数学建模论文碎片化趋势下的奥运会商业模式.doc

《数学建模论文碎片化趋势下的奥运会商业模式.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模论文碎片化趋势下的奥运会商业模式.doc（22页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、西南大学第六届大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了西南大学第六届大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，虽然本次竞赛采取分散自行答卷的机制，但在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写

2、）： C 我们的参赛报名号为（如果设置报名号的话）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 专业： 软件与工程 2. 专业：数学与应用数学 3. 专业：数学与应用数学 日期： 2012 年 4 月 21日竞赛组委会评阅编号（由竞赛组委会评阅前进行编号）：西南大学第六届大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页竞赛组委会评阅编号（由竞赛组委会评阅前进行编号）：评阅记录（可供评阅时使用）：评阅人碎片化趋势下的奥运会商业模式 关 键 词： 网络宣传 信息传播 非线性规划 最优成本摘 要网络宣传作为一种新生的宣传模式，在现代市场竞争中为其他企业提供了一种有力的宣传工具，本文就在题目给出的环境下的宣传及成本问题进

3、行研究，展开讨论、分析和建立数学模型，利用数学软件进行求解。对于问题一：只考虑仅存在一名社交网络的专业推广者在奥运会期间进行企业宣传，假设一个粉丝传播新闻的概率为，建立数学模型，找到网络推广过程中的传播量。用SPSS分析数据求得重复传播的重复传播率和传播的概率，进一步完善数学模型。建立数学模型 利用Matlab画出图像并求解得一条含有该企业广告的奥运会新闻可以被7892600人观看到。对于问题二：基于问题一的假设，用SPSS分析重复率与理论看到的人数的关系，建立传染病模型 利用Matlab画出图像并求解得至少需要雇佣10名专业社交网络推广者才能实现；最终看到新闻的人数是确定的，而宣传者不确定的

4、情况下，采用线性规划的方法建立数学模型，建立成本与宣传者的的目标函数，根据假设针对函数中的自变量进行限制，当成本达到最大值时就是该函数的最优解。建立非线性回归模型 采用外点罚函数法程序，利用Matlab求解并分析得该企业最合理用人方案是雇佣10名专业推广者，不雇佣兼职宣传者。在网络化的时代里，宣传的手段使得更多企业更好的利用奥运会的机会进行宣传，基于该模型能赚取更多的利益，让企业在竞争激烈的经济环境下得到更好的发展。一、问题的重述与分析网络相对而言是一种新兴的蕴含着巨大潜力的宣传营销方式,包括从专业推广者推广信息开始经过好友推广等一系列推广,到最后几乎覆盖全网络。在网络环境下，研究网络宣传的效

5、率以及怎样最有效的利用网络问题，具有着重要的理论和现实意义。对于第一问：仅存在一名专业推广者的情况，相关已知条件有如下表所示： 推广人数/天一个专业推广者500一个粉丝20（1）假设专业推广者的推广是必然的，即专业推广者每天都在推广传播。而粉丝的推广是不确定的，即由于受到各种因素的影响，粉丝可能不会继续进行推广，不妨假设一个粉丝推广、传播含有企业广告的奥运新闻的概率为 ，即粉丝的实际推广为500以及20。建立数学模型，确定传播过程中的总传播量。根据建立的数学模型，求解网络推广过程中的传播量。（2）在（1）的假设下，考虑到每个人会有相同的好友，因此会产生传播的重复，假设在传播过程中重复传播的重复

6、传播率为，运用已有的数学分析软件，从题目给出的数据中分析出的值。进而进一步再完善数学模型，确定该企业的广告在网络上的实际传播量。根据数学模型，求解网络上一条含有该企业广告的奥运会新闻可以被多少人观看到。对于第二问：相关的已知条件如下表所示：推广人数/天工资/天一个专业推广者500500一个兼职宣传者3550根据假设公司的潜在用户量是确定的，为2108人且他们都在使用社交网络，企业希望广告宣传覆盖其中40% 的人群。建立数学模型，研究在仅使用专业推广者的情况下的可行性。并根据建立的数学模型，考虑在含有兼职推广者的情况下的企业最合理的用人方案。二、符号说明表示推广的天数表示t时刻理论上看到新闻的人

