且个数与微分方程的阶数相同的解。(general solution)(2)特解：在通解中，利用已知条件 （或初始条件 initial condition）确定任意常数后， 所得的解。（particular solution）,第一节 基本概念,一般一阶微分方程初始条件：,二阶

3、初始条件：,第二节 一阶微分方程,一般形式,第二节 一阶微分方程,如果方程形式为：,两边积分 ：,一、可分离变量的微分方程,第二节 一阶微分方程,例：p118 例6-4例6-6,例1：,求微分方程的通解,两边积分：,通解为：,第二节 一阶微分方程,例2：,求微分方程满足初始x=2,y=4条件的特解,分离变量：ydy=-xdx两边积分得：,当X=2时,y=4，得 C=10,特解：,第二节 一阶微分方程,例3：,由物理学知道，放射性元素铀在某时刻的衰变速度与该时刻铀的质量 M成正比。已知 t=0时，铀的质量为 M，求在衰变过程中铀的质量随时间变化的规律。,解：设在时刻 t的质量是 M=M(t)，衰

4、变速度是d M/dt,则,第二节 一阶微分方程,例4：,一容器内有100升葡萄糖水，其中含葡萄糖10千克，今以2升/分的速度将净水注入，并以同样速度使葡萄糖水流出。有一搅拌器不停的工作，可以认为溶液的浓度是均匀的。求（1）t时刻的葡萄糖含量（2）50分钟后的葡萄糖的含量。,第二节 一阶微分方程,解：设t 时刻溶液中的葡萄糖含量为x，则在t,t+dt内溶液中葡萄糖含量的变化为 葡萄糖含量的增量=流进的葡萄糖量-流出的葡萄糖量 葡萄糖的增量为dx，流进的葡萄糖量为零。t 时刻的浓度x/100为dt 内的浓度，则流出的葡萄糖量为x/1002dt, 微分方程为,第二节 一阶微分方程,初始条件：t=0,

5、 x=10 得 C=0则：,当 t=50时，得,第二节 一阶微分方程,二、一阶齐次方程,定义 如果一阶微分方程，可化为称这微分方程为齐次微分方程。例： 考察方程 p119,两边积分，用u=y/x代入。,例：例6-7、6-8、6-9,三、一阶线性微分方程,定义：一阶微分方程中的未知函数y以及它的导数y都是一次幂，称为一阶线性微分方程。(linear first-order differential equation) 一般形式：,三、一阶线性微分方程,线性齐次(homogeneous)方程 :,Q(x)=0,线性非齐次(inhomogeneous)方程：,齐次方程的解：分离变量得,三、一阶线性微

6、分方程,三、一阶线性微分方程,非齐次方程的解：常数变易法 (method of variation of constants), 将齐次通解中的 C=C(x).方程变为,三、一阶线性微分方程,设想方程的解有形式：,三、一阶线性微分方程,非齐次方程的通解由两部分组成： 第一部分是对应齐次方程的通解；第二部分是原来非齐次方程的一个特解。 例：p122 例6-10、6-11,三、一阶线性微分方程,例1：,求方程的通解,先求齐次方程的通解,分离变量，得,积分得,三、一阶线性微分方程,再用常数变易法解。设,方程通解：,用公式解：,结果相同,三、一阶线性微分方程,例2：,求方程通解,解：齐次,齐次通解：,

7、非齐次 设,三、一阶线性微分方程,方程通解：,例3：,求方程通解,解：齐次,非齐次,三、一阶线性微分方程,例4：,通解：,求方程满足初始条件的特解,三、一阶线性微分方程,标准形式：,齐次方程：,通解：,常数变易，设原方程的解为：,代入原方程，有,三、一阶线性微分方程,则通解为：,由,特解：,三、一阶线性微分方程,四、伯努利方程,定义 称伯努利（Bernoulli）方程。,线性微分方程；,非线性微分方程,三、一阶线性微分方程,例：p123 例6-12,三、一阶线性微分方程,三、一阶线性微分方程,三、一阶线性微分方程,例：,求微分方程的通解,例：,通解为 的微分方程为：,三、一阶线性微分方程,例：

