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1、教案：平面向量的数量积第二课时教学目的：1掌握平面向量数量积运算规律；2能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题 教学重点：平面向量数量积及运算规律教学难点：平面向量数量积的应用授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析： 启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质教学过程：一、复习引入：1两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作，则（）叫与的夹角C2平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向
2、量与，它们的夹角是，则数量|cosq叫与的数量积，记作，即有 = |cosq，（）并规定与任何向量的数量积为0 3“投影”的概念：作图 定义：|cosq叫做向量在方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q = 0时投影为 |；当q = 180时投影为 -|4向量的数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影|cosq的乘积5两个向量的数量积的性质：设、为两个非零向量，是与同向的单位向量1 = =|cosq；2 = 03当与同向时， = |；当与反向时， = -| 特别的 = |2或4cosq = ；5| |6判断下列各
3、题正确与否：1若 = ，则对任一向量，有 = 0 ( )2若 ，则对任一非零向量，有 0 ( )3若 ， = 0，则 = ( )4若 = 0，则 、至少有一个为零 ( )5若 ， = ，则 = ( )6若 = ，则 = 当且仅当 时成立 ( )7对任意向量、，有() () ( )8对任意向量，有2 = |2 ( )二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1交换律： = 证：设，夹角为q，则 = |cosq， = |cosq = 2数乘结合律：() =() = ()证：若 0，() =|cosq， () =|cosq，() =|cosq，若 0，() =|cos(p-q) = -|(-cosq) =
4、|cosq，() =|cosq，() =|cos(p-q) = -|(-cosq) =|cosq3分配律：( + ) = c + 在平面内取一点O，作= , = ，=， + （即）在方向上的投影等于、在方向上的投影和， 即 | + | cosq = | cosq1 + | cosq2 | | | + | cosq =| | cosq1 + | | cosq2 ( + ) = + 即：( + )= + 说明：（1）一般地，()（）（2），（3）有如下常用性质：，（）（）()三、讲解范例：例1 已知、都是非零向量，且 + 3与7 - 5垂直， - 4与7 - 2垂直，求与的夹角解：由( + 3)(
5、7 - 5) = 0 72 + 16 -152 = 0 ( - 4)(7 - 2) = 0 72 - 30 + 82 = 0 两式相减：2 = 2代入或得：2 = 2设、的夹角为q，则cosq = q = 60例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和解：如图：ABCD中，=|2=而= |2=|2 + |2 = 2= 例3 四边形ABCD中，且，试问四边形ABCD是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量解：四边形ABCD是矩形，这是因为：一方面：0，（），()（）即由于，同理有由可得，且即四边形ABCD两组对边分别相等四边形ABCD
6、是平行四边形另一方面，由，有（），而由平行四边形ABCD可得，代入上式得(2)即，也即ABBC综上所述，四边形ABCD是矩形评述：(1)在四边形中，是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系四、课堂练习：1下列叙述不正确的是（ ）A向量的数量积满足交换律 B向量的数量积满足分配律C向量的数量积满足结合律 D是一个实数2已知|=6,|=4,与的夹角为，则(+2)(-3)等于（ ）A72 B-72 C36 D-363|=3,|=4,向量+与-的位置关系为（ ）A平行 B垂直 C夹角为 D不
7、平行也不垂直4已知|=3,|=4,且与的夹角为150，则(+) 5已知|=2,|=5,=-3,则|+|=_,|-|= 6设|=3,|=5,且+与垂直，则 参考答案：1C 2B 3B 4 +2 5 6五、小结 通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5个重要性质解决相关问题六、课后作业1已知|=1,|=,且(-)与垂直，则与的夹角是（ ）A60 B30 C135 D2已知|=2,|=1,与之间的夹角为，那么向量-4的模为（）A2 B2 C6 D123已知、是非零向量，则|=|是(+)与(-)垂直的（ ）A充分但不必要条件 B必要但不充分
8、条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4已知向量、的夹角为，|=2,|=1,则|+|-|= 5已知+=2-8,-=-8+16,其中、是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么= 6已知、与、的夹角均为60，且|=1,|=2,| |=3,则(+2-)_7已知|=1,|=,(1)若,求;(2)若、的夹角为，求|+|；(3)若-与垂直，求与的夹角8设、是两个单位向量，其夹角为，求向量=2+与=2-3的夹角9对于两个非零向量、，求使|+t|最小时的t值，并求此时与+t的夹角参考答案：1D 2B 3C 4 5 63 6 117(1)- (2) (3)45 8 120 9 90七、板书设计（略）八、课后记及备用资料：1常用数量积运算公式：在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛即()，（）上述两公式以及()()这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用2应用举例例1 已知，求，解：（）（），（）（）222（3）35，例2 已知8，10，16，求与的夹角(精确到)解：（）（）22，
