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1、初中阶段数学思想方法汇编一、数形结合思想“数”和“形”是数学教学中既有区别又有联系的两个对象。数形结合思想是将抽象的数量关系与直观的图形结合起来，通过“形”来直观地表达“数”，或是通过“数”来精确地确定“形”。在数学教学中，最突出的为数形结合思想，将抽象的数量关系形象化，具有直观性强、易理解、易接受；将直观图形数量化，转化成数学运算，常会降低难度，并对知识的理解更加深刻明了，有利于学生从不同的侧面加深对问题的认识和理解，提供解决问题的方法，也有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。 0能运用代数、三角比知识通过数量关系的讨论去处理几何图形的问题；能运用几何、三角比知识通过对图形性质的研究
2、去解决数量关系的问题。能将抽象的数学语言与直观的图形符号结合起来，把抽象思维与形象思维结合起来；会用代数的方法去研究几何问题，会根据图形的性质及几何知识去处理代数问题。已知二次函数的图象如图所示，则如果关于x的方程有且只有一个大于1的实数根，求m的取值范围。二次函数如图（1）试确定c的符号及a、b、的符号（2）试确定a+b+c、a-b+c的符号二、转化（化归）思想“转化”的思想是一种最基本的数学思想。数学解题过程的实质就是转化过程，具体的说，就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“抽象”转化为“具体”，把“复杂问题”转化为“简单问题”，把“高次”转化为“低次”，在不断的
3、相互转化中使问题得到解决。可运用联想类比实现转化、利用“换元”、“添线”、消元法，配方法，进行构造变形实现转化、数形结合，实现转化。一般转化为特殊，有些代数问题，通过构造图形，化抽象为具体，借助直观启发思维，转化为易解的几何问题。有些不易解决的几何题通过辅助线转化为代数三角的知识来证明，有些结构比较复杂的问题，可以简化题中某一条件，甚至暂时撇开不顾，先考虑一个简化的问题，这种简化题对于证明原题常常能起到引路的作用。把实际问题转化为数学问题。结合解题进行化归思想方法的训练的做法：a、化繁为简；b、化高维为低维；c、化抽象为具体；d、化非规范性问题为规范性问题；e、化数为形；f、化实际问题为数学问
4、题；g、化综合为单一；h、化一般为特殊，有加减法的转化，乘除法的转化，乘方与开方的转化，添辅助线，设辅助元等等都是实现转化的具体手段。因此，首先要认识到常用的很多数学方法实质就是转化的方法数轴上的点与实数的一一对应的关系。平面上的点与有序实数对的一一对应的关系。函数式与图像之间的关系。线段（角）的和、差、倍、分等问题，充分利用数来反映形。解三角形，求角度和边长，引入了三角函数，这是用代数方法解决何问题。“圆”这一章中，贺的定义，点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系等都是化为数量关系来处理的。统计初步中统计的第二种方法是绘制统计图表，用这些图表的反映数据的分情况，发展趋势等。实际上就是通过“形”来
5、反映数据扮布情况，发展趋势等。实际上就是通过“形”来反映数的特征，这是数形结合思想在实际中的直接应用。若ab0，则下列结论中正确的是（）（A）abababab（B）abababab（C）abababab（D）abababab已知O是ABC的内心，ODBC于D，且ABAC2BDDC。求证：A90。解方程：已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半袖上的两点，点A在点B的左侧，如图。二次函数的图象经过点A、B，与y轴相交于点C。(1)a、c的符号之间有何关系?(2)如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证a、c互为倒数；(3)在(2)的条件下，如果b=4，AB=求a、c的