8、,曲线y=f(x)过点(0,-1/2)，其上任一点(x,y)的切线斜率为xln(1+x2),求f(x).,三、一阶线性微分方程,例：,求微分方程的通解,例：,三、一阶线性微分方程,第三节 二阶微分方程,一、可降阶微分方程,第三节 二阶微分方程,1 型的微分方程（不显含函数和导数，两次积分）,2,代换：设,第三节 二阶微分方程,方程变为：,即 ：,例：p123 例6-13,第三节 二阶微分方程,例：,求方程的通解：,解：设 y=p(x) 有,y=dp/dx,两边积分得：,再积分一次：,第三节 二阶微分方程,3,设,第三节 二阶微分方程,方程变为：,通解：,分离变量后再积分，通解：,例：p124

9、例6-14、6-15,第三节 二阶微分方程,六、二阶常系数线性微分方程,第三节 二阶微分方程,二阶线性微分方程一般形式,(scond order linear differential equstion) 若f(x)=0, 方程是齐次的；否则是非齐次的。当P(x),Q(x)都是常数时，称为二阶常系数(constant coefficient)线性微分方程。即：,若f(x)=0,方程是齐次的，否则是非齐次的。,第三节 二阶微分方程,二、二阶线性微分方程解的结构,定理若函数,是方程,的两个解，则,也是方程的解，其中C1 C2是任意常数。（线性方程特有的，称为线性迭加原理 principle of

10、superposition）,第三节 二阶微分方程,Y=C1y1+C2y2 是否是方程的通解呢？这个问题要看C1和 C2是不是互相独立，即C1和 C2能否合并。这又和 y1、y2 有关。如果y2= ky1 即,那么,表明 y实际上只有一个任意常数， Y=C1y1+C2y2 就不是方程的通解。,第三节 二阶微分方程,只有当,才彼此独立,才是方程的通解,定义：设函数 y1(x), y2(x)在区间 I上有定义，若存在两个不全为零的常数 k1,k2使对一切XI 都有,则称 y1(x), y2(x) 在区间 I上线性相关，否则称为线性无关。,第三节 二阶微分方程,例如：,第三节 二阶微分方程,定理1：

11、设,是二阶线性微分方程的两个,线性无关的特解，则齐次方程的通解是：,其中,是两个任意常数。通解结构定理.,第三节 二阶微分方程,定理2（通解结构定理）若 是二阶非线性齐次方程的一个特解，,是对应齐次方程的通解，则,是非齐次方程的通解。,第三节 二阶微分方程,例1,求方程的通解。,直观可知：,是方程的两个特解，且线性无关。所以方程的通解为：,例2,求方程的通解。,第三节 二阶微分方程,有例1知，对应齐次方程的通解是：,由直观知它的一个特解是：,因此非齐次通解为：,第三节 二阶微分方程,三、二阶常系数线性齐次微分方程,寻找两个线性无关的特解，假设方程具有的形式 为 ，代入方程有：,特征方程:,(c

12、haracteristic equation),其根是特征根(characteristic root),第三节 二阶微分方程,（1）,，方程有两个不同的实数根,r1 r2。则,通解为：,第三节 二阶微分方程,（2）,，方程有两相同的实根，,一个特解：,求另一个与线性无关的特解。,设,将,代入原方程，有,通解为：,第三节 二阶微分方程,（3）,，方程有一对共轭复根，,两个线性无关的复数形式特解为：,不便于应用，为了得到实数解，利用欧拉公式：,第三节 二阶微分方程,将y1 y2写成:,根据线性迭加原理,也是方程的解，且线性无关。,通解为：,第三节 二阶微分方程,解题步序：,(1) 写出特征方程,(

13、2) 求出两个特征根,(3)根据特征根的情况，按表写出方程的通解,第三节 二阶微分方程,例：p128 例6-17、6-18、6-19,第三节 二阶微分方程,例1：,求方程的通解。,解：两个不相等的实数根r1=-1, r2=5,通解为,例2：,求方程满足初始条件的特解。,第三节 二阶微分方程,特征方程：r2+2r+1=0,两根相同 r1=r2=-1 通解为,由初始条件得：C1=4,C2=2.特解为,例3：,求方程的通解。,特征根：,通解：,第三节 二阶微分方程,方程 y+9y=0 的一条积分曲线通过点(,-1)，且在该点和直线y+1=x-相切，求此曲线。,例4：,解：特征方程,通解：,初始条件，

