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1、3.三角函数的有关计算,九年级数学(下)第一章 直角三角形的边角关系,1.,准确计算,2.cos230cos260tan45,1.在直角三角形中，我们把两个锐角、三条边称为直角三 角形的五个元素.图中A，B，a，b，c即为直角三角形 的五个元素.2.解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，叫做解直角三角形,什么是解直角三角形,练一练,1.在Rt ABC中，C90，已知a，A的值，则c的值为 A.atanA B.asinA C.D.（）2.在Rt ABC中，C90，已知，BC6，则AC，AB.3.在RtABC中，C90，根据下列条件解直角三角形；(1)A45,a=3;(2)c=
2、8,b=4;,思考：解直角三角形时，必须已知几个元素，才能求得其余元素呢？,D,8,10,一个直角三角形中，若已知五个元素中的两个元素（其中必须有一个元素是边），则这样的直角三角形可解.,利用解直角三角形的知识解决实际问题 的一般步骤:,1.将实际问题抽象为数学问题;,(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题),2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等 去解直角三角形;,3.得到数学问题的答案;,4.得到实际问题的答案.,2009中考题2如图，市政府准备修建一座高AB6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角ACB的正弦值为，则坡面AC的长度为 m,2008中考题1如图所示，某河堤的
3、横断面是梯形ABCD，BCAD，迎水坡AB长13米，且tanBAE，则河堤的高BE为 米,指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角.如图：点A在O的北偏东30点B在点O的南偏西45（西南方向）,方位角,介绍:,问题：海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？,B,A,D,F,12,重点例题,问题：海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60方向上，航
4、行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东45方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？,B,A,D,F,12,重点例题,问题：海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东45方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？,B,A,D,F,12,重点例题,仰角和俯角,铅直线,水平线,视线,视线,仰角,俯角,在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.,介绍:,巩固练习,建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m
5、的D处观察旗杆顶部A的仰角为60,观察底部B的仰角为45,求旗杆的高度.,40,在山脚C处测得山顶A的仰角为45问题如下:沿着水平地面向前300米到达D点在D点测得山顶A的仰角为600,求山高AB.,D,巩固练习,猜一猜,这座古塔有多高,你能运用所学的数学知识测出这座古塔的高吗?,学以致用,A,B,小明在A处仰望塔顶,测得仰角的大小为30,再往塔的方向前进50m到B处,又测得仰角的大小为45,根据这些条件求塔的高度.,学以致用,小明在A处仰望塔顶,测得顶点B仰角的大小为60,又测得底端C的仰角的大小为45,已量得DC=21米。根据这些条件求塔的高度.,D,小明在A处仰望塔顶,测得顶点B仰角的大
6、小为60,又测得底端C的仰角的大小为45,已量得BC=30米。根据这些条件求DC.,D,如图,大楼高30m,远处有一塔BC,某人在楼底A处测得塔顶的仰角为600,爬到楼顶D处测得塔顶的仰角为300,求塔高BC及大楼与塔之间的距离AC.,想一想 P21,古塔究竟有多高?,学以致用,某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的45减至30,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?,楼梯加长了多少?,1.在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念(仰角,俯角;方位角等)2.实际问题向数学模型的转化(解直角三角形),知识小结,问题:如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯
7、塔B在观察站A北偏西450的方向，灯塔C在B正东方向，且相距10海里，灯塔C与观察站A相距 10 海里，请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？,学以致用,1,2,10,10,F,在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 求其余未知元素的过程叫解直角三角形.,1.解直角三角形,(1)三边之间的关系:,a2b2c2（勾股定理）；,2.解直角三角形的依据,(2)两锐角之间的关系:,A B 90；,(3)边角之间的关系:,知识回顾,(必有一边),已知斜边求直边，,已知直边求直边，,已知两边求一边，,已知两边求一角，,已知直边求斜边，,计算方法要选择，,正弦余弦很方便；,运用正切理当然；,函数关系要选好；
8、,勾股定理最方便；,用除还需正余弦；,能用乘法不用除.,优选关系式,a,b,c,如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔B在观察站A北偏西450的方向，灯塔C在B正东方向，且相距10海里，灯塔C与观察站A相距10 海里，请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？,解：过点C作CD AB,垂足为D,10,5,10,F,灯塔B在观察站A北偏西45的方向,B=45,sinB=,CD=,BCsinB=,10sin45=,10=,在RtDAC中，sin DAC=,DAC=30,CAF=,BAF-DAC=,45-30=15,45,45,灯塔C处在观察站A的北偏西15的方向,如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔
9、B在观察站A北偏西450的方向，灯塔C在B正东方向，且相距10海里，灯塔C与观察站A相距10 海里，请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？,解：过点A作AEBC，垂足为E,10,10,设CE=x,在RtBAE中，BAE=45AE=BE=10+x,在RtCAE中，AE2+CE2=AC2,x2+(10+x)2=(10)2,即：x2+10 x-50=0,(舍去),灯塔C处在观察站A的北偏西15 的方向,sin CAE=,CAE15,45,再见,要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角一般要满足50 75.现有一个长6m的梯子.问:,(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的平房?
10、(精确到0.1m),这个问题归结为:在RtABC中,已知A=75,斜边AB=6,求BC的长,角越大,攀上的高度就越高.,你能解决吗?,要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角一般要满足50 75.现有一个长6m的梯子.问:,(2)当梯子底端距离墙面2.4m时,梯子与地面所成的角等于多少(精确到1)?这时人能否安全使用这个梯子?,这个问题归结为:在RtABC中,已知AC=2.4m,斜边AB=6,求锐角的度数?,你能解决吗?,角是否在50 75内,例1.如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆21米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a30，求电线杆AB
11、的高.,1.20,21,知识应用,例1.如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆21米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a30，求电线杆AB的高,1.20,21,30,知识应用,E,例2:热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30,看这栋高楼底部的俯角为60,热气球与高楼的水平距离为120m,这栋高楼有多高?,=30,=60,120,A,B,C,D,巩固练习,建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为60,观察底部B的仰角为45,求旗杆的高度.,40,例3.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东45方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南
12、方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？,45,30,P,B,C,A,1.在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念(仰角,俯角;方位角等)2.实际问题向数学模型的转化(解直角三角形),知识小结,问题：如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C.景区管委会又开发了风景优美的景点D.经测量景点D位于景点A的北偏东30方向8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75方向上.已知AB=5km.(1)景区管委会准备由景点D向公路a修建一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；(结果精确到0.1km)(2)
13、求景点C与景点D之间的距离.(结果精确到1km),(参考数据：,=1.73，,(参考数据：=1.73,=2.24，sin53=cos37=0.80，sin37=0.60cos53=0.60，tan53=1.33，tan37=0.75，sin38=cos52=0.62，sin52=cos38=0.79，tan38=0.78，tan52=1.28，sin75=0.97，cos75=0.26，tan75=3.73.),解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如在测量高度、距离、角度，确定方案时都常用到解直角三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题，常通过作辅助线构造直角三角形来解.,温馨提示,怎样解决一般三角形中的问题呢？,
