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1、数列综合问题之数列与函数思想方法：关键是应用函数的解析式和性质得到数列的通项或递推关系。一、利用具体函数的解析式得递推关系例1：已知函数中，（1） 求函数的解析式；（2）各项均不为零的数列满足：，求通项？（3）在条件（2）下，令，求数列的前项和？分析：由题知：，所以，所以可求得：例3：函数；（1）求的反函数；（2）数列满足：，且，求数列的通项公式；（3）在条件（2）下，令，求数列的前项和？分析：（1）由题知：；（2）（3）例4、设函数 ，(1) 证明：对一切，f(x)+f(1-x)是常数；(2)记，求,并求出数列an的前n项和。解：， =2= = Sn=二、利用抽象函数的性质得递推关系：例1：
2、是上不恒为零的函数，且对任意都有：，（1） 求与的值；（2）判断的奇偶性；（3）若，求数列的前项和？简析：（1）；（2），再令，所以为奇函数；（2） 当时，令函数，所以有：，所以有：，得；又因为：，所以：，。例2、已知函数具有下列性质： （1）当n一定，记求的表达式 （2）对解：（1） 即又，即，由n为定值，则数列是以为首项，为公比的等比数列，由于 （2），欲证，只需证明，只需证明例3：已知函数是定义在上的函数，且满足。设，且有：；（1）求证：；（2）若对于任意的恒成立，求的取值范围。解：（1）由于，所以有，也有：由：，得，令，也即有：，由错位相减得出：（2）由，所以：，又因为，所以是等比数列
3、，有，又，所以有了：，设有：所以是单调递减的。也当时，取得最大值，由题有：。练习：已知函数f(x)定义在区间（-1，1）上，,且当x,y(-1,1)时，恒有 ,又数列an满足,设（）证明：f(x)在（-1，1）上为奇函数；（）求f(an)的表达式；（）是否存在自然数m，使得对任意nN,都有成立，若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由讲解（）紧扣奇函数的定义，选择特殊值令x=y=0，则f(0)=0，再令x=0,得f(0)-f(y)=f(-y),所以f(-y)=-f(y),y(-1,1),故f(x)在（-1，1）上为奇函数（），即，f(an)是以-1为首项，2为公比的等比数列，从而有f(an)=-2n-1. （）先求的表达式，得，若恒成立（nN+）,则，即nN+，当n=1时，有最大值4，故m4又mN,存在m=5，使得对任意nN+，都有成立.评注递推数列是高考的热点题型，而本题将函数、数列、不等式融为一体，其综合度比较大，覆盖的知识点比较多，当中的恒成立又是高考的热门话题，还请读者多多总结该题型的解法技巧由函数与数列综合是高考试题的一个亮点。
