机理分析建模概要ppt课件.ppt

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1、机理分析建模法,成都大学,机理分析是根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律。,机理分析方法立足于揭示事物内在规律,与问题相关的物理、化学、经济等方面的知识；通过对数据和现象的分析对事物内在规律做出的猜想(模型假设)。,模型特点：有明确的物理或现实意义,对现实对象的认识来源：,机理分析建模常用方法：常微分方程偏微分方程逻辑方法比例方法代数方法,目录,常微分方程建模 微分方程的建立 微分方程的求解 逻辑方法建模,一 微分方程建模,当实际问题需寻求某个变量y 随另一变量 t 的变化规律 y=y(t)，且直接求很困难时，可以建立关于未知变量、未知变量的导数以及自变量的方程(即

2、变量满足的微分方程)。,在实际问题中， “改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关键词提示我们注意什么量在变化；关键词“速率”、“增长” “衰变” ，“边际的” ，常涉及到导数。这些都是建立微分方程模型的关键。,建立常微分方程模型的常用方法：,运用已知物理定律利用平衡与增长式运用微元法运用分析法,(一) 微分方程的建立,建立微分方程模型时应用已知物理定律，可事半功倍。,例1.1 一个较热的物体置于室温为180C的房间内，该物体最初的温度是600C，3分钟以后降到500C 。想知道它的温度降到300C 需要多少时间？10分钟以后它的温度是多少？,牛顿冷却(加热)定律：将温度为T的物体放入处于常温

3、 m 的介质中时，T的变化速率正比于T与周围介质的温度差。,1、运用已知物理定律,分析：假设房间足够大，放入温度较低或较高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡，保持为m，采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似。,建立模型：设物体在冷却过程中的温度为T(t) (t0)， “T的变化速率正比于T与周围介质的温度差” 翻译成数学语言也就是： 。,建立微分方程,其中参数k 0，m=18，求得一般解为,ln(Tm)=k t+c,代入条件，求得c=42 ， , 最后得,该物体温度降至300C 需要8.17分钟。,结果：,2、利用平衡与增长式,许多研究对象在数量上常常表现出某种不变的特性，如封闭区域内

4、的能量、货币量等。,利用变量间的平衡与增长特性，可分析和建立有关变量间的相互关系.,续 人口增长模型,对某地区时刻t的人口总数P(t)，除考虑个体的出生、死亡，再进一步考虑迁入与迁出的影响。,在很短的时间段t 内，关于P(t)变化的一个最简单的模型是：,t时间内的人口增长量 =t内出生人口数t内死亡人口数,+ t内迁入人口数t内迁出人口数,t时间内的净改变量=t时间内输入量t时间内输出量,不同的输入、输出情况对应不同的差分或微分方程。,更一般地,输入量：含系统外部输入及系统内部产生的量；,输出量：含流出系统及在系统内部消亡的量。,此类建模方法的关键是分析并正确描述基本模型的右端，使平衡式成立。

5、,例1.2(战斗模型) 两方军队交战，希望为这场战斗建立一个数学模型，应用这个模型达到如下目的：,1. 预测哪一方将获胜？,2. 估计获胜的一方最后剩下多少士兵？,3. 计算失败的一方开始时必须投入多少士兵才能赢得这场战斗？,模型建立,设: x(t) t 时刻X方存活的士兵数； y(t) t 时刻Y方存活的士兵数；,假设： 1) 双方所有士兵不是战死就是活着参加战斗， x(t)与y(t)都是连续变量。,2) Y方军队的一个士兵在单位时间内杀死X 方军队 a 名士兵；,3) X 方军队的一个士兵在单位时间内杀死Y方军队 b 名士兵；,t 时间内X军队减少的士兵数 = t 时间内Y军队消灭对方的士