6、值。三、分类讨论思想分类讨论思想是指对一个问题出现的情况进行全面分析思考，将其区分为不同种类，克服思维的片面性，防止漏解。即根据题目的要求，将条件分为不重复、不遗漏的几种情况，并逐一列出它们的解答。从整体上看，中学数学分代数、几何两大类，然后采用不同方法进行研究，就是分类思想的体现，从具体内容上看，初中数学中实数的分类、三角形的分类、方程的分类等等，学生要按不同的情况去对同一对象进行分类，掌握好分类的方法原则，形成分类的思想。当面临的问题不宜用一种方法处理或同一种形式叙述时，就把问题按照一定的原则或标准分为若干类，然后逐类进行讨论，再把这几类的结论汇总，得出问题的答案，这种解决问题的思想方法就
7、是分类讨论的思想方法。分类讨论的思想方法的实质是把问题“分而治之，各个击破”。其一般规则及步骤是：（1）确定同一分类标准；（2）恰当地对全体对象进行分类，按照标准对分类做到“既不重复又不遗漏”；（3）逐类讨论，按一定的层次讨论，逐级进行；（4）综合概括小节，归纳得出结论。1解关于x的方程2已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0。（1） 求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；（2） 若等腰ABC的一边长a=1,另两边长b, c恰好是这个方程的两个根，求ABC的周长。3已知AB为O的直径，D为直径AB上一动点（D不与点A, B重合），过D作CDAB交O于C，过C作O的切线PC，交O的切线A
8、M于P，连PB交CD于E。（1） 请根据D点的不同位置画出符合题意的图形；（2） 猜想CE与DE的数量关系，并就D点的某一位置证明你的结论；如果O的半径为1，设点D与圆心O的距离为m，试求PC的长（可用m的代数式表示）。四、方程思想分析问题中的数量关系,寻找已知量与未知量之间的相等关系。通过适当设元, 利用已知条件、公式、定理中的已知结论来构造方程（组）,从而解决问题的一种思维方式。方程思想是把问题中的量划分为已知量和未知量，并把这些量用字母表示（习惯上用x表示未知量），将问题中的条件，量与量的关系列为方程或不等式，通过解方程或不等式，或利用方程的性质，不等式的性质使问题得以解决。1、牧场的青
9、草,每天都生长一样快,牧场的全部青草可以供给10头牛吃20天,供给15头牛吃10天,那么供给25头牛可以吃几天?2、四边形ABCD对角线相交于O点,且ABC、BCD、CDA、DAB的面积分别为5、9、10、6,求OAB、OBC、OCD及ODA的面积.五、整体思想整体思想注重问题的整体结构，将题中的某些元素或组合看成一个整体，从而化繁为简，化难为易。把问题放到整体结构中去考虑， 就可以开拓解题思路，优化解题过程。从整体观点出发，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题思想方法。化简：1/（a+2）（a+3）+1/（a+3）（a+4）+/1（a+4）（a+5）时按常
10、规方法进行通分，显然最简公分母比较复杂，计算量较大。若从整体观察分式的特征，可逆用分式加减法法则及规律公式1/n（n+1）=1/n-1/（n+1），将原分式分离变形。即原式=1/（a +2）-1/（a+3）+1/（a+3）-1/（a+4）+1/（a+4）-1/（a+5）=1/（a+2）-1/（a+5）=3/（a+2）（a+5）六、一般到特殊和特殊到一般思想在由几个简单的、个别的、特殊的情况去研究、探索、归纳出一般的规律、性质或公式，再由一般的规律、性质或公式去得出简单的、个别的、特殊的情况。如公式推导、图形性质等。七、消元思想解方程组的基本思想是消元，将多元逐步变为二元、一元方程来解决。八、建
11、模思想实际问题数学模型数学模型的解实际问题的解所谓数学模型，是指用数学语言把实际问题概括地表述出来的一种数学结构，把实际应用题中的等量关系构建在方程组的模式，或其他模式。就是找到一种解决问题的数学方法。数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一种反映。它可以是方程、函数或其他数学式子，也可以是一个几何基本图形。利用数学模型解决问题的一般数学方法就是数学模型方法。它的基本步骤如下图所示：数学中的建模思想是解决数学实际问题用得最多的思想方法之一，初中数学中常用的数学模型有：方程模型，函数模型，几何模型，三角模型，不等式模型和统计模型等等。设计一条隧道，要使高4米，宽4米的巨型载重车辆能单向通过，
