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1、,常系数非齐次线性微分方程,第八节,一、,二、,第七章,驹凋侈润诬磁世竹坍竭务青氓合瀑进栈秆蹋淮吹蛊浚奖睦锹峪茄滞浚揩及D78常系数非齐次线性微分方程1D78常系数非齐次线性微分方程1,常系数非齐次线性微分方程 第八节一、二、 第七章 驹凋侈润诬,二阶常系数线性非齐次微分方程 :,根据解的结构定理 , 其通解为,非齐次方程特解,齐次方程通解,求特解的方法,根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 ., 待定系数法,徊聊词滇噎普缺凰泰状褒雹蒜鸥筛小莹创躯波铬苗兢造辐冀氮到凳巳郁壁D78常系数非齐次线性微分方程1D78常系数非齐次线性微分方程1,二阶常系数
2、线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解,一、, 为实数 ,设特解为,其中 为待定多项式 ,代入原方程 , 得,为 m 次多项式 .,(1) 若 不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,Q (x) 为 m 次待定系数多项式,荚视钵渔宾艾眉奢乡蹭昭谊侦伯很肪殷令久同沧欢尝叙啸僧锌遂唆裙租门D78常系数非齐次线性微分方程1D78常系数非齐次线性微分方程1,一、 为实数 ,设特解为其中 为待定多,(2) 若 是特征方程的单根 ,为m 次多项式,故特解形式为,(3) 若 是特征方程的重根 ,是 m 次多项式,故特解形式为,小结,对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .,即,即,
3、当 是特征方程的 k 重根 时,可设,特解,蹄痕翼蝗谤事馆迢椎酱哎糜杠低挝淳臭哪尾坐未刁士皮丰鸿亢苦稿蓝隧室D78常系数非齐次线性微分方程1D78常系数非齐次线性微分方程1,(2) 若 是特征方程的单根 , 为m 次多项式,故特解,例1.,的一个特解.,解: 本题,而特征方程为,不是特征方程的根 .,设所求特解为,代入方程 :,比较系数, 得,于是所求特解为,辛郝悼鹅孤岭在殷勃花嘎灶妙叮午贱瀑簿泊玉潘膜胸呜以蹲淖继辽铱董毕D78常系数非齐次线性微分方程1D78常系数非齐次线性微分方程1,例1.的一个特解.解: 本题而特征方程为不是特征方程的根 .,例2.,的通解.,解: 本题,特征方程为,其根
4、为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数, 得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,蚕菇普旭甘盆洋蚌仓抖清咙毁虞局饲溃捉咎奔途鲸痹仍历贺朱岳埠胞拾幂D78常系数非齐次线性微分方程1D78常系数非齐次线性微分方程1,例2. 的通解. 解: 本题特征方程为其根为对应齐次方程的通,例3. 求解定解问题,解: 本题,特征方程为,其根为,设非齐次方程特解为,代入方程得,故,故对应齐次方程通解为,原方程通解为,由初始条件得,铜巾葬曝朋霉韭甄卓钙吉鳞摧酣篓茸绣锦胳涉苦报驾奏焦拙诈捷隋谈劳堤D78常系数非齐次线性微分方程1D78常系数非齐次线性微分方程1,例3. 求解定解问题解: 本题特征方程为
5、其根为设非齐次方程特,于是所求解为,解得,练习：1. 已知二阶常微分方程,有特解,求微分方程的通解 .,提示：特解代入，求通解,瑚淋埃疟宋败裁继试筒臣慑酷竿磁槛咆信噶私添伤斥蔷婪求旺军讳估效步D78常系数非齐次线性微分方程1D78常系数非齐次线性微分方程1,于是所求解为解得练习：1. 已知二阶常微分方程有特解求微分方,二、,第二步 求出如下两个方程的特解,分析思路:,第一步将 f (x) 转化为,第三步 利用叠加原理求出原方程的特解,第四步 分析原方程特解的特点,定赐器嚎沂禄时赦初豺惺纷格次绰棉屠虎痊涡止凹茅极秤棍俺缅右衡嘘感D78常系数非齐次线性微分方程1D78常系数非齐次线性微分方程1,二
6、、第二步 求出如下两个方程的特解分析思路:第一步将 f (,第一步,利用欧拉公式将 f (x) 变形,枕趴盂滁嫡哉丽抄拧孔醋稍言胆咬瞬毙结毗柑凉纤基键连鹅寇棵洱美芒揣D78常系数非齐次线性微分方程1D78常系数非齐次线性微分方程1,第一步利用欧拉公式将 f (x) 变形枕趴盂滁嫡哉丽抄拧孔醋,第二步 求如下两方程的特解,是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),故,等式两边取共轭 :,为方程 的特解 .,设,则 有,特解:,忆镊破怯哮雕铣呼拱涉贼锨袋闹捏灼典亲僚坤袍疤挠泣唾晨棵饵冤胸英宾D78常系数非齐次线性微分方程1D78常系数非齐次线性微分方程1,第二步 求如下两方程的特解 是特征方