6、兵数,平衡式：,基本思想： 通过分析研究对象的有关变量在一个很短时间内的变化情况。,3、微元法,例1.3 一个高为2米的球体容器里盛了一半的水，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面积为1平方厘米。 试求放空容器所需要的时间。,对孔口的流速做两条假设 ：,1t 时刻的流速v 依赖于此刻容器内水的高度h(t)。,2 整个放水过程无能量损失。,模型建立：由水力学知：水从孔口流出的流量Q为通过“孔口横截面的水的体积V对时间t 的变化率”，即,S孔口横截面积(单位：平方厘米),h(t) 水面高度(单位：厘米),t时间(单位：秒),当S=1平方厘米，有,h(t),h+h,在t，t+t 内，水面高度 h(t)

7、 降至h+h(h0), 容器中水的体积的改变量为,V=V(h)V(h+h)=h3(r12+r22)o(h) r2ho(h),r1,r2,令t 0, 得,dV=r2 dh， (2),比较(1)、(2)两式得微分方程如下：,积分后整理得,(0h100),令 h=0，求得完全排空需要约2小时58分。,基本思想：根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系, 找出反映内部机理的规律。,例1.4(独家广告模型) 广告是调整商品销售的强有力的手段, 广告与销售量之间有什么内在联系？如何评价不同时期的广告效果？,分析： 广告的效果，可做如下的条件假设：,1. 商品的销售速度会因广告而增大，当商品在市场上趋于饱和

8、时，销售速度将趋于一个极限值；,4、分析法,2. 商品销售率(销售加速度)随商品销售速度的增高而降低；,3. 选择如下广告策略，t时刻的广告费用为：,建模：,M 销售饱和水平，即销售速度的上限；,(0) 衰减因子，广告作用随时间的推移而自然衰减的速度。,直接建立微分方程,记S(t) t 时刻商品的销售速度；,称 p 为响应系数，表征A(t) 对 S(t) 的影响力。,模型分析：是否与前三条假设相符？,假设1,市场余额,假设2,销售速度因广告作用增大, 同时又受市场余额的限制。,改写模型,求解常微分方程模型的常用方法：,微分方程的数值解 微分方程的定性分析,(二) 微分方程的求解,1.1 常微分

9、方程数值解的定义： 在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂,且大多得不出一般解。而实际问题中对初值问题的求解，一般是要求得到在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式。,1、常微分方程的数值解,1.2 建立数值解法的一些途径：用差商代替导数使用数值积分使用泰勒公式 数值公式的精度,用差商代替导数（欧拉法）,若步长h较小，则有,故有公式：,对方程y=f(x,y), 两边由xi到xi+1积分，并利用梯形公式，有：,实际应用时，与欧拉公式结合使用：,故有公式：,使用数值积分（改进的欧拉法）,以此方法为基础，有龙格-库塔法、线性多步法等方法。,使用泰勒公式,数值

10、公式的精度,当一个数值公式的截断误差可表示为O（hk+1）（其中k为正整数，h为步长）时，称它是一个k阶公式,k越大，则数值公式的精度越高,欧拉法是一阶公式，改进的欧拉法是二阶公式龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式线性多步法有四阶亚当斯外插公式和内插公式,1.3 用MATLAB软件求常微分方程的数值解,t，x=solver(f,ts,x0,options),1在解含n个未知数的方程组时，x0和x均为n维向量，M文件中的待解方程组应以x的分量形式写出,2使用MATLAB软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组,注意:,则微分方程变成一阶微分方程组：,1建立M文件vdp1000m如

11、下： function dy=vdp1000(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1);,2取t0=0，tf=3000，输入命令： T,Y=ode15s(vdp1000,0 3000,2 0); plot(T,Y(:,1),-),3结果如图：,例1.5 导弹追踪问题,设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1, 0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰如果乙舰以最大的速度v0(常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线方程乙舰行驶多远时，导弹将它击中？,解法一（解析法）,由(1),(2)消

