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1、简介AHP层次分析法By July 20061. 何謂AHP呢? 層次分析法(Analytical Hierarchy Process, 簡稱AHP)是個很有趣又很有用的東西，它提供一個有效的方法去進行複雜的決策，無論在一般生活、商業或學術研究上，都有很精采的應用。例如：l 軟體開發管理之應用- 在微軟的MSDN文件裡，其利用AHP方法來評析與比較3個資訊系統的品質，以決定那一個系統的品質最好。請參閱：Test Run: The Analytic Hierarchy Process - MSDN Magazine, June 2005l 一般生活上之應用- 例如本章所舉的例子，想找一個理想的工
2、作，其所謂理想的評選標準有三：錢多、事少、離家近。那麼就可以利用AHP方法來從多個工作機會中評選出一個比較合乎理想的工作了。l 商業上之應用- 例如全球性運輸公司利用AHP方法評選最佳轉運港口。請參閱：http:/econpapers.repec.org/article/palmarecl/v_3A6_3Ay_3A2004_3Ai_3A1_3Ap_3A70-91.htm 簡而言之，AHP是將複雜的決策情境切分為數個小部份，再將這些部分組織成為一個樹狀的層次結構。然後，對每一個部份的相對重要性給予權數值，然後進行分析出各個部份優先權。對決策者而言，以層次結構去組織有關替代方案(alternati
3、ve)的評選條件或標準(criteria)、權數(weight)和分析(analysis)，非常有助於對事物的了解。此外，AHP可協助捕捉主觀和客觀的評估測度，檢驗評估的一致性，以及團隊所建議的替代方案，減少團隊決策之失誤，如失焦、無計畫、無參予等。AHP將整個問題細分為多個較不重要的評估，但還維持整體的決策。 AHP方法是由Thomas L. Saaty教授所研究發展出來的，其適合多評選標準(Multi-Criteria)的複雜決策。目前市面上有許多軟體工具可用，包括最著名的Expert Choice軟體系統，以及免費網路上AHP軟體或服務，例如： http:/www.di.unipi.it
4、/morge/software/JAHP.html可下載Java版本的AHP系統。2. AHP的分析步驟 AHP分析包含4個步驟：Step-1. 分解(Decomposing)將整個問題分解為多個小問題。例如，整個問題是：想找一個理想的工作。各項工作都有三個屬性(attribute)，因而將理想分為三個評選條件：錢多、事少、離家近。Step-2. 加權(Weighing)賦予三個評選條件的權數，例如：錢多(0.643)、事少(0.283)、離家近(0.074)。其表示主觀上認定錢多比其他兩項重要。如圖12-1所示。從圖中可看出，相對上Job-2對離家近的貢獻度高於Job-1；但是在決策者心目中
5、離家近的相對權數只有0.074而已，意味著決策者並不太在意離家近這項條件。圖1 問題之分解與加權Step-3. 評估(Evaluating)針對Job-1Job-1對錢多的貢獻度為0.2，而錢多對總目標(即理想)的貢獻度為0.643，所以Job-1透過錢多對總目標的貢獻度為：0.2 * 0.643 = 0.129。Job-1對事少的貢獻度為0.875，而事少對總目標(即理想)的貢獻度為0.283，所以Job-1透過事少對總目標的貢獻度為：0.875 * 0.283 = 0.248。Job-1對離家近的貢獻度為0.111，而離家近對總目標(即理想)的貢獻度為0.074，所以Job-1透過離家近對
6、總目標的貢獻度為：0.111 * 0.074 = 0.008。於是可算出Job-1所表現的理想度為：0.129 + 0.248 + 0.008 = 0.385。針對Job-2依據同樣的程序，可算出Job-2的情形：l Job-2透過錢多對總目標的貢獻度為：0.8 * 0.643 = 0.514。 l Job-2透過事少對總目標的貢獻度為：0.125 * 0.283 = 0.035。 l Job-2透過離家近對總目標的貢獻度為：0.889 * 0.074 = 0.066。於是可算出Job-2所表現的理想度為：0.514 + 0.035 + 0.066 = 0.615。Step-4. 選擇(Sel
7、ecting)從上述Step-3分析出：l Job-1的理想度為0.385。l Job-2的理想度為0.615。所以建議：Job-2是較好的選擇。3. 如何得到權數値? - 採成對相比法3.1 成對相比 從上圖12-1裡，可看出錢多、事少、離家近三者的權數比為：0.15 : 0.5 : 0.35。有時候，並不容易得到這個權數值，此時可以兩兩成對相比，會比較簡單。例如，下圖裡只有兩個Job相比，每個人都很容易說出兩個Job的比較值。下圖的三角形偏向Job-2，從其偏移的比例推算出其權數為02: 0.8。 以此類推，從下圖的三個三角形的兩兩比較之偏移比例，可以聯合推算出其權數比Wx : Wy :
8、Wz。 所以，在AHP方法裡，通常都輸入x:y、x:z和y:z之比值，如下： 然後，經由下一小節(12.3.2)所將敘述的計算步驟而演算出Wx、Wy和Wz之權數值，如下： 總而言之，人們經常不容易說出Wx : Wy : Wz三者之間的比値，但是比較容易說出兩兩相比的x:y、y:z和x:z之比値。在AHP方法裡，通常使用下圖裡的刻度表來敘述人們心中的相對權重。 例如，此刻度代表偏好程度，3:1 表示對錢多稍有偏好，也就是說，選擇工作時，錢多一點比較重要，事少並非最主要的考量。於是就填入表格中，如下圖：由於比値為3:1，表示錢多與事少兩者相比，錢多稍為重要一些，但差距並沒有很大。再如下圖： 此圖的