7、数表示t时刻重复看到新闻的人数表示t时刻实际看到新闻的人数表示一个粉丝推广、传播含有企业广告的奥运新闻的概率表示在信息传播过程中重复传播的重复传播率表示一个专业推广者每天新增的粉丝人数表示一个普通网络用户每天新增的粉丝人数表示所考察的地区范围的总人口数表示t时刻没有看到新闻的人数占总人数的比例表示t时刻已经看到新闻的人数占总人数的比例表示在t 时刻看到新闻的人每天传播新闻的平均人数表示一名专业推广者的推广人数表示一名兼职宣传者的推广人数表示雇佣专业推广者人数表示雇佣兼职宣传者人数表示节点j 在t，t + t时段内处于未看到信息状态的概率表示节点j 从未看到状态转移到已看到状态的概率表示在t 时

8、刻从具有k 条边的未看到节点连接到一个看到节点的概率表示度为k的节点与度为k的节点邻接的条件概率表示一个拥有k条边的节点在它连接到一个度为k 的未看到节点的条件下，处于看到信息状态的概率表示在t 时刻度为k的看到信息节点的密度三、模型假设1.在信息传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。所考察的地区范围总人口数始终保持一个常数；2.假设在传播过程中传播者不受任何影响，不考虑由于特殊原因网络瘫痪导致无法继续传播的情况；3.专业推广者每天都在推广传播信息；4.粉丝间存在停止传播信息的情况；5.粉丝间存在重复传播信息的情况；6.粉丝间的传播不是集中的，而是离散的。四、模型

9、建立和求解4.1问题一的解决方案及模型4.1.1相应分析 对于信息在网络中的传播，具有复杂网络传播的特性。（1）无标度网络的建立针对所考察的地区范围构造一个无标度网络。首先给出少数孤立的节点 ,每一个时间内增加一个新的节点，并和已经存在的节点按照一定的概率选择k条边相连；选择的概率与节点度成正比，该节点的连接边数越多，则再次被选上的机会就增多。在生成的无标度网络上。节点代表每个人，边代表个体之间的联系，整个网络代表传播关系。具有联系的人之间可以传播信息。设在一个周期，信息成功传播的概率为 。初始化时，随机的假设某个人开始传播，根据其在网络中的位置和关系，其周遍各个体在一个周期内以 概率中成为看

10、到信息的人，则这些看到信息的人又以这一概率向其联系的人传播信息，从而实现信息在整个组织网络中的演化与传播。（2）假设一个节点j在t时刻处于未看到信息状态， 表示节点j在t，t+t时段内处于未看到信息i状态的概率， 表示节点j从未看到状态转移到已看到状态的概率且 其中 （1）式中，g=g(t)表示在t时刻节点j的邻居中看到信息节点的数量.假设节点j含有k条边，g是具有如下二项分布的随机变量: （2）式中， 表示在t时刻从具有k条边的未看到信息节点连接到一个看到信息节点的概率。 可写为如下形式:（3）式中， 为度相关函数，表示度为k的节点与度为k的节点邻接的条件概率;表示一个拥有k条边的节点在它连

11、接到一个度为k的未看到信息节点的条件下，处于看到信息状态的概率;表示在t时刻度为k的看到信息节点的密度.所以，得到度为k的节点在t，t+t时段内处于未看到信息状态的平均转移概率 如下: （4）同理，假设 表示节点 在 时段内从看到信息状态转移到免疫状的概率， 表示节点 保持看到信息状态的概率且于是 ，得到度为 的节点在 时段内处于看到信息状态的平均转移概率 如下:（5） 对数坐标下的度分布随参数变化曲线图像（一）（3）聚类系数一个节点 的聚类系数 反映了它的邻居之间互相连接的程度网络的平均聚系数： （6）反映了通过三边连接三点而成的三角形子图在全网络里的密度，引入三角连接概率p,从而由参数 和

12、 共同控制网络结构的变化和权值的分配。 更深入的研究则要涉及到度为k 的节点的平均聚类系数： （7）在很多情况下,是一个的幂律下降函数,说明度小的节点属于平均聚类系数大的连通社区,反之,度大的节点属于平均聚类系数小的连通社区。对数坐标下平均聚类系数与度的关系随参数变化曲线图像（二）对数坐标下平均聚类系数与度的关系随参数变化曲线图像（三）4.1.2信息传播模型的建立 对于问题一，仅存在一名专业推广者的情况，相关已知条件有如下表所示： 推广人数/天一个专业推广者500一个粉丝20由假设知道，专业推广者的推广是必然的，即专业推广者每天都在推广传播。一个粉丝推广、传播含有企业广告的奥运新闻的概率为 ，