12、去t, 整理得模型:,1建立M文件eq1m function dy=eq1(x,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)2)/(1-x);,2取x0=0，xf=09999，建立主程序chase1m如下： x0=0,xf=0.9999 x,y=ode15s(eq1,x0 xf,0 0); plot(x,y(:,1),b) hold on t=0:0.01:2; plot(1,t,b*),令y1=y, y2=y1，将方程（3）化为一阶微分方程组,解法二（数值解法）,3.结果,导弹运行轨迹,导弹、乙舰运行轨迹,(1)、t=2s,(2)、t

13、=0.5s,导弹运行轨迹,导弹、乙舰运行轨迹,导弹运行轨迹,导弹、乙舰运行轨迹,(3)、t=0.25s,导弹运行轨迹,导弹、乙舰运行轨迹,(4)、t=0.125s,导弹运行轨迹,导弹、乙舰运行轨迹,(5)、t=0.21s,结论：时刻t=0.21时，导弹在（1，0.21）处击中乙舰,例1.6 慢跑者与狗,一个慢跑者在平面上沿椭圆以恒定的速率v=1跑步,设椭圆方程为:x=10+20cost,y=20+5sint。突然有一只狗攻击他。这只狗从原点出发,以恒定速率w跑向慢跑者,狗的运动方向始终指向慢跑者。分别求出w=20,w=5时狗的运动轨迹。,1 模型建立,设t 时刻慢跑者的坐标为(X(t),Y(t

14、)，狗的坐标为(x(t),y(t),则 X=10+20cost,Y=20+15sint.狗从(0,0)出发,与导弹 追踪问题类似，狗的运动轨迹的参数方程为:,2 模型求解,(1) w=20时,建立文件eq2m如下: function dy=eq2(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=20*(10+20*cos(t)-y(1)/sqrt (10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2); dy(2)=20*(20+15*sin(t)-y(2)/sqrt (10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2);,取t0=0，

15、tf=10，建立主程序chase2m如下： t0=0;tf=10; t,y=ode45(eq2,t0 tf,0 0); T=0:0.1:2*pi; X=10+20*cos(T); Y=20+15*sin(T); plot(X,Y,-) hold on plot(y(:,1),y(:,2),*),在chase2m中，不断修改tf的值,分别取tf=5, 25, 35,至315时,狗刚好追上慢跑者,tf=10,在chase2m中，不断修改tf的值,分别取tf=5, 25, 35,至315时,狗刚好追上慢跑者,(1)、tf=5,(2)、tf=2.5,(3)、tf=3.15,建立M文件eq3m如下: f

16、unction dy=eq3(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=5*(10+20*cos(t)-y(1)/sqrt (10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2); dy(2)=5*(20+15*sin(t)-y(2)/sqrt (10+20*cos(t)- y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2);,取t0=0，tf=10，建立主程序chase3m如下： t0=0;tf=10; t,y=ode45(eq3,t0 tf,0 0); T=0:0.1:2*pi; X=10+20*cos(T); Y=20+15*sin(T); plot

17、(X,Y,-) hold on plot(y(:,1),y(:,2),*),(2) w=5时,tf=10,在chase3m中，不断修改tf的值,分别取tf=20, 40, 80,可以看出,狗永远追不上慢跑者,(1)、tf=20,(2)、tf=40,(3)、tf=80,例1.7 地中海鲨鱼问题,意大利生物学家Ancona曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究，从第一次世界大战期间,地中海各港口几种鱼类捕获量百分比的资料中，他发现鲨鱼等的比例有明显增加（见下表），而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降显然战争使捕鱼量下降，从而食用鱼增加，鲨鱼等也随之增加，但为何鲨鱼的比例大幅增加呢？,他无法解释这个现象

18、，于是求助于著名的意大利数学家VVolterra，希望建立一个食饵捕食系统的数学模型，定量地回答这个问题,该模型反映了在没有人工捕获的自然环境中食饵与捕食者之间的制约关系，没有考虑食饵和捕食者自身的阻滞作用，是Volterra提出的最简单的模型,首先，建立M文件shierm如下： function dx=shier(t,x) dx=zeros(2,1); dx(1)=x(1)*(1-01*x(2); dx(2)=x(2)*(-05+0.02*x(1);,其次，建立主程序sharkm如下： t,x=ode45(shier,0 15,25 2); plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),

