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1、函数的基本性质专题复习（一）函数的单调性与最值知识梳理一、函数的单调性1、定义：设函数的定义域为，区间 如果对于区间内的任意两个值，当时，都有，那么就说在区间上是 ，称为的 。如果对于区间内的任意两个值，当时，都有，那么就说在区间上是 ，称为的 。2、单调性的简单性质：奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反； 在公共定义域内： 增函数增函数是增函数； 减函数减函数是减函数； 增函数减函数是增函数； 减函数增函数是减函数。3、判断函数单调性的方法步骤： 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： 任取x1，x2D，且x1x2； 作差f(x1)f(x2
2、)； 变形（通常是因式分解和配方）； 定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）； 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。热点考点题型探析考点1 判断函数的单调性【例】试用函数单调性的定义判断函数在区间（1，+）上的单调性.【巩固练习】证明：函数在区间（0，1）上的单调递减.考点2 求函数的单调区间1.指出下列函数的单调区间：（1）； （2）.2. 已知二次函数在区间(，4)上是减函数，求的取值范围.【巩固练习】1函数的减区间是（ ）. A . B. C. D. 2在区间（0，2）上是增函数的是（ ）. A. y=x+1 B. y= C. y= x24x5 D. y=3. 已知
3、函数f (x)在上单调递减，在单调递增，那么f (1)，f (1)，f ()之间的大小关系为 .4.已知函数是定义在上的增函数,且,求的取值范围.5. 已知二次函数在区间(，2)上具有单调性，求的取值范围.二、函数的最大（小）值：1、定义：设函数的定义域为如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的 ；如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的 。2、利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法： 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； 利用图象求函数的最大（小）值； 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递
4、减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；考点3 函数的最值【例】求函数的最大值和最小值：【巩固练习】1函数在区间 上是减函数，则y的最小值是_.2. 的最大（小）值情况为（ ）. A. 有最大值，但无最小值 B. 有最小值，有最大值1 C. 有最小值1，有最大值 D. 无最大值，也无最小值4. 已知函数在区间上有最大值3,最小值2,求的取值范围.3. 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知
5、这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润. (二)函数的奇偶性知识梳理函数的奇偶性1、定义： 对于函数的定义域内任意一个，都有或，则称为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。 对于函数的定义域内任意一个，都有或，则称为偶函数. 偶函数的图象关于轴对称。2、函数奇偶性的性质： 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称； 设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇奇=奇，偶偶=偶，奇偶=非奇非偶，奇奇=偶，奇奇=偶，偶偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇，奇
6、偶=奇非零常数奇=奇，非零常数偶=偶。3、利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 确定f(x)与f(x)的关系； 作出相应结论：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是奇函数。热点考点题型探析考点1 判断函数的奇偶性【例】判断下列函数的奇偶性：（1）； （2）；（3）.考点2 函数的奇偶性综合应用【例1】已知是奇函数，是偶函数，且，求、.【例2】已知是偶函数，时，求时的解析式.【例3】设函数是定义在R上的奇函数，且在区间上是减函数。试判断函数
7、在区间上的单调性，并给予证明。【巩固练习】1函数 (|x|3)的奇偶性是（ ）. A奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数2.若奇函数在3, 7上是增函数，且最小值是1，则它在上是（ ）. A. 增函数且最小值是1 B. 增函数且最大值是1 C. 减函数且最大值是1 D. 减函数且最小值是13.若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A；B； C；D4. 设是上的奇函数，当时，则为 5已知，则 .6.已知函数是R上的奇函数，当时，。求函数的解析式。课后练习一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题
8、5分，共50分）。1下面说法正确的选项（ ）A函数的单调区间可以是函数的定义域B函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D关于原点对称的图象一定是奇函数的图象2在区间上为增函数的是（ ）AB CD3函数是单调函数时，的取值范围（ ） A B C D 4如果偶函数在具有最大值，那么该函数在有（ ） A最大值 B最小值 C 没有最大值 D 没有最小值5函数，是（ ） A偶函数 B奇函数 C不具有奇偶函数 D与有关6函数在和都是增函数，若，且那么（ ） A B C D无法确定 7函数在区间是增函数，则的递增区间是（ ） A B C D8函数在实数集上是增函数
9、，则 （ ） A B C D 9定义在R上的偶函数，满足，且在区间上为递增，则（ ） A B C D10已知在实数集上是减函数，若，则下列正确的是（ ） A B C D二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）.11函数在R上为奇函数，且，则当， .12函数，单调递减区间为 ，最大值和最小值的情况为 .13定义在R上的函数（已知）可用的=和来表示，且为奇函数， 为偶函数，则= .14构造一个满足下面三个条件的函数实例，函数在上递减；函数具有奇偶性；函数有最小值为； .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分).15（12分）已知，求函数得单调递减区间.16（12分）判断下列函数的奇偶性；17（12分）已知，求.18（12分）函数在区间上都有意义，且在此区间上为增函数，；为减函数，.判断在的单调性，并给出证明.19（14分）在经济学中，函数的边际函数为，定义为，某公司每月最多生产100台报警系统装置。生产台的收入函数为（单位元），其成本函数为（单位元），利润的等于收入与成本之差。求出利润函数及其边际利润函数；求出的利润函数及其边际利润函数是否具有相同的最大值；你认为本题中边际利润函数最大值的实际意义。20（14分）已知函数，且，试问，是否存在实数，使得在上为减函数，并且在上为增函数.