13、即粉丝的实际推广为500 以及20 。问题一的推广关系图如下所示： 再根据前面的模型假设，从复杂网络传播的角度考虑，当不考虑重复传播时，每天实际看到新闻的人数与天数如下表：天数人数123t则建立模型： （8）4.1.3求解并分析模型根据模型：我们利用SPSS软件对附件socialgraph中的数据进行处理，得出理论看到新闻人数、实际看到新闻的人数、重复人数、推广人数和重复率。（理论看到新闻的人数=实际看到新闻的人数+重复看到新闻的人数）如表格（一）：推广人数理论看到新闻人数实际看到新闻的人数重复人数重复率25085694663771931722.5418%5001833531230996025

14、432.8623%7502728401768259601535.1910%100036076222760513315736.9099%125044864627046417818239.7155%150052265230866121399140.9433%175059982635032124950541.5962%200067526138623328902842.8024%225075434242655932778343.4528%250283554246509837044444.3358%由SPSS软件分析的数据知， ，并代入模型中所以模型变为：经过Matlab软件绘制模型图像得一名专业推广者

15、能推广的人数曲线：图像（四）因此由图像可知：当时，从结果中得出，奥运会开始后，一条含有企业广告的奥运会新闻可以被约7892600人观看到。4.2问题二的解决方案及模型4.2.1传染病模型的建立根据假设在传播过程中重复传播的重复传播率为一个专业推广者每天新增的粉丝人数为一个普通网络用户每天新增的粉丝人数为在t 时刻看到新闻的人每天传播新闻的平均人数则有： （9）在t 时刻每个传播者每天可以使 个人看到新闻因为看到新闻的人数为 ，则在t时刻理论看到新闻人数则实际上每天看到新闻的人数为： （10）且有在问题一里面，我们已经分析了附件socialgraph的数据，画出了表格利用表中数据，通过MATLA

16、B，画出并分析相关图像实际看到新闻的人数（横轴）与重复率(纵轴)的关系图图像（五）理论看到新闻的人数（横轴）与重复率(纵轴)的关系图图像（六）重复率（横轴）与理论看到新闻的人数（纵轴）的关系图图像（七）根据图像（五）和（六）画出的图像可以得到：随着实际看到新闻的人数的增加，重复率在逐渐增加，增长速率逐渐减慢。随着理论看到新闻的人数的增加，重复率在逐渐增加，增长速率逐渐减慢。根据图像（七），我们用MATLAB拟合，可以推导出重复率与理论看到新闻的人数的关系为 （11）又因为，所以因次建立模型： （12）对于所建模型进行进一步的分析因为所考察的地区范围的总人数很大，那么专业推广者的人数相对于总人数

17、来说非常小，所以我们可以忽略不计，一个社交网络的专业推广者平均每天可以新增500 个粉丝，普通网络用户平均每天可以新增20 个粉丝。那么我们将 个专业推广者看作25 个粉丝，因此恒为一个常数20，且 则变化上述模型得： （13）4.2.2求解并分析传染病模型根据模型：经过Matlab软件绘制模型图像当专业推广者的人数为9时t（横轴）与(纵轴)的关系图 图像（八）当专业推广者的人数为10时t（横轴）与(纵轴)的关系图图像（九）分析图像当专业推广者的人数为9时，实际看到的人数少于8千万当专业推广者的人数为10时，实际看到的人数达到了8千万因此，得出结论，至少需要雇佣10名专业社交网络推广者才能实现

18、。4.2.3非线性回归模型的建立(1)现在分析仅一名兼职宣传者，第100天时，能让多少人看到新闻相对于问题一，根据模型假设，从复杂网络传播的角度考虑，当不考虑重复传播时，每天实际看到新闻的人数与天数如下表：天数人数123t则建立模型： （14）其中 经过Matlab软件绘制模型图像得一名兼职宣传者能推广的人数曲线绘制出的图像为：图像（十）（2）相关的已知条件如下表所示：推广人数/天工资/天专业推广者500500兼职宣传者3550根据假设表示专业社交网络推广者的人数，表示兼职宣传者的人数由题意知道需要讨论如何调整传播量满足最小覆盖率和最低的雇佣成本。专业推广者每天的工资是500 元，雇佣兼职宣传