19、*) plot(x(:,1),x(:,2),结果：,左图反映了x1（t）与x2（t）的关系 可以猜测： x1（t）与x2（t）都是周期函数,模型（二） 考虑人工捕获,设表示捕获能力的系数为e，相当于食饵的自然增长率由r1 降为r1-e，捕食者的死亡率由r2 增为 r2+e,设战前捕获能力系数e=03, 战争中降为e=01, 则战前与战争中的模型分别为:,首先，建立M文件shier1m,shier2m如下： function dx=shier1(t,x) dx=zeros(2,1); dx(1)=x(1)*(0.7-01*x(2); dx(2)=x(2)*(-0.8+0.02*x(1); fun

20、ction dy=shier2(t1,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(1)*(0.9-01*y(2); dy(2)=y(2)*(-0.6+0.02*y(1);,其次，建立主程序shark1m如下： t,x=ode45(shier1,0 15,25 2); t1,y=ode45(shier2,0 15,25 2); k=length(t);k1=length(t1); for l=1:1:k s(l)=x(l,2)/(x(l,1)+x(l,2); l=l+1; end for l1=1:1:k1 s1(l1)=y(l1,2)/(y(l1,1)+y(l1,2); l1=l1+1

21、; end plot(t,s,-,t1,s1,*),求解结果:,注：实线为战前的鲨鱼比例，“*”线为战争中的鲨鱼比例,结论：战争中鲨鱼的比例比战前高！,x2(t)/x1(t)+x2(t),2、常微分方程的定性分析,虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，但是对于某些实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态，而是研究某种意义下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。譬如在什么情况下描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值，在什么情况下又会越来越远离这些数值 而导致过程不稳定。 为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程，而可以利用

22、微分方程稳定性理论，直接研究平衡状态的稳定性就行了。,其右端的函数不显含自变量 t，则称为一阶n维驻定系统(自治系统、动力系统)。,若微分方程组,2.1 微分方程稳定性理论简介,定义1：动力系统,例： 单一质点非受迫直线运动满足下方程,得一个二维驻定系统,定义2：相空间、相轨线、相位图,系统,的相空间是以 为坐标的空间 。特别地，当n=2时，相空间称为相平面。,空间 中的点集,称为系统(1) 的轨线，所有轨线在 相空间中的分布图称为相图。,例：一般二维驻定系统形式为,存在且唯一，则在三维空间(x, y, t)中有且仅有 一条解曲线通过点(x0, y0, t0)。,x,y,t,o,t0,(x,y

23、,t),解曲线,投影曲线,平面 (x, y)为相平面，解曲线在相平面上的投影为相轨线，相轨线族称为相位图。,定义3：奇点（平衡点）,对于系统而言，,满足 的点称为系统（1）的奇点（或平衡点）。,例：一般二维驻定系统形式为,若点(x0, y0)使P(x0, y0)= Q(x0, y0)=0, 则(x0, y0) 为方程(2)的平衡点。,轨线方程可由原方程(2)消去 t 而得到，相点的运动方向可由原方程确定。,两方军队交战,希望为这场战斗建立一个数学模型, 应用这个模型达到如下目的：,3. 计算失败的一方开始时必须投入多少士兵才能 赢得这场战斗？,1. 预测哪一方将获胜？,2. 估计获胜的一方最后

24、剩下多少士兵？,2.2 微分方程稳定性模型,4. 战斗持续时间？,例2.1 战斗模型,记 x(t) t 时刻X方存活的士兵数； y(t) t 时刻Y方存活的士兵数；,有微分方程组：,初始条件为：,（1）、模型建立,分析方程组,1) 变量 x0，y0，有唯一平衡点(0, 0).,2) x(t)、y(t)都是单降函数, 且随着x, y的减小， 衰减速度也在降低.,（2）、模型分析,分析相位图,1) 求相轨线方程，将两个方程相除，得,代入初始条件，有,双曲线族,2) 预测何方军队获胜, 将剩下多少士兵。,(1)若 ,解曲线方程化为,一场势均力敌的，导致相互毁灭的战斗。,(2) 若 时，,解： 令y=

