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1、第二章 微分方程与差分方程模型,模型一 利率模型,一、单利模型,设年利率为r,初始资金量为S0,n年后资金量为Sn,n年后的本利和为,二、复利模型,1、离散型复利模型,每年结算一次，n年后的本利和为,每年结算m次，n年后的本利和为,2、连续型复利模型,连续结算（瞬时结算），n年后的本利和为,三、现值模型,1、单利现值模型,若n年后的资金量是Sn,则初期的资金量为,在现值模型中，年利率r也称为折现率,2、复利现值模型,每年折现一次，若n年后的资金是Sn,则初期的资金为,每年折现m次，若n年后的资金量是Sn,则初期的资金量为,连续折现,若n年后的资金量是Sn,则初期的资金量为,模型二 生猪出售问题
2、,饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，估计使当前80千克重的生猪每天增加2公斤。,问题,市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降低 0.1元，问生猪应何时出售。,如果估计和预测有误差，对结果有何影响。,分析,投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大,求 t 使Q(t)最大,10天后出售，可多得利润20元,建模及求解,生猪体重 w=80+rt,出售价格 p=8-gt,销售收入 R=pw,资金投入 C=4t,利润 Q=R-C=pw-C,生猪的增长速度r=2，,若当前出售，利润为808=640（元）,t 天出售,=10,Q(10)=660 640,
3、收购价格降低速度g=0.1,敏感性分析,研究 r,g变化时对模型结果的影响,设g=0.1不变,t 对r 的（相对）敏感度,生猪每天体重增加量r 增加1%，出售时间推迟3%。,敏感性分析,研究 r,g变化时对模型结果的影响,设r=2不变,t 对g的（相对）敏感度,生猪价格每天的降低量g增加1%，出售时间提前3%。,模型三 森林救火问题,森林失火后，要确定派出消防队员的数量。队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用可能更大。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。,问题分析,问题,记队员人数x,失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,时刻t森林烧毁面积B(t).,损失费f
4、1(x)是x的减函数,由烧毁面积B(t2)决定.,救援费f2(x)是x的增函数,由队员人数和救火时间决定.,存在恰当的x，使f1(x),f2(x)之和最小,关键是对B(t)作出合理的简化假设.,问题分析,失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,画出时刻 t 森林烧毁面积B(t)的大致图形,分析B(t)比较困难,转而讨论森林烧毁速度dB/dt.,模型假设,3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1(烧毁单位面积损失费）,1）0tt1,dB/dt 与 t成正比，系数(火势蔓延速度）,2）t1tt2,降为-x(为队员的平均灭火速度）,4）每个队员的单位时间灭火费用c2,一次性费用c3,假设1
5、）的解释,火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径 r与 t 成正比,模型建立,目标函数总费用,模型应用,c1,c2,c3已知,t1可估计,c3,x,结果解释,c1烧毁单位面积损失费,c2每个队员单位时间灭火费,c3每个队员一次性费用,t1开始救火时刻,火势蔓延速度,每个队员平均灭火速度.,可设置一系列数值,由模型决定队员数量x,c1,t1,x,模型四 产品销售问题（扩展）,一、独家耐用产品销售模型,一种耐用新产品进入市场后，一般会经过一个销售量先增加，然后下降的过程，称为产品的生命周期，简记为PLC。PLC曲线可能有若干种情况，其中有一种为钟型，建立数学模型分析此现象。,问题分析,商品
6、信息传播一般有两个途径：消费者外部信息:广告、亲眼看到商品等。消费者内部信息:部分人使用并有所评价,使周围人了解到有关产品信息。,由于是耐用消费品，所以一般不会重复购买，故产品累计销售量可以认为是购买者人数。,建模与求解,设K为潜在的消费者总数。n(t)为t 时刻购买该产品的人数，在 t,t+t 中，n由两部分组成，n1是由来自消费者外部的产品信息导致的购买者增量；n2 是由来自消费者内部传播的产品信息导致的购买者增量。,n1应与未购买者人数成正比，即,n2应与已购买者人数、未购买者人数之积成正比，即,（a，b 0为比例系数）,在 t,t+t 中，n 总数为,所以销售量的数学模型为:,其曲线即
7、为PLC 曲线，它的图形为钟型。,二、两家竞争的销售模型,假设1、两家企业销售同一种商品，而市场容量是 有限的，设t时刻的市场容量为M(t).,2、设N(t)是t时刻市场的潜在销量，分别是甲厂和乙厂的销量。,3、甲、乙两厂销量的变化率都与潜在的市场 销量N(t)成正比。,建立模型,将（1）、（2）两式相除并两端积分：,将上式代入（3），再代入（1），得,不妨假设市场容量函数为,解得,其中 都是常数。,由此可见，甲、乙两厂的销售模型是同一类型。,同理,模型五 最优价格问题,设某电视机厂生产一台电视机的成本为c,每台电视机的销售价格为 p,销售量为 x。假设该厂的生产处于平衡状态，即电视机的生产量
8、等于销售量。根据市场预测,销售量 x与销售价格 p 之间有如下关系：,其中M 为市场最大需求量，a 是价格系数。同时，生产部门根据对生产环节的分析，对每台电视机的生产成本 c 有如下测算：,其中c0 是只生产一台电视机的成本,k 是规模系数。根据上述条件，应该如何确定电视机的销售价格 p,才能使该厂获得最大利润？,分析：在生产和销售商品过程中，商品销售量、生产成本与销售价格 是相互影响的。厂商只有选择合理的销售价格最优价格,才能获得最大利润。,设厂家获得的利润为u,每台电视机的生产成本为c,销售价格为p,销售量为x,则利润函数为 u=(p-c)x(3)问题变化为在条件(1)(2)下求解利润函数的最大值。构造拉格朗日函数,令,由(8)(9)，可得,由(8)(6)，可得,由(7)，可得,由(10)(11)(12)及(5)，可得,最优销售价格为,说明：在最优销售价格p*的表达式中含有待定的规模参数k、价格系数a。为了确定电视机的最优销售价格，必须预先给出这些参数。,