19、者，每天仅需要付50 元的工资，自变量的非线性约束条件为： 表示雇佣推广者所用的成本，则目标函数为所以建立非线性规划模型： （15）符号min表示“求最小值”，符号s.t.表示“受约束于”。4.2.4求解并分析非线性回归模型根据约束特点构造 “罚函数”，然后将其加到目标函数中去，将约束最优化问题的求解转化为一系列无约束问题的求解。极小点或者无限地向可行域靠近，或者一直保持在可行集内移动，直到收敛于原来约束最优化问题极小点。外点罚函数法程序流程图如下图示：外点罚函数法程序流程图对于问题构造一个函数为其中 是一个逐渐增大的参数，称为惩罚因子。又称为问题的增广目标函数。显然，增广目标函数是定义在上的

20、一个无约束函数。由增广目标函数的构造知当时 此时的最优解就是问题的最优解：当时，此时就与问题有相同的最优解。当时，迅速变大的原因是通过惩罚因子来实现。在用外点罚函数法求解问题：（1）首先构造增广目标函数。（2）然后按照无约束优化方法求解。（3）如果求出的最优解为，则判断是否属于。如果，则是问题的最优解。如果，则不是问题的最优解，此时说明原来的惩罚因子给的太小了，需要加大惩罚因子，使得，然后再重新计算的最优值。在Matlab中进行规划并求解得到结果： 从结果得出，该企业最合理用人方案是雇佣10名专业推广者，不雇佣兼职宣传者。五、模型的评价及推广5.1模型的评价问题一模型:现在是信息网络时代，在网

21、络上我们可以找到更多有用的数据，数据越多，使得模型的精确度越高。在这个前提下,根据网络数据进一步的验证了该模型的可靠性、真实性，而且所得结论恰好能够与客观事实相吻合，从而进一步说明模型是合理的。 现在的企业在实际宣传实际中，随着科技的发达，网络传播的应用越来越广泛了，但是现在还是以传统的宣传方式为主要宣传方式，在短时间内相比较，网络宣传方式还是比不上传统宣传方式，我们要搜集更多的数据，才能做出更较合理的方案。问题二模型: 我们采用线性规划的模型，线性规划的理论和方法都比较成熟，线性规划对于解决该用人问题既简单又准确，把求解传播量和雇佣成本的多目标问题转化成单目标问题，使得问题简化。运用到实际中

22、去，一些企业不一定满足于40%的覆盖率而是追求更高的覆盖率以及净收入，因此需要我们去查找更多有用的数据来对模型进行完善。5.2模型的推广 随着世界经济的发展，我们已经步入信息化时代，网络宣传的手段是适应全球信息化大潮而产生的，主要是利用网络信息传播这个体系以及复杂网络的相互关系，这样不仅能使那些不能与奥运会合作的企业，开阔了一个新的资源地。不仅能够达到奥运会的宣传效果，而且能够让更多的企业相继加入来合作，就产生了更多的竞争，让企业在竞争激烈的经济环境下得到更好的发展。六、参考文献【1】汪小帆 李翔 陈关荣,复杂网络:理论及其应用,清华大学出版社,2006.4【2】郑汉鼎 刁在筠,数学规划M,

23、山东:山东教育出版社,1997.12【3】J D Murray,Mathematical Modelling in Epidemiology M,Springer,Berlin, 1980【4】姜启源 谢金星 叶俊,数学模型（第三版）,高等教育出版社 2003.2【5】胡婉丽,知识在组织内传播的复杂网络模型:算法及模拟、运筹与管理, 2008 【6】徐雷鸣 庞博 赵耀, ns与网络模拟M,北京: 人民邮电出版社, 2003【7】王天骄 汪小帆,无标度和加权网络的搜索问题研究, 2007【8】马知恩 周义仓 王稳地 靳祯,传染病动力学的数学建模与研究,科学出版社,2004七、附录(1)重复率与理

24、论/实际看到新闻的人数关系图像代码：x=load(C:UsersAdministratorDesktop导入数据重复率.txt);22.5418%32.8623%35.1910%36.9099%39.7155%40.9433%41.5962%42.8024%43.4528%44.3358%y=load(C:UsersAdministratorDesktop导入数据理论看到新闻的人数.txt);85694183353272840360762448646522652599826675261754342835542z=load(C:UsersAdministratorDesktop导入数据实际看到新

25、闻的人数.txt);66377123099176825227605270464308661350321386233426559465098plot(x,y);plot(y,x);plot(z,x);(2)fplot(1/(1-20*0.0512)*t*0.99*500-500*0.99*(20*0.0512)/(1-20*0.0512)*(1-(20*0.0512)t)/(1-20*0.0512),0,100)(3)c=500;50;A=-7892600 -562250;b=-80000000;Aeq=;beq=;vlb=zeros(2,1);vub=;x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)