25、0, 由轨线方程得：,矛盾,故当y=0时,不可能出现 x0的情形,即X方获胜的情形。,即Y方获胜时的幸存士兵数。,3) 计算失败的一方开始时必须投入多少士兵才能赢得这场战斗？,若 ，则Y方获胜；若 ，则X方获胜。,4) 战斗持续时间？,食用鱼,人类捕捞,食肉鱼,捕鱼量减少，食用鱼的比例反而降低？,上世纪初, 意大利生物学家U.DA ncona在研究中发现第一次世界大战期间从地中海捕获的鱼中，鲨鱼等食肉鱼的比例十分明显地上升了。他认为这一现象决非偶然，应是由战争期间捕鱼量减少所致。,例2.2 捕食系统的Volterra方程,x(t) t 时刻食用鱼(prey)的数量y(t) t 时刻食肉鱼(pr

26、edator)的数量,1. 没有食肉鱼, 食用鱼的净相对增长率为正常数k1,k10,2. 没有食用鱼，食肉鱼的净相对增长率为负常数k2, k20.,3. 两类鱼相遇的机会正比于x 和 y 的乘积；,建立微分方程如下：,假设如下：,(其中参数b0，c0),（1）、模型建立,建立微分方程如下：,其中b0,c0。方程组表明两类鱼共存时，食肉鱼在单位时间内捕食的食用鱼数量与两类鱼的数量的乘积成比例关系，描述了两类鱼的相互制约关系。,关心相互制约的两类鱼种的总变化趋势. 针对建模目的，对微分方程进行以下分析工作：,1. 讨论方程的平衡点；,2. 分析验证方程组是否有周期解；,3. 对方程组周期解进行分析

27、；,4. DA ncona现象的解释。,（2）、模型分析,1) 求平衡点,平衡点：(0, 0)与(x, y)=( ),平凡的,在平衡点 处，两类鱼将能够“平衡”地生存，它们的数量将一直保持这个水平。,2) 分析验证方程组有周期解,(1)求相轨线方程,将方程组(1)的两个方程相除：,两边积分,(2) 验证方程有周期解,方程组(1)有周期解,相轨线(2)是一族封闭曲线,x,y,0,x0,x1,x,需证明：对每一条轨线，存在 x0 x1，使：,1) x0 xx1时,方程(2)有两个相异根；,2) x =x0 或 x=x1时, 方程仅有一个单根；,3) 时, 方程(2)无根。,3) 对方程周期解的分析

28、,(1) 相轨线的形状,设方程的周期解为: x=x(t), y=y(t), t0, 则对任意给定的t00，存在t10，使,x(t0)=x(t1), y(t0)=y(t1) 。,方程(1)的相轨线是一族包含平衡点A( )的封闭曲线。,(2) 平衡点A的实际意义,记 T=t1-t0 ，称T 周期，将原方程,中的第二个方程改写为,两边从t0 到 t1 积分，得,结论：食用鱼和食肉鱼的平衡量恰为它们的数量在一个周期内的平均值。,P,该区域两类鱼的初始数量分别为x0和y0，轨线的出发点为P(x0,y0)，箭头表明了轨线的运动方向。,4) DA ncona现象的解释,为考察捕鱼业对两种鱼类的影响，引入捕捞

29、能力系数，将方程(1)改写为,方程(3)的平衡点为A( )，由于捕捞能力系数的引进，食用鱼的平均量增大，而食肉鱼的平均量则减少了。,Volterra原理：为了减少强者，只需捕获弱者。,欧几里德在不加证明而直接采用基本概念和公理的基础上，运用逻辑推理方法得出了一系列定理、推论, 从而建立了完整的欧几理德几何学，这一辉煌的成果至今仍然是人类宝贵财富。,逻辑推理建模方法是一种重要的建模方法,一、合作对策模型,从事某一项活动若能多方合作，往往可以获得更大的总收益(或受到更小的损失)。合作中应该如何分配收益(或分摊损失),?,5.3 逻辑方法建模,合作对策模型基本思想：采用公理化方法，从问题应当具有的基

