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1、6.2 一阶微分方程一、可分离变量的微分方程二、 一阶线性微分方程三、伯努利(Bernoulli)方程,6.2 一阶微分方程,一、可分离变量的微分方程,形如,的微分方程叫可分离变量,的微分方程。,这类方程的解法是：首先把原方程改写成,即把变量,和,分离开来，然后两边积分,即可得到原方程的通解,一、可分离变量的微分方程形如的微分方程叫可分离变量的微分方程,例1 求解微分方程,两端积分,例1 求解微分方程解分离变量两端积分,例2,求微分方程,满足初始条件,的特解,解 原方程可化为,两边积分得,例2 求微分方程 满足初始条件 的特解 解 原方程可,齐次微分方程,形如,的方程称为齐次微分方程,解这类方
2、程，可先进行变量代换，令,即,，将,两边对,求导数，,有,代入微分方程得,分离变量后,两边积分,求出积分后，再用,代替,便得到原齐次方程通解,齐次微分方程 形如的方程称为齐次微分方程解这类方程，可先进,例3 求微分方程,的通解,解 这是一个齐次微分方程，令,得,即,分离变量，得,两边积分，得,例3 求微分方程 的通解 解 这是一个齐次微分方程，令 得,例4 求微分方程 的特解,把初始条件,代入上式，得,于是齐次方程的特解为,例4 求微分方程,例5 求解方程,解 令,则,代入原方程得,故原方程通解为,例5 求解方程解 令则代入原方程得故原方程通解为,一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的
3、.,上方程称为非齐次的.,二、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐,齐次方程的通解为,1. 线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),齐次方程的通解为1. 线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使,2. 非齐次方程,2. 非齐次方程如果 和 不成比例，非齐次方程 就不是可 分,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,作变换,常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.作变换,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次,
4、解,例1,解例1,例2 求解微分方程,解,例2 求解微分方程 解,例3 若,求,解 利用上限函数的性质，两边求导得：,且,令,例3 若 求 解 利用上限函数的性质，两边求导得： 且 令,伯努利(Bernoulli)方程的标准形式,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,三、伯努利方程,解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.,伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程,大一高数课件一阶线性微分方程07,解,例 3,解例 3,例4 用适当的变量代换解下列微分方程:,解,所求通解为,例4 用适当的变量代换解下列微分方程:解所求通解为,解 原式可化为,分离变量得,所求通解为,解 原式可化为分离变量得所求通解为,解,代入原式,分离变量得,另解,解代入原式分离变量得另解,谢谢观看！2020,谢谢观看！,