9、比値為5:1，表示對對事少的偏好程度是很有偏好。就填入表格中，如下： 再如下圖： 此圖的比値是7:1，這表示對錢多很有偏好。就填入表格中，如下：這就是兩兩成對相比的矩陣了。待會兒，在下一小節裡，將說明如何從此矩陣而演算出Wx、Wy和Wz之權數值。3.2 從成對比值算出權數値 基於上一小節的矩陣而演算出Wx、Wy和Wz權數值的計算步驟為：Step-1: 計算各行的總和：Step-2: 各個值除以該行的總和： Step-3: 計算各列的平均值： 錢 多: (21/31 + 5/7 + 7/13) / 3 = 0.643 事 少: (7/31 + 5/21 + 5/13) / 3 = 0.283 離
10、家近: (3/31 + 1/21 + 1/13) / 3 = 0.074 這些平均值，通稱為優先向量(Priority Vector)，簡稱PV值： Step-4: 於是計算出Level-1的權數值：Step-5: 開始演算Level-2的錢多權數值： 此圖的比値為1:4，其表示Job-2對錢多的貢獻稍強於Job-1。就填入表格中，如下：依據剛才的Step-1 Step-3，而進行演算：1) 計算各行的總和。 2) 各個值除以該行的總和。 3)計算各列的平均值。於是，計算出權數(即PV值)如下：Step-6: 開始演算Level-2的事少權數值： 此圖的比値為7:1，表示Job-1對事少的貢獻
11、非常強於Job-2。就填入表格中，如下： 依據剛才的Step-1 Step-3，而進行演算：計算各行的總和，並且各個值除以該行的總和，然後計算各列的平均值。於是，計算出PV值如下：Step-7: 開始演算Level-2的離家近權數值： 此圖的比値為1:8，表示Job-2對離家近的相對貢獻強度是介於非常強與極強之間。就填入表格中，如下： 依據剛才的Step-1 Step-3，而進行演算：計算各行的總和，並且各個值除以該行的總和，然後計算各列的平均值。於是，計算出PV值如下：.於是計算出Level-2的權數值：圖2 基於成對相比矩陣而演算出來的權數值(即PV值) 此圖與前面的圖1是一致的。Step
12、-8: 開始進行評估： Job-1對錢多的貢獻度為0.2，而錢多對總目標(即理想)的貢獻度為0.643，所以Job-1透過錢多對總目標的貢獻度為：0.2 * 0.643 = 0.129。Job-1對事少的貢獻度為0.875，而事少對總目標(即理想)的貢獻度為0.283，所以Job-1透過事少對總目標的貢獻度為：0.875 * 0.283 = 0.248。Job-1對離家近的貢獻度為0.111，而離家近對總目標(即理想)的貢獻度為0.074，所以Job-1透過離家近對總目標的貢獻度為：0.111 * 0.074 = 0.008。於是可算出：Job-1所表現的理想度為：0.129 + 0.248
13、+ 0.008 = 0.385。依據同樣的程序，可算出Job-2的情形：l Job-2透過錢多對總目標的貢獻度為：0.8 * 0.643 = 0.514。 l Job-2透過事少對總目標的貢獻度為：0.125 * 0.283 = 0.035。 l Job-2透過離家近對總目標的貢獻度為：0.889 * 0.074 = 0.066。於是可算出：Job-2所表現的理想度為：0.514 + 0.035 + 0.066 = 0.615。 兩者相比，Job-2是較理想的選擇。3.3 成對比值的一致性檢驗 由於成對相比可能會出現自我矛盾的現象而不自知，所以AHP方法也能檢驗出是否有矛盾的現象。例如下圖裡的
14、比値，其中3:1可表示為錢多 事少。而另外5:1，可表示為事少 離家近。依循邏輯，可推理而得：錢多 離家近。再看看7:1，可表示為錢多 離家近，這與上述的推理是一致的，其意味著經過上述程序所計算出來的Wx、Wy和Wz權數値是一致的，並沒有矛盾。 但是有些情況是會出現不一致的矛盾現象(待會兒將舉例說明之)。因之，在計算每一組權數時，也需要檢驗其一致性。其計算步驟如下：Step-1: 基於上一小節的Step-3所計算的總和及PV值，就可逐步計算並檢驗出一致性了。例如上一小節的Step-3所計算的總和及PV值為：Step-2: 計算最大Eigen值，其公式為：各行總和與各列PV相乘之和。於是可算出：
15、max = (1.476 * 0.643) + (4.2 * 0.283) + (13 * 0.074) = 3.097Step-3: 計算一致性指標(Consistency Index)，簡稱CI，其公式為： CI = (max n ) / (n 1)其中的n值就是選擇準則的個數，例如上圖的n值為3。所以可算出：CI = (3.097 3) / (3-1) = 0.048 Step-4: 計算一致性比率(Consistency Ratio)，簡稱CR，其公式為： CR = CI / RI其中的RI代表隨機一致性指標(Random Consistency Index)值，如下表所示：n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 RI 0 0 0.58 0.9 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 例如，上圖的n值為3，經查表可得到CI值為0.58。所以可算出： CR = 0.048 / 0.58 = 0.083Step-5: 判斷一致性：如果CR值小於0.1時，表示具有相當的一致性，所以上述例子是具有一致性的。反之，如果CR值大於0.1時，表示呈現顯著的不一致性。例如，將上述例子更改為： 則計算出來的CR值是：2.639，遠大於0.1，呈現出明顯的不一致性。因為錢多 事少 離家近很明顯與錢多 離家近是互相矛盾的。 - END -