30、本属性出发，运用逻辑推理方法导出满足这些基本属性的解。,例5.3.1 有三个位于一条河流同一侧的城镇，三城镇的污水必须经过处理才能排入河中，三方商议共建一座污水处理厂。,城1,城2,城3,20公里,38公里,污水厂筹建处,问题： (1) 三个城镇怎样 建厂可使总开支最少？ (2) 每一个城镇的费用各分摊多少？,分析：有五种方案可供选择,条件：建设污水处理厂的费用有公式：,管道费用：,(1) 三城各建一个处理厂；,(2) 城1与城2合建一个厂， 城3单独建一个；,(3) 城2与城3合建一个厂，城1单独建一个；,(4) 城1与城3合建一个厂，城2单独建一个；,(5) 三城合作建一个处理厂；,Q污水

31、排放量L管道长度(公里),三个城镇的污水排放量分别为,Q1=5米3/秒，Q2=3米3/秒，Q3=5米3/秒。,对各个方案进行费用测算，得,方案(5)：三个城市合作建厂总投资最少。,问题：三个城市如何分摊费用？,经商讨定下几条原则：,1. 建厂费用按3个城市的污水量之比5:3:5分摊；,2. 城2到城3的管道费按5:3由城1和城2分摊；,3. 城1到城2的费用由城1自行解决.,思考：他们的原则是否有道理？,城1市长的“可行性论证”：,1. 建厂总费用为 730(5+3+5)0.712 =4530(万元)，城1负担费用为 45305/131742(万元);,2. 城1至城2的管道费用为 6.650

32、.5120300(万元)；,3. 城2至城3的管道费用为 6.6(5+3)0.5138724(万元) 城1负担 7245/8=425.5(万元);,城1总共负担：1742+300+425.5=2467(元).,市长的结论：不能接受这样的合作！,n人合作对策模型,Shapley定理：满足公理14 的(V)存在并且唯一，由下式给出：,Ti 是I中包含i的一切子集构成的集族, 表示集合S中的元素个数。,续例1 ：计算城市1应承担的费用,T1=1, 1,2, 1,3, 1,2,3。,根据公式(1),从而城市1应承担投资额为：2300197=2103(万元)。,= 67+130=197(万元)，,二、信

33、息模型,例5.3.2 调整气象观察站问题,某地区内有12个气象观察站(位置如图)，有10年各观察站的年降水量数据。为了节省开支。想要适当减少气象站。,问题：减少哪些观察站可以使得到的降水量的信息量仍然足够大？,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,问题：怎样比较信息的大小？ 信息的多少能不能度量？,降水量的信息量仍然足够大？,1. 信息量认识问题的过程：,对一个问题毫无了解时，对它的认识是不确定的。在了解过程中，通过获得信息，逐渐消除了不确定性.获得的信息越多，消除的不确定性就越大。,用消除不确定性的多少来度量信息量,例1：到影院寻找一个人，已问到： (1) 甲告诉两条

34、消息：他不坐在前十排，他也不坐在后十排； (2) 乙告诉一条消息：他坐在第十五排。,问题：甲、乙谁提供的消息信息量更大？,答案：乙的消息总信息量更大 ，因其不确定性消除得更多。,例2. 若在盛夏预报“明日无雪”，这条消息的信息量为零，因根本不存在不确定性。,美国贝尔实验室的学者香龙(Shannon)应用概率知识和逻辑方法推出了信息量的计算公式。,他提出信息度量应满足的公理：,公理1 信息量是该事件发生概率的连续函数；,公理2 如果A B，则A发生的信息量B发生的信息量；,公理3 若A与B相互独立，则A与B同时发生的信息量应为单独获知两事件发生的信息量之和；,公理4 任何信息的信息量都是有限的。