12、隧道上的纵断面是如图抛物线状的拱，拱宽是高的4倍，求拱宽可以取得的最小整数值。（单位：米；2.236）yCFADEO xB九、类比思想所谓类比，就是两个对象都有某些相同的属性，并且其中一个对象还有另外的某些属性作为前提，进而判断出另一个对象也有这些属性的思维形式。一些数学问题的解决思路常常是相通的，类比思想可以教会学生由此及彼，灵活应用所学知识。例如正方体有12条棱，怎么算的呢？正方体由6个正方形封闭拼成，每个正方形4条边，共24条边，每两边重叠成一棱， 于是46212（条）。那么小足球上有多少条短缝呢？ 先数清楚小足球由32块小皮缝成，其中黑的是五边 形有12块；白的是六边形有20块。总共有
13、（512620）条边，两条边缝成一条短缝，于是有（5126 20）290（条）短缝。 把实际问题归结为数学问题去解决，类比思想能发挥独特的作用。十、函数思想辩证唯物主义认为，世界上一切事物都是处在运动、变化和发展的过程中，这就要求我们教学中重视函数的思想方法。函数所揭示的是两个变量之间的对应关系，通俗的讲就是一个量的变化引起了另一个量的变化。在数学中总是设法将这种对应关系用解析式表示出来，这样就能充分运用函数的知识、方法来解决有关的问题。虽然函数知识安排在初中后阶段学习，但函数思想已经渗透到七、八年级数学教材的各个内容之中。例如学习进行求代数式的值的时，通过强调解题的第一步“当时”的依据，渗透
14、函数的思想方法字母每取一个值，代数式就有唯一确定的值。函数是将原来问题中的一些量转化为变量和常量，并把这些量用字母（习惯用x 、y）表示，把量与量的关系抽象概括为函数模型，用运动、变化和对应的观点，通过对函数模型的研究利用函数的性质，使问题获得解决。函数是数学最重要的概念之一。它是量的侧面反映着现实世界中运动、变化及相互联系、相互制约的关系。在初中阶段能利用解析式表示正、反比例函数、二次函数。在日常生活中，还存在着函数关系，它们多数是用图像表示的。1把一块边长为20cm的正方形铁皮，四角各截去边长为xcm的小正方形，再将它折成一个无盖盒子。求这个盒子的容积V关于自变量x的函数解析式，并说明x的
15、取值范围。2在RtABCBAC=90,AB=AC=2,点D在BC上运动（不能到达B、C），过D作ADE= 45，DE交AC于E。设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量取值范围。问当ADE为等腰三角形时，求AE的长。十一、统计思想（如用样本估计总体的思想）用样本估计总体是统计的基本思想，要通过抽样调查，初步感受抽样的必要性，并建立用样本估计总体的思想。十二、分解组合思想能把在内容和形式上，和教材上的公式、定理所需要具备的条件不完全一样的数学问题，通过对问题的分解、拆割，或者合成、拼补等手段，将问题转化为符合公式、定理所要求的形式，并运用公式、定理来加以解决。1、因式分解： ；
16、2、将两块三角板如图放置，其中求重叠部分的面积。十三、图形运动思想初中图形运动包含平移、翻折和旋转，能通过实验、操作、观察和想象掌握运动的本质，在图形的运动中找到不变量，然后解决问题。把一张边长为2的正方形纸片ABCD折叠，使B落在AD上（不和A、B重合），MN为折痕，设a。求：（1）折起部分面积；（2）折痕MN的长。（用a的代数式表示）十四、用字母表示数会用字母表示数，进行式的运算和讨论一些数学问题。如会列方程解应用题，会用换元法，利用整体思想达到化简解题过程或解决问题的目的等。用字母表示数的思想是数学转化思想的具体体现。在代数第一册第一章“代数初步知识”中，主要体现了这种思想。例如：设甲数为a，乙数为b，用代数式表示：（1）甲乙两数的和的2倍：2（a+b）(2)甲数的1/3与乙数的1/2差：1/3a-1/2bA、一件工作，甲做a天能完成，乙做b天能完成，现在甲先做了c天（ca），余下的工作由乙继续完成，乙需做几天可以完成全部工作？B、已知x=求的值。十五、换元思想所谓换元思想，就是一个数学式子可其中的一部分看作一个整体，用一个中间变量去代换，从而达到简化式子的目的。