14、通过点(,-1)得，C1=1,y=-3sin3x+3C2cosx得C2=-1/3,第三节 二阶微分方程,四、二阶常系数线性非齐次微分方程,一般形式：,通解：,Y是齐次方程的通解，关键是特解。,例：,求方程的通解。,解：齐次方程通解：,第三节 二阶微分方程,第三节 二阶微分方程,非齐次通解：,第三节 二阶微分方程,特解形式： 代入方程,第三节 二阶微分方程,1、如果r不是特征根,因为Pm(x)是m,次多项式Q(x)必须是m次多项式.,2、如果r是特征方程的单根,Q(x)必须是m次多项式，即Q(x)必须是m+1次多项式。,第三节 二阶微分方程,3、如果r是特征方程的重根,Q(x)必须是m次多项式，

15、即Q(x)必须是m+2次多项式。,特解形式：,r不是特征根k0；单根k1；重根k2例： p130 例6-20、6-21、6-22,第三节 二阶微分方程,例：,设二阶常系数微分方程 的一个特解为确定 。,第三节 二阶微分方程,例：,解：这里r=0,m=2，r不是特征根k=0，设,例：,第五节 微分方程的应用,一、化学反应速率模型 对化学反应、生物生长、药物在体内分布、吸收、代谢、排泄（SBNE）等研究中，常常会遇到复杂的速率过程。最基本的是一级和二级速率。它们是化学反应中一级反应和二级反应概念的推广。 零级速率过程 设时刻t未起反应的量为C=C(t),起反应量（生成物的量）x=x(t),则 x(

16、t)=C0-C(t),第五节 微分方程的应用,生成物浓度的速率：,反应物浓度的速率：,反应速度：,零级反应：化学反应速度与反应物浓度无关。零级速率过程：一个量在某个过程中的变化速率始终保持常数。,第五节 微分方程的应用,例题：,一定剂量的药物（丹参、青霉素注射液）做恒速静脉滴注的过程是零级速率过程。设时刻t，瓶内药量为x，滴注速率为k。则,初始：t=0,x=x0c=x0有,药量与时间呈线性关系。,第五节 微分方程的应用,1、一级反应 单分子反应，若化学反应速率与反应物的量成正比，称为一级反应（一级速率过程）。 一级速率过程：某个变化过程中一个量的变化率与当时的量成正比，这种动力学过程称为一级速

17、率过程，如镭的衰变过程。,例题：,镭的初始量x0，求残存量x与时间的关系。,据题意：,第五节 微分方程的应用,第五节 微分方程的应用,2、二级反应 称二级反应。一定温度时等容反应的速率与各反应物浓度的乘积成正比,第五节 微分方程的应用,第五节 微分方程的应用,二、医学模型 （肿瘤生长模型） 设V表示在时刻 t 肿瘤的大小（体积、重量、细胞数等）。由实践得知：肿瘤在时刻t增长的速率与当时V的大小成正比，比例系数为k（不是常数），它随时间t减小，其减小的速率与当时k的大小成正比，此比例系数为常数。得如下数学模型：,第五节 微分方程的应用,（1）如果,由此可见，肿瘤按指数生长，生长速率为A,第五节

18、微分方程的应用,(2)如果,将上式代入dV/dt=kV方程，得,这是描述肿瘤生长的数学关系，称为高帕茨Gompertz（德国数学家）函数。,第五节 微分方程的应用,研究几种肿瘤生长情况：,第五节 微分方程的应用,这是肿瘤生长的理论上限。当dV/dt0,则V单调递增，当t+时，VVmax,第五节 微分方程的应用,（3）通常将肿瘤体积增大一倍所需的时间称为肿瘤的倍增时间，记为td.由情况(1)可得，,显然，td不是常数，它随t的增大而增大。,第五节 微分方程的应用,三、药学模型,一室模型近似将机体看成是一个动力学单元，给药后瞬时分布到血液和器官。,例1 快速静脉注射模型,设体内为一个室（动力学一室模型），V表观容积。,第五节 微分方程的应用,设药物消除是一级速率，一次快速静脉注射剂量为D0 ,求血药浓度变化。设,设t时刻药量为x，则,第五节 微分方程的应用,血药浓度,血药浓度消除率,第五节 微分方程的应用,例2 恒速静脉注射一室模型,K0 恒速注射，体内变化速率为输入药量速率与消除药量速率之差。,齐次方程解,常数变易 代入原方程,第五节 微分方程的应用,血药浓度,剂量D0在时间T内恒速k0=D0/T滴注,第五节 微分方程的应用,