35、,将事件A 发生的信息记为M，概率记为p，记信息的信息量为I(M),定理：满足公理14的信息量函数必为 I(M)=C loga p (1),其中C 是任意正整数，对数的底a可取不为1的正实数。,注,取a=2，C=1，信息量的单位称为比特,取a=10，C=1， 信息量的单位称为迪吉特,例3. 某剧院有1280个座位，32排，每排40座。现从中找出某人，求以下信息的信息量。,1) A：他在第十排；,2) B：他在第15座 ；,3) C：他在第十排第15座。,解： 在未知任何信息的条件下，认为他坐在各排 的概率是均等的，坐在各座位的概率也相等。,有：I(MC)=I(MA) I(MB)。,满足公理3：

36、对完全独立的几条信息，其总信息量等于各条信息的信息量总和。,2. 平均信息量(熵),定义：一随机试验有N个可能结果， 出现的概率分别为p1, p2, ,pN，出现第i 组结果的信息量为-log2pi，该试验的不确定性可由这组信息量的平均信息量度量:,称H为熵(或负熵)。,对具有连续分布 p(x) 的随机试验，熵的定义为:,注,1. 此定义与物理中的熵仅相差一个负号；,熵度量试验的不确定程度，熵越大试验的不确定程度越大。,例4有三名射手的射击情况如下：,其中A 表示射击命中目标。哪一个射手的射击情况最不确定？,解：需求三个射击试验的熵,其中, 取a=10，甲的熵值最大，乙的最小。,结论,？,例5

37、. 若随机试验的随机变量XN(0,2)， 求试验的熵值。,解：X 的概率密度为,思考： 分析熵与随机变量方差的关系,重要结论:,1)若试验仅有有限种结果：S1, S2,Sn，其发生的概率分别为p1, p2, , pn，当 p1= p2= =pn=1/n，试验具有最大熵.,2) 若试验是连续型随机试验，其概率密度P(x) 在 a, b以外均为零， 则均匀分布具有最大熵。,3) 对于一般连续型随机试验, 在方差一定的前提下, 正态分布具有最大熵。,定理：(最大熵原理)受到相互独立且均匀而小的随机因素影响的系统，其状态的概率分布将使系统的熵最大。,问题：怎样将熵用于解决气象观察站调整问题？,调整气象

38、观察站问题评讲,某地区内有12个气象观察站(位置如图)，有10年各观察站的年降水量数据。为了节省开支，想要适当减少气象站。,问题：减少哪些观察站可以使得到的降水量的信息量仍然足够大？,如何利用熵的概念解决此问题，给出解决问题的思路。,一、问题分析,首先找出问题中的关键词，进行联想。,减少 站数,删除原则,保持 信息量,各站关系,降水数据,足够大,衡量指标,衡量指标,熵,降水数据,二. 问题的分解,初态：12个气象站的年降水数据。,(无日或月的降水数据，也无地理、气候等其它条件。),目标态：减少气象站数，并保持降水量足够大的信息量。,过程：(将做的事情),(1) 信息量的衡量（用熵）；,(2)

39、给出删除气象站的条件及原则；,(3) 建立保持足够信息量的判别条件；,解决问题的惟一出发点,三、解决问题的思路,(1) 确定各气象站的年降水量：,的概率分布，并计算各个气象站降水量的熵值。,随机变量,(2) 分析判断各站年降水量(两两之间或多个变量间)是否存在相关关系(线性的或非线性的)，并据此保留其中熵值较大的气象站.,另一种方法：用聚类分析法进行聚类。,(可由降水数据分析各个气象站的相似性，如同为干旱、湿润地区等。),统计检验,仍保留降水量的信息量较大的站。,1) 设定一个阈值，保留所有熵值大于阈值的气象站;,2) 使保留气象站的信息量总和占原信息量总和的一定比例。,可考虑各种判别条件，如 ：,(3) 建立保持足够信息量的判别条件,注：阈值或比例值均需背景知识和经验来确定。,