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1、从椭圆的光学性质产生的联想上海交大附中 倪桓华名师基地交流课，2009年3月12日上午第5节，10届（3）班，理科实验楼514教学目标：1、通过对椭圆光学性质及其几何证明的阅读理解，（1）激发对圆锥曲线的兴趣；（2）获得对椭圆切线的几何特征的认识，得到过椭圆上一点的切线的尺规作法，并进一步得到椭圆的作法；（3）类比椭圆光学性质的几何证法，证明双曲线和抛物线的光学性质。2、在学生阅读理解并作一些延伸思考的基础上，反思并感悟阅读理解的方法以及类比研究的方向。3、激发学生的研究兴趣，可以在课后进一步作拓展研究。教学实施：一、课前预习：1、课本P51阅读材料（印发中文翻译）：椭圆曲线的一个应用2、回答
2、下列问题：（1）物理学中的反射原理是什么？反射原理如何应用于光滑曲面？（2）椭圆具有怎样的光学性质？（3）如何证明椭圆的光学性质？（4）在阅读的过程中，有什么不能理解的地方吗？（5）在上述问题的解决过程中，你能否作一些相关的联想？并对你的联想作必要的说明和证明。请和你周围的同学一起交流研究，既可以分享自己的研究心得，也可以在大家的交流讨论中获得更多的灵感。3、课前收集学生的问题和想法，进行汇总。二、课堂教学过程：我们课前阅读了一篇很美的阅读材料，这篇文章的美体现在简洁、流畅的文笔、精炼到位的表述、漂亮的证明，同时它引领我们从一个新的视角认识圆锥曲线的切线几何视角，为我们认识和解决问题打开了一个
3、新的思路。下面我们在预习的基础上一起感受、分享我们的收获。1、回答课前预习的问题，着重解决：（1）反射原理：在经过光线并垂直于镜面（曲面的切平面）的平面中研究光线的反射问题。图1（2）椭圆光学性质证明的思路和方法光学性质：从椭圆一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线过椭圆的另一个焦点。如图1，直线MN为椭圆的切线， P为切点，F1P为入射光线证明：作F1关于切线MN的对称点R，只需证F2、P、R三点共线。反证法：假设F2、P、R三点不共线，设F2R的连线交切线MN于点Q。则RF2 =RQ+QF2=QF1+ QF2 2a又RF2 RP +PF2 =PF1 + PF2 =2a，产生矛盾，所以F
4、2、P、R三点共线，即反射光线过焦点F2.2、对椭圆切线的认识从方程角度：与椭圆方程联立，得到的一元二次方程的判别式等于零。从几何角度：与椭圆只有一个公共点，即切点（设为P）。切线的几何特征：（1）切线上除切点外的点，到椭圆两个焦点的距离之和大于2a，即2a是切线上的点到椭圆两个焦点的距离之和的最小值；（2）与F1PF2的平分线垂直，即F1PF2的外角平分线；（3）F1关于切线的对称点R在F2P的延长线上，且F2R=2a.以上特征反之亦然，证略。3、基于对椭圆切线的认识，能否得到过椭圆上一点P的切线作法？连结F2P并延长至R，使PR=PF1，连结RF1，作RF1的中垂线，即为过P点的椭圆切线。
5、4、考虑一个更为有趣的问题，已知椭圆的两个焦点和长轴长2a，如何作出椭圆？启发：点P是线段F1R的中垂线与线段F2R的交点作法：以F2为圆心，2a为半径作圆，在圆上任取一点K，作F1K的中垂线，与直线F2K交于点T，则由椭圆定义，T为椭圆上的点，当K在圆上运动时，得到T的轨迹椭圆。5、类比联想：（1-1）猜想并证明双曲线的光学性质：光学性质：从双曲线一个焦点射出的光线，经双曲线反射，其反射光线的延长线过双曲线的另一个焦点。证明：如图4，直线MN为双曲线的切线， P为切点，F1P为入射光线作F1关于切线MN的对称点R，只需证F2、R、P三点共线。反证法：假设F2、R、P三点不共线，设F2R的连线