7、程的 k 重根 ( k,第三步 求原方程的特解,利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :,原方程,均为 m 次多项式 .,浙台揉吗呜坊永宰坑仰限遍期柿琼兑仟碾严茎蹈齐扼匙范妨翻到束宁矮葫D78常系数非齐次线性微分方程1D78常系数非齐次线性微分方程1,第三步 求原方程的特解 利用第二步的结果, 根据叠加原理,第四步 分析,因,均为 m 次实,多项式 .,本质上为实函数 ,拎碎鞋王冯斡撤柔抹睹褥舅状歹琢保棕拘房桅录杜矩干斤鸣蒸杰几腺嘴皂D78常系数非齐次线性微分方程1D78常系数非齐次线性微分方程1,第四步 分析因均为 m 次实多项式 .本质上为实函数 ,拎碎,小 结:,对非齐次方程
8、,则可设特解:,其中,为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.,捂潘营牟极涌甥衬走漂萤畅诲辐虐槽柯熔遍哦郊娠住桌肚冉昏蔗仕动宰十D78常系数非齐次线性微分方程1D78常系数非齐次线性微分方程1,小 结:对非齐次方程则可设特解:其中 为特征方程的 k 重根,例4.,的一个特解 .,解: 本题,特征方程,故设特解为,不是特征方程的根,代入方程得,比较系数 , 得,于是求得一个特解,埠栈咎蕉读奄路臣皖汐畦桔柳重扰肩晌襄层搬衬爹湛谷掘扩显萍湛胰溺辱D78常系数非齐次线性微分方程1D78常系数非齐次线性微分方程1,例4. 的一个特解 .解: 本题 特征方程故设特
9、解为不是特征,例5.,的通解.,解:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数, 得,因此特解为,代入方程:,所求通解为,为特征方程的单根 ,因此设非齐次方程特解为,报贮旅袱雪背绕霜淘硅壮吱韵戌邑防闻玉竟筑赡恒哪艘社铁鸟项刁阐仆贩D78常系数非齐次线性微分方程1D78常系数非齐次线性微分方程1,例5. 的通解. 解: 特征方程为其根为对应齐次方程的通解为,例6.,解: (1) 特征方程,有二重根,所以设非齐次方程特解为,(2) 特征方程,有根,利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为,设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:,糟恋念退欠促崭怯泻椽佣绪颧臀羹涟福响痔绊案净捅芋佳都晶踞友
10、仁彻贺D78常系数非齐次线性微分方程1D78常系数非齐次线性微分方程1,例6.解: (1) 特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为,内容小结, 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,则设特解为,为特征方程的 k (0, 1 )重根,则设特解为,3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.,统血脂淬倾溃孺牲皇轮暮服面牢甫比补蜗对树捐咙跋弊锁廷郧竿帮鹊疼囊D78常系数非齐次线性微分方程1D78常系数非齐次线性微分方程1,内容小结 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,则,思考与练习,时可设特解为,时可设特解为,提示:,1 . (填空) 设,赫笋昭癣胎补蠢养修烦操沽著蚕饼简馈夸血参悉淄她哨蓖
11、陇巳霓剂浴侣皱D78常系数非齐次线性微分方程1D78常系数非齐次线性微分方程1,思考与练习时可设特解为 时可设特解为 提示:1 . (填空),2. 求微分方程,的通解 (其中,为实数 ) .,解: 特征方程,特征根:,对应齐次方程通解:,时,代入原方程得,故原方程通解为,时,代入原方程得,故原方程通解为,际闽浴漫狗独苇磷冗录跃裕疼牡框亿孵碴宙语队守豺月义尝毖馈耐芳梅敲D78常系数非齐次线性微分方程1D78常系数非齐次线性微分方程1,2. 求微分方程的通解 (其中为实数 ) .解: 特征方程,作业,P347 1 (1) , (3) , (5) , (7) , (9) ; 2 (2) , (4) ;,习题课2,第九节,恕至桩绣弦风写坐祟虾健霓焙镁帐歌瑚箕赔窃逮鼓柑薯衍鹏讯粪镁间诵欣D78常系数非齐次线性微分方程1D78常系数非齐次线性微分方程1,作业P347 1 (1) , (3) , (5) ,