6、交切线MN于点Q。则RF2 = QF2 -RQ=QF2+ QF1 PF2 - RP =PF2+ PF1 =2a，产生矛盾，所以F2、R、P三点共线，即反射光线过焦点F2. （1-2）对双曲线的切线的认识从方程角度：与双曲线方程联立，得到的一元二次方程的判别式等于零。从几何角度：与双曲线只有一个公共点，即切点（设为P）。切线的几何特征：（1）切线上除切点外的点，到双曲线两个焦点的距离之差的绝对值小于2a，即2a是切线上的点到双曲线两个焦点的距离之差的绝对值的最大值；（2）是F1PF2的平分线；（3）F1关于切线的对称点R在F2P上，且F2R=2a.以上特征反之亦然，证略。（1-3）过双曲线上一点
7、P的切线作法？连结F2P，在F2P上取点R，使PR=PF1，连结RF2，作RF1的中垂线，即为过P点的双曲线切线。（1-4）已知双曲线的两个焦点和实轴长2a，如何作出双曲线？图2作法：以F2为圆心，2a为半径作圆，在圆上任取一点K，作F1K的中垂线，与直线F2K交于点T，则由双曲线定义，T为双曲线上的点，当K在圆上运动时，得到T的轨迹双曲线。（2）抛物线的光学性质的几何证法：光学性质：从抛物线焦点射出的光线，经抛物线反射，其反射光线平行于抛物线的对称轴。证法一：如图2，作P点在准线上的射影N，作NF的中垂线l，由PN=PF，得l过点P，即N是F关于l的对称点；在l上任取一点Q（P点除外），易证
8、FQ=QNQQ，所以l是抛物线过P点的切线，由上，入射光线FP经抛物线P点处的反射光线为PN的反向延长线，与对称轴平行。证法二：如图3，设PM平行于x轴，作M关于l的对称点M，如果M、P、F三点共线，则PM为FP的反射光线。假设M、P、F三点不共线，连结MF交l于点Q，作P、Q在准线上的射影P、Q。MF=MQ+QFQM+QQMP又MF MP+PF=PM+PP=MP所以假设不成立，命题得证。从证法一，易知抛物线的切线的几何特征，从而可以得到过抛物线上一点的切线作法，也容易得到抛物线的作法。6、对数学解题的帮助： 从欧几里德的几何学到解析几何，是数学发展史上的一大进步，用代数的方法研究几何问题，继
9、而可以轻松脱离形的束缚，从二维、三维空间进入到n维的虚拟空间。从初中的平面几何到高中平面解析几何，我们经历了从“证几何”到“解几何”的思维变化过程，但同时我们也看到在解决某些问题时，如果能够把形的几何特征和形的代数特征结合在一起，往往能降低运算的繁度。 例如在圆的学习中，圆的几何特征给我们研究直线与圆的位置关系带来了极大的方便，但是在圆锥曲线中，我们缺乏对其几何特征的进一步认识，所以我们解决直线与圆锥曲线的位置关系的问题，其方法局限在方程思想。今天的学习使我们认识了圆锥曲线的切线的几何特征，可以为我们解决与切线有关的问题打开了新的思路。例1、一课一练P50/8：在直线l：x-y+9=0上任取一
10、点M，经过点M且以椭圆的焦点为焦点作椭圆，问当M在何处时所作的椭圆的长轴长最短？并求出具有最短长轴的椭圆方程。例2、设过椭圆上两点A、B的切线相交于T，F1、F2是椭圆的焦点。试证明：F1T与F2T分别是AF1B和AF2B的平分线。思路：如图5，过F1分别作两条切线的对称点C、D，由椭圆的光学性质可得：C、A、F2三点共线，D、B、F2三点共线，易证DF2TCDF2TD课外思考题：（复旦自主招生试题，杨逸峰提供）长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，在第一象限内保持与两条坐标轴相切的滚动状态，求椭圆中心的轨迹。（可以作出长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆的两条互相垂直的切线交点的轨迹，帮助思考）7、课外可以继续探讨研究：（1）由过圆上一点的圆的切线方程，类比联想：过椭圆（双曲线、抛物线）上一点的椭圆（双曲线、抛物线）的切线方程形式，并给出证明。（2）过圆锥曲线外一点如何作出圆锥曲线的切线？（3）假设有一个理想化的椭圆型反弹装置，从椭圆内一个焦点射出的质子，经过椭圆壁的不停反弹，它的反弹路径会有什么特征？如果不从焦点射出，反弹路线又会有怎样的特征？ （4）圆锥曲线的其他作法？（5）给定椭圆（双曲线），如何得到椭圆（双曲线）的中心和焦点？给定抛物线，如何得到抛物线的焦点和准线？（王敏杰的研究成果